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文档介绍
平面解析几何高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角： （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线 ，如果把 轴绕着交点按逆 时针方向转到和直线 重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。当直线 与 轴重合或平行时，规定倾斜角为 0； （2）倾斜角的范围 。 2、直线的斜率 （1）定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 ，即 ＝tan ( ≠90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点 、 的直线的斜率为 ； （3）直线的方向向量 ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： 。 例题： 例 1．已知直线 的倾斜角的变化范围为 ，求该直线斜率的变化范围； 思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜 率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围 解析： ∵ ， ∴ ． 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时，可利用 在 和 上是增函数分别求解.当 时， ； 当 时， ；当 时， ；当 不存在时， .反之，亦成立. 类型二：斜率定义 例 2．已知△ABC 为正三角形，顶点 A 在 x 轴上，A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨： 本题关键点是求出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出 斜率. 解析： 如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线 AB 的倾斜角为 180°-30°=150°，直线 AC 的倾斜角为 30°， ∴kAB=tan150°= kAC=tan30°= x l x l α α l x [ )π,0 k k α α 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( )21 21 21 xxxx yyk ≠− −= (1, )a k= AB BCk k= 总结升华： 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向② 轴正向③ 小于 的角，只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三：斜率公式的应用 例 3．求经过点 ， 直线的斜率并判断倾斜角为锐 角还是钝角． 思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析： 且 ， 经过两点的直线的斜率 ，即 ． 即当 时， 为锐角，当 时， 为钝角． 例 4、过两点 ， 的直线 的倾斜角为 ，求 的 值． 【答案】 由题意得：直线 的斜率 ， 故由斜率公式 ， 解得 或 ． 经检验 不适合，舍去. 故 ． 例 5．已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数 a 的值． 思路点拨： 如果过点 AB，BC 的斜率相等，那么 A，B，C 三点共线. 解析： ∵A、B、C 三点在一条直线上， ∴kAB=kAC．即 二、直线方程的几种形式 1、点斜式：已知直线过点 斜率为 ，则直线方程为 ,它不包 括垂直于 轴的直线。 2、斜截式：已知直线在 轴上的截距为 和斜率 ，则直线方程为 ,它不包 括垂直于 轴的直线。 0 0( , )x y k 0 0( )y y k x x− = − x y b k y kx b= + x 3 、 两 点 式 ： 已 知 直 线 经 过 、 两 点 ， 则 直 线 方 程 为 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。 4、截距式：已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为 ，它不包 括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式：任何直线均可写成 (A,B 不同时为 0)的形式。 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还 有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线 的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线 两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点。如过点 ，且纵横截距的绝对 值相等的直线共有___条（答：3） 注：设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距 ，常设其方程为 ； （2）知直线横截距 ，常设其方程为 (它不适用于斜率为 0 的直线)； （3）知直线过点 ，当斜率 存在时，常设其方程为 ，当斜 率 不存在时，则其方程为 ； （4）与直线 平行的直线可表示为 ； （5）与直线 垂直的直线可表示为 . 