山东高考数学试题及答案
2009年山东高考数学试题及答案（文数)
参考公式：
柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。
锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2. 复数等于（ ）
A． B. C. D.
3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )
A. B. C. D.
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
2
2
侧(左)视图
2
2
2
正(主)视图
A. B. C. D.
俯视图
5.在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).
A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2)
6. 函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
A
B
C
P
第8题图
8.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
11.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).
A. B. C. D.
12. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13.在等差数列中,,则.
14.若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
开始
S=0,T=0,n=0
T>S
S=S+5
n=n+2
T=T+n
输出T
结束
是
否
15. 执行右边的程序框图，输出的T= .
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.
(1) 求的值;
(1) 在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.
的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
18.（本小题满分12分）
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E分别是棱AD、AA的中点
（Ⅰ）设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；
（Ⅱ）证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.
19. （本小题满分12分）
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（1） 求z的值
（2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
20.（本小题满分12分）
等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 求数列的前项和
21.（本小题满分12分）
已知函数,其中
（1） 当满足什么条件时,取得极值?
（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
22. （本小题满分14分）
设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1
0)
答案:D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
13【解析】:设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
14【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
15【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30
答案:30
【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以
反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,
注意每个变量的运行结果和执行情况.
16【解析】:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品
设备
A类产品
(件)(≥50)
B类产品
(件)(≥140)
租赁费
(元)
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为即:,
作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.
答案:2300
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题
17解:
（1）
因为函数f(x)在处取最小值，
所以,
由诱导公式知,
因为,所以.
（2）由（1）知
因为,
且A为ABC的内角,所以.
又因为所以由正弦定理,得,
也就是,
因为,所以或.
当时,;
当时,.
综上所述，或
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数
18（Ⅰ）证明：
在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，
所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，
所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，
所以直线EE//平面FCC.
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
（Ⅱ）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
,△ACF为等腰三角形，且
所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,
所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.
19解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.
(3)样本的平均数为,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.
【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
20解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
当n=2时，
又因为{}为等比数列, 所以，即
解得
（2）由（1）知，，,
所以
，
两式相减,得
所以
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.
21解: (1)由已知得,令,得,
要取得极值,方程必须有解,
所以△,即, 此时方程的根为
,,
所以
当时,
x
(-∞,x1)
x 1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
＋
0
－
0
＋
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x 2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
－
0
＋
0
－
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时, 取得极值
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立, 所以
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
所以当时,取得最大,最大值为.
所以
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时, ;当时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
1
22解:（1）因为,,,
所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:
(1
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