2010年江苏高考数学试题及答案

2010年江苏高考数学试题及答案

‎2010年江苏高考数学试题 一、 填空题 1、 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________‎ 简析：由集合中元素的互异性有a+2=3或a2+4=3，Þa=1或a2=－1(舍) Þa=1‎ 2、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________‎ 简析：由题意Þz====2iÞ|z|=2‎ 3、 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__‎ 简析： 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ 简析：观察频率分布直方图，知有0.06×5×100=30根长度小于‎20mm 5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______▲_________‎ 简析：由偶函数Þf(－x)=f(x) Þx(ex+ae-x)=－x(e-x+aex) Þx(ex+e-x)(1+a)=‎0 a=－1‎ 6、 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ 简析：法一——直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明；‎ ‎ 法二——基本量法求解。由题意知右焦点坐标为F(4,0)，M点坐标为(3,±)ÞMF=4‎ 7、 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______‎ 简析：读图知这是计算S=1+21+22+…+2n的一个算法，由S=2n－1³33且n为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+…+25=63‎ 开始 S←1‎ n←1‎ S←S+2n S≥33‎ n←n+1‎ 否 输出S 结束 是 8、 函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____‎ 简析：对原函数求导得y¢=2x (x>0)，据题意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=21‎ 1、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____‎ 简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x－5y+c=0距离为1，则圆心到该直线之距应小于1，即<1，解得cÎ(－13,13)‎ 2、 定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____‎ 简析：由题意知线段P1P2长即为垂线PP1与y=sinx图像交点的纵坐标。‎ ‎ 由 Þ6cosx=5tanxÞ6cos2x=5sinxÞ6sin2x+5sinx－6=0sinx=Þ P1P2= 3、 已知函数f(x)=,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是____▲____‎ 简析：设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=‎1Þ f(1－x2)= f(2x)；‎ ‎ 当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x)‎ 当－1£x<0时，t³0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+1³1，f(2x)=1，Þf(1－x2)>f(2x) (x¹－1)；‎ 当0£x£1时，t³0，2x³0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+1³1，f(2x)=(2x)2+1，‎ 由f(1－x2)>f(2x)Þ (1－x2)2+1>(2x)2+1Þx4－6x2+1>0Þ0£x<－1‎ ‎ 综上，xÎ(－1,－1)‎ 4、 设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____‎ 简析：由题意知x,y均为非0的正实数。‎ ‎ 由3£xy2£8 Þ ££ ，又4££9 Þ £·£3，即££3 Þ 4×£·£9×3Þ £27‎ 5、 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=__▲‎ 简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得‎3c2=‎2a2+2b2 ①，边化角得=6cosC ②‎ ‎ 因为+= tanC( + )=tanC· = ③‎ ‎ 至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。‎ ‎ 据②式，③式== ，又据①式，③式===4 ‎ 6、 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______‎ 简析：如图，△ABC是边长为1的正△，EF∥BC，四边形BCFE为梯形；‎ ‎ 设AE=x (00‎ ‎ 所以x=时S(x)有最小值S()= 二、 解答题 15、 ‎（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2) 设实数t满足(－t·)·=0=0，求t的值 简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量与和、差的模；‎ 两对角线长为2,4 ‎⑵因为=(3,5), =(－2,－1)，所以由(－t)·=0知t=－ 16、 ‎（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900‎ (1) 求证：PC⊥BC (2) 求点A到平面PBC的距离 ‎ ‎ 简析：⑴证：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC；‎ ‎ 又因∠BCD=900，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC ‎ 又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC ‎⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延长线于E，则E在平面PDC上；‎ 在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，结合⑴推知EF⊥平面PBC，‎ 所以垂线段EF长就是点A到平面PBC的距离。‎ 在△PEC中，利用面积的等积性有 EC·PD＝PC·EF 所以EF==，所以点A到平面PBC之距为 此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥A－PBC与三棱锥P－ABC实为同一个锥，而三棱锥P－ABC的底面积=AB·BC=1，高=PD=1；三棱锥A－PBC的底面积=PC·BC=，‎ 所以可求得三棱锥A－PBC的高为，亦即点A到平面PBC的距离为 17、 ‎（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=‎4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1) 该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为‎125m，问d为多少时，α－β最大 解析：⑴⑵‎ ‎18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.‎ ‎⑴设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹 ‎⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标 ‎⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)‎ ‎19．（16分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知‎2a2=a1+a3，数列{}是公差为d的等差数列.‎ ‎⑴求数列的通项公式（用表示）‎ ‎⑵设c为实数，对满足m+n=3k且m¹n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。‎ 求证：c的最大值为 ‎20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,+¥)上的函数，其导函数为f ¢(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的xÎ(1,+¥)都有h(x)>0，使得f ¢(x)]=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).‎ ‎⑴设函数f(x)=h(x)+ (x>1)，其中b为实数 ‎①求证：函数f(x)具有性质P(b) ‎ ‎②求函数f(x)的单调区间 ‎⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2Î(1,+¥)，x11，b>1，若|g(a)－g(b)|<|g(x1)－g(x2)|,求m的取值范围 ‎ 【理科附加题】‎ ‎21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）‎ ‎⑴几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC ‎⑵矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 ‎⑶参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 ‎⑷不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证：a3+b3³(a2+b2) ‎ ‎22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 ‎⑴记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 ‎⑵求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 ‎23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数 ‎⑴求证cosA是有理数 ‎⑵对任意正整数n，求证cosnA也是有理数