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 三、两直线之间的位置关系 1、距离公式 （1）平面上的两点 间的距离 。特 别地，原点 O（0，0）与任意一点的 P(x,y)的距离 （2）点 到直线 的距离 ； （3）两平行线 间的距离为 。 2、直线 与直线 的位置关系： （1）平行 （斜率）且 （在 轴上截距）； （2）相交 ； （3）重合 且 ； （4）垂直 提醒： （1） 、 、 仅是两直线平行、相交、重合的充 分不必要条件！为什么？ （2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体 几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； 3、两直线夹角公式 （1） 到 的角是指直线 绕着交点按逆时针方向转到和直线 重合所转的角 ， 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 12 1 12 1 xx xx yy yy − −=− − x y ,a b 1=+ b y a x 0Ax By C+ + = ⇔ ⇔ ⇔ 1± (1,4)A b y kx b= + 0x 0x my x= + 0 0( , )x y k 0 0( )y k x x y= − + k 0x x= : 0l Ax By C+ + = 1 0Ax By C+ + = : 0l Ax By C+ + = 1 0Bx Ay C− + = 0 0( , )P x y 0Ax By C+ + = 0 0 2 2 Ax By Cd A B + += + 1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C+ + = + + = 1 2 2 2 C Cd A B −= + 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = ⇔ 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0B C B C− ≠ y ⇔ 1 2 2 1 0A B A B− ≠ ⇔ 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0B C B C− = ⇔ 1 2 1 2 0A A B B+ = 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 1 1 2 2 A B A B ≠ 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = 1l 2l 1l 2l θ θ 且 tan = ( )； （ 2 ） 与 的 夹 角 是 指 不 大 于 直 角 的 角 且 tan = ︱ ︱ ( )。 提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线 与 轴的交点，把直线 绕点 M 逆时针方向旋转 45°，得到的直线方程是 ______（答： ） 例题： 例 1、两条直线 ， ，求分别满足下列条 件的 的值． (1) 与 相交； (2) 与 平行； (3) 与 重合； (4) 与 垂直； (5) 与 夹角为 ． 解：由 得 ，解得 ， ． 由 得 ． (1)当 且 时， ， 与 相交； (2)当 时， ． ； (3)当 时， ， 与 重合； (4)当 ，即 ， 时， ； (5) ， ．由条件有 ． 将 ， 代入上式并化简得 ， ； ， ．∴当 或-5 或 3 时 与 夹角为 ． 例 2 当 为何值时，直线 与直线 互相垂直？ 解：由题意，直线 ． myxml 352)3(1 −=++： 16)5(42 =++ ymxl ： m 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l °45 m m +=+ 5 2 4 3 0782 =++ mm 11 −=m 72 −=m 16 35 4 3 mm −=+ 1−=m 1−≠m 7−≠m 2 1 2 1 b b a a ≠ 1l 2l 7−=m 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ≠= 21 //ll 1−=m 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == 1l 2l 02121 =+ bbaa 0)5(24)3( =+⋅+⋅+ mm 3 11−=m 21 ll ⊥ 2 3 1 +−= mk mk +−= 5 4 2 145tan1 12 12 =°=+ − kk kk 1k 2k 029142 =++ mm 527 ±−=m 01522 =−+ mm 35或−=m 527 ±−=m 1l 2l °45 a 01)1()2(1 =−−++ yaxal ： 02)32()1(2 =+++− yaxal ： 21 ll ⊥ ( )π,0∈ θ 21 12 1 kk kk + − 1 2 1k k ≠ − 1l 2l , (0, ]2 πθ θ ∈ θ 21 12 1 kk kk + − 1 2 1k k ≠ − 2 4 0x y− − = x l 3 6 0x y+ − = (1)若 ，即 ，此时直线 ， 显然垂直； (2)若 ，即 时，直线 与直线 不垂直； (3)若 ，且 ，则直线 、 斜率 、 存在， ， ． 当 时， ，即 ，∴ . 综上可知，当 或 时，直线 ． 例 3 已知直线 经过点 ，且被两平行直线 和 截得 的线段之长为 5，求直线 的方程． 解法一：若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，此时与 、 的 交 点 分 别 为 和 ， 截 得 的 线 段 的 长 ，符合题意， 若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 ． 解方程组 得 ， 解方程组 得 ． 由 ，得 ． 解之，得 ，即欲求的直线方程为 ． 综上可知，所求 的方程为 或 ． 解法二：由题意，直线 、 之间的距离为 ，且直线 被平等直线 、 所 截 得 的 线 段 的 长 为 5 （ 如 上 图 ），设 直 线 与 直 线 的 夹 角 为 ， 则 ，故∴ ． 01 =− a 1=a 0131 =−xl ： 0252 =+yl ： 032 =+a 2 3−=a 0251 =−+ yxl ： 0452 =−xl ： 01 ≠− a 032 ≠+a 1l 2l 1k 2k a ak − +−= 1 2 1 32 1 2 + −−= a ak 21 ll ⊥ 121 −=⋅kk 1)32 1()1 2( −=+ −−⋅− +− a a a a 1−=a 1=a 1−=a 21 ll ⊥ l )1,3(P 011 =++ yxl ： 062 =++ yxl ： l l l 3=x 1l 2l )4,3(' −A )9,3(' −B AB 594 =+−=AB l l 1)3( +−= xky =++ +−= ,01 ,1)3( yx xky + −−+ − 1 14,1 23 k k k kA =++ +−= ,06 ,1)3( yx xky + −−+ − 1 19,1 73 k k k kB 5=AB 2 22 51 19 1 14 1 73 1 23 = + −++ −−+ + −−+ − k k k k k k k k 0=k 1=y l 3=x 1=y 1l 2l 1 25 2 61 =−=d l 1l 2l AB l 1l θ 2 2 5 22 5 sin ==θ °= 45θ 由直线 的倾斜角为 135°，知直线 的倾斜角为 0°或 90°，又由直线 过点 ，故直线 的方程为 或 ． 解法三：设直线 与 、 分别相交 、 ，则： ， ． 两式相减，得 ． ① 又 ② 联立①、②，可得 或 由上可知，直线 的倾斜角分别为 0°或 90°． 故所求直线方程为 或 ． 例 4 已 知 直 线 和 两 点 、 ． (1)在 上求一点 ，使 最小； (2)在 上求一点 ，使 最大． 解：(1)如图，设 关于 的对称点为 则 ∴ ， ． ∴ ∴ 的的是 ， 与 的交点是 ， 故所求的点为 ． (2)如下图， 011 =++ yxl ： l l )1,3(P l 3=x 1=y l 1l 2l ),( 11 yxA ),( 22 yxB 0111 =++ yx 0622 =++ yx 5)()( 2121 =−+− yyxx 25)()( 2 21 2 21 =−+− yyxx =− =− 0 5 21 21 yy xx =− =− 5 0 21 21 yy xx l 3=x 1=y 082 =+− yxl： )0,2(A )4,2( −−B l P PBPA + l P PAPB − A l ),(' nmA =+⋅−+ −=− 08222 2 ,22 nm m n 2−=m 8=n )8,2(' −A BA' 2−=x BA' l )3,2(− )3,2(−P 是方程 ， 即 ． 代入 的方程，得直线 与 的交点 ， 故所求的点 为 ． 四、对称问题——代入法（中心对称和轴对称） 1、 中心对称 (1)点关于点对称点 P（ ）关于（ ）对称的点为（ ） ； (2)线关于点对称：（转化为点点对称） 在已知直线上任意去两点，利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线方程，或者求出一个点，再利用两 直线平行（注：线关于点对称的另一条直线和已知直线平行），由点斜式求出直线方程。 特别的，直线 x=a 关于点 P（ ）的对称直线为 ；直线 y=b 关于点 P （ ）的对称直线为 2、 轴对称 （1）点关于直线的对称问题： （1）点（ ）关于 x 轴对称的点为（ ）； （2）点（ ）关于 y 轴对称的点为（ ）； （3）点（ ）关于原点对称的点为（ ）； （4）点（ ）关于 对称的点为（ ）； （5）点（ ）关于 对称的点为（ ）。 （6）设点 P（ ）关于直线 y=kx+b 的对称点 则有 由 此求出 特别的，点 P（ ）关于直线 x=a 的对称点为；点 P（ ）关于直线 y=b 的对称点 为 。 AB )2()2(2 )4(0 −−− −−= xy 2−= xy l AB l )10,12( P )10,12( 00 , yx ba, 00 2,2 ybxa −− 00 , yx axx −= 02 00 , yx byy −= 02 00 , yx 00 , yx − 00 , yx 00 , yx− 00 , yx 00 , yx −− 00 , yx xy = 00 , xy 00 , yx xy −= 00 , xy −− 00 , yx 00 , yx 00 , yx （2）直线关于直线的对称问题： 它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点 ；2. 求出这点关于中心或轴 的对称点 与 之间的关系；3. 利用 求出曲线 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现 以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线 关于直线 对称的直线 的方程。 解法 1：（动点转移法） 在 上任取点 ，设点 P 关于 的对称点为 ，则 又点 P 在 上运动，所以 ，所以 。即 。所以直线 的方程是 。 解法 2：（到角公式法） 解方程组 所以直线 的交点为 A(1,0) 设所求直线 的方程为 ，即 ,由题意知， 到 与 到 的角相等， 则 .所以直线 的方程是 。 解法 3：（取特殊点法） 解方程组 所以直线 的交点为 A(1,0) 在 上取点 P（2，1），设点 P 关于 的对称点的坐标为 ，则 而点 A，Q 在直线 上，由两点式可求直线 的方程是 。 ),( yxM ),( 00 ' yxM ),( yxM 0),( 00 =yxf 0),( =yxg 01:1 =−+ yxl 033:2 =−− yxl l 1l ))(,( 2 '' lPyxP ∉ 2l ),( yxQ −+= ++−= ⇒ −=− − =−+−+ 5 343 5 934 3 1 03223 ' ' ' ' '' yxy yxx xx yy yyxx 1l 01 =−+ yx 015 343 5 934 =−−++++− yxyx 017 =−− yx l 017 =−− yx = =⇒ =−− =−+ 0 1 033 01 y x yx yx 21,ll l )1( −= xky 0=−− kykx 1l 2l 2l l 7 1 31 3 131 13 =⇒+ −=×− + kk k l 017 =−− yx = =⇒ =−− =−+ 0 1 033 01 y x yx yx 21,ll 1l 2l ),( '' yxQ = = ⇒ −= − − =−+−+ 5 7 5 4 3 1 2 1 032 1 2 23 ' ' ' ' '' y x x y yx l l 017 =−− yx 解法 4：（两点对称法） 对解法 3，在 上取点 P（2，1），设点 P 关于 的对称点的坐标为 ，在 上取点 M （0，1），设点 P 关于 的对称点的坐标为 而 N，Q 在直线 上，由两点式可求直 线 的方程是 。 解法 5：（角平分线法） 解方程组 所以直线 的交点为 A(1,0) 设所求直线 的方程为：设所求直线 的方程为 ,即 .由题意知， 为 的角平分线，在 上取点 P（0，-3），则点 P 到 的距离相等，由点到直线距离 公式，有： 时为直线 ，故 。所以直线 的方程是 例题： 例 1 ： 已知点 A（－2，3），求关于点 P（1，1）的对称点 B（ ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点 A（－2，3）关于点 P（1，1）的对称点为 B（ ），则由中点坐标公式得 解得 所以点 A 关于点 P（1，1）的对称点为 B（4，－1）。 评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 例 2 ： 求直线 关于点 P（2，－1）对称的直线 l 的方程。 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为 。 解：由直线 l 与 平行，故设直线 l 方程为 。 由已知可得，点 P 到两条直线距离相等，得 解得 ，或 （舍）。则直线 l 的方程为 1l 2l )5 7,5 4(Q 1l 2l )5 1,5 12(N l l 017 =−− yx = =⇒ =−− =−+ 0 1 033 01 y x yx yx 21,ll l l )1( −= xky 0=−− kykx 2l 1,ll 2l 1,ll 17 1 1 |30| 2 |130| 2 −==⇒ + −+=−− 或kk k k 1−=k 1l 7 1=k l 017 =−− yx 00 y,x 00 y,x =+ =+− ,12 y3 ,12 x2 0 0 −= = 1y ,4x 0 0 04yx3 =−− 0byx3 =+− 04yx3 =−− 0byx3 =+− . 13 |b16| 13 |416| 22 + ++= + −+ 10b −= 4b −= .010yx3 =−− 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点 P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的 灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线 上取两个特殊点，并分别求其关于点 P（2，－ 1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。 例 3 ：求点 A（2，2）关于直线 的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。 解法 1（利用中点转移法）：设点 A（2，2）关于直线 的对称点为 A′（ ），则直线 AA′与已 知直线垂直，故可设直线 AA′方程为 ，把 A（2，2）坐标代入，可求得 。 ∴直线 AA′方程为 。 由方程组 解得 AA′中点 M 。 由中点坐标公式得 ，解得 ∴所求的对称点坐标为（1，4）。 评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。 分析：设 B（a，b）是 A（2，2）关于直线 的对称点，则直线 AB 与 l 垂直，线段 AB 中点在直线 上。 解法 2（相关点法）：设 B（a，b）是 A（2，2）关于直线 的对称点，根据直线 AB 与 l 垂直，线段 AB 中点在直线 上， 则有 解得 ∴所求对称点的坐标为（1，4）。 评注：①中点在 上；②所求点与已知点的连线与 垂直。 例 4 ： 求直线 关于直线 对称的直线 l 的方程。 分析：设所求直线 l 上任一点为 P（ ），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线 方程进行求解。 解：设所求直线 l 上任意一点 P（ ）（ ）关于 的对称点为 Q（ ）， 04yx3 =−− 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 00 y,x 0cy2x4 =++ 12c −= 06yx2 =−+ =−+ =+− 06yx2 ,09y4x2 3,2 3 32 2y,2 3 2 2x 00 =+=+ .4y,1x 00 == 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− =++⋅−+⋅ −=− −⋅ ,092 2b42 2a2 ,12a 2b 2 1 .4b,1a == 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 02yx:l1 =−− 03yx3:l2 =+− y,x ′′ 1l y,x ′′ 2lP∉ 2l 11 y,x 则 解得 又因为点 Q 在 上运动，则 0。 ，解得 。即直线 l 的方程为 。 评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线 上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线 的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。 五、圆的方程： 1、圆的标准方程： 。 2、①圆的一般方程： 特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆， 圆心为 ，半径为 的圆。 ②常见圆的方程 圆心在原点： ；过原点： ； 圆心在 轴上： ；圆心在 轴上： ； 圆心在 轴上且过原点： ； 圆心在 轴上且过原点： ； 与 轴 相 切 ： ; 与 轴 相 切 ： 与两坐标轴都相切： 3、圆的参数方程： （ 为参数），其中圆心为 ，半径为 。圆的 参数方程的主要应用是三角换元： ； 。 4、 为直径端点的圆方程 例题 例 1 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点)4,1(A )2,3(B 0=y )4,2(P −=−′ −′ =+′+−′+⋅ ,1xx yy ,032 yy 2 xx3 1 1 11 +′+′= −′+′−= .5 3y4x3y ,5 9y3x4x 1 1 1l =−− 2yx 11 025 3y4x3 5 9y3x4 =−+′+′−−′+′− 022yx7 =+′+′ 022yx7 =++ 1l 2l ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = 2 2 2 20(D E 4F 0)＋ －x y Dx Ey F+ + + + = > 2 2D E 4F 0＋ － > 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ( , )2 2 D E− − 2 21 42 D E F+ − ( )2 2 2 0x y r r+ = ≠ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0x a y b a b a b− + − = + + ≠ x ( ) ( )2 2 2 0x a y r r− + = ≠ y ( ) ( )22 2 0x y b r r+ − = ≠ x ( ) ( )2 2 2 0x a y a a− + = ≠ y ( ) ( )22 2 0x y b b b+ − = ≠ x ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b b b− + − = ≠ y ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b a a− + − = ≠ ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b a a b− + − = = ≠ { cos sin x a r y b r θ θ = + = + θ ( , )a b r 2 2 2 cos , sinx y r x r y rθ θ+ = → = = 2 2x y t+ ≤ cos , sin (0 )x r y r r tθ θ→ = = ≤ ≤ ( ) ( )1 1 2 2A , , ,x y B x y ( )( ) ( )( )1 2 1 2 0x x x x y y y y− − + − − = 与圆的关系． 解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 ． ∵圆心在 上，故 ． ∴圆的方程为 ． 又∵该圆过 、 两点． ∴ 解之得： ， ． 所以所求圆的方程为 ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 、 两点，所以圆心 必在线段 的垂直平分线 上，又因 为 ，故 的斜率为 1，又 的中点为 ，故 的垂直平分线 的方 程为： 即 ． 又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 ∴半径 ．故所求圆的方程为 ． 又点 到圆心 的距离为 ． ∴点 在圆外． 例 2 求半径为 4，与圆 相切，且和直线 相切的圆的方程． 解：则题意，设所求圆的方程为圆 ． 圆 与直线 相切，且半径为 4，则圆心 的坐标为 或 ． 又已知圆 的圆心 的坐标为 ，半径为 3． 若两圆相切，则 或 ． (1)当 时， ，或 (无解)，故可得 ． ∴ 所 求 圆 方 程 为 ， 或 222 )()( rbyax =−+− 0=y 0=b 222)( ryax =+− )4,1(A )2,3(B =+− =+− 22 22 4)3( 16)1( ra ra 1−=a 202 =r 20)1( 22 =++ yx )4,1(A )2,3(B C AB l 131 24 −=− −=ABk l AB )3,2( AB l 23 −=− xy 01=+− yx 0=y )0,1(−C 204)11( 22 =++== ACr 20)1( 22 =++ yx )4,2(P )0,1(−C rPCd >=++== 254)12( 22 P 042422 =−−−+ yxyx 0=y 222 )()( rbyaxC =−+−： C 0=y C )4,(1 aC )4,(2 −aC 042422 =−−−+ yxyx A )1,2( 734 =+=CA 134 =−=CA )4,(1 aC 222 7)14()2( =−+−a 222 1)14()2( =−+−a 1022 ±=a 222 4)4()1022( =−+−− yx ． (2)当 时， ，或 (无解)，故 ． ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 ， 或 ． 例 3 求经过点 ，且与直线 和 都相切的圆的方程． 解：∵圆和直线 与 相切， ∴圆心 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 和 的距离相等． ∴ ．∴两直线交角的平分线方程是 或 ． 又∵圆过点 ，∴圆心 只能在直线 上． 设圆心 ∵ 到直线 的距离等于 ， ∴ ． 化简整理得 ．解得： 或 ∴圆心是 ，半径为 或圆心是 ，半径为 ． ∴所求圆的方程为 或 ． 例 4、 设圆满足：(1)截 轴所得弦长为 2；(2)被 轴分成两段弧，其弧长的比为 ，在 满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 的距离最小的圆的方程． 解：设圆心为 ，半径为 ． 则 到 轴、 轴的距离分别为 和 ． 由题设知：圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 ，故圆截 轴所得弦长为 ． 222 4)4()1022( =−++− yx )4,(2 −aC 222 7)14()2( =−−+−a 222 1)14()2( =−−+−a 622 ±=a 222 4)4()622( =++−− yx 222 4)4()622( =+++− yx )5,0(A 02 =− yx 02 =+ yx 02 =− yx 02 =+ yx C 02 =− yx 02 =+ yx 5 2 5 2 yxyx +=− 03 =+ yx 03 =− yx )5,0(A C 03 =− yx )3,( ttC C 02 =+ yx AC 22 )53( 5 32 −+=+ tttt 0562 =+− tt 1=t 5=t )3,1( 5 )15,5( 55 5)3()1( 22 =−+− yx 125)15()5( 22 =−+− yx y x 1:3 02 =− yxl： ),( baP r P x y b a x °90 x r2 ∴ 又圆截 轴所得弦长为 2． ∴ ． 又∵ 到直线 的距离为 ∴ 当且仅当 时取“=”号，此时 ． 这时有 ∴ 或 又 故所求圆的方程为 或 六、点、直线与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 已知点 及圆 ， （1）点 M 在圆 C 外 ； （2）点 M 在圆 C 内 ； （3）点 M 在圆 C 上 。 2、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况，分别对应直线与圆有两个公共点、 一个公共点、没有公共点。 相交 相切 相离 （两个公共点） （一个公共点） （没有公共点） 22 2br = y 122 += ar ),( baP 02 =− yx 5 2bad −= 22 25 bad −= abba 44 22 −+= )(24 2222 baba +−+≥ 12 22 =−= ab ba = 5 5 min =d =− = 12 22 ab ba = = 1 1 b a −= −= 1 1 b a 22 22 == br 2)1()1( 22 =−+− yx 2)1()1( 22 =+++ yx ( )0 0M ,x y ( ) ( ) ( )2 2 2C 0：x- a y b r r+ − = > ( ) ( )2 2 2 0 0CM r x a y b r⇔ > ⇔ − + − > ⇔ ( ) ( )2 2 2 0 0CM r x a y b r< ⇔ − + − < ( )2 0CM r x a⇔ = ⇔ − ( )2 2 0y b r+ − = （2）直线与圆的位置关系的判断方法 ①几何法： 通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。 设直线 l：Ax+By+C=0 圆 C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 则圆半径为 设圆心到直线的距离为 ，则 则 直线与圆相离 则 直线与圆相切 则 直线与圆相交 ②代数法： 通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断 直线方程与圆的方程联立方程组 求解，通过解的个数来判 断： （1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有 2 个交点），直线与圆相交； （2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有 1 个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离； 即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心 C 到直线 l 的距 离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系： 相切 d=r Δ＝0； 相交 d查看更多