- 2021-05-14 发布 |
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文档介绍
平面解析几何高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 轴相交的直线 ,如果把 轴绕着交点按逆 时针方向转到和直线 重合时所转的最小正角记为 ,那么 就叫做直线的倾斜角。当直线 与 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0; (2)倾斜角的范围 。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 ,即 =tan ( ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点 、 的直线的斜率为 ; (3)直线的方向向量 ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: 。 例题: 例 1.已知直线 的倾斜角的变化范围为 ,求该直线斜率的变化范围; 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜 率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围 解析: ∵ , ∴ . 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时,可利用 在 和 上是增函数分别求解.当 时, ; 当 时, ;当 时, ;当 不存在时, .反之,亦成立. 类型二:斜率定义 例 2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠ BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出 斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线 AB 的倾斜角为 180°-30°=150°,直线 AC 的倾斜角为 30°, ∴kAB=tan150°= kAC=tan30°= x l x l α α l x [ )π,0 k k α α 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y ( )21 21 21 xxxx yyk ≠− −= (1, )a k= AB BCk k= 总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向② 轴正向③ 小于 的角,只有这样才能正确的求出倾斜角. 类型三:斜率公式的应用 例 3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐 角还是钝角. 思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析: 且 , 经过两点的直线的斜率 ,即 . 即当 时, 为锐角,当 时, 为钝角. 例 4、过两点 , 的直线 的倾斜角为 ,求 的 值. 【答案】 由题意得:直线 的斜率 , 故由斜率公式 , 解得 或 . 经检验 不适合,舍去. 故 . 例 5.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 思路点拨: 如果过点 AB,BC 的斜率相等,那么 A,B,C 三点共线. 解析: ∵A、B、C 三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.即 二、直线方程的几种形式 1、点斜式:已知直线过点 斜率为 ,则直线方程为 ,它不包 括垂直于 轴的直线。 2、斜截式:已知直线在 轴上的截距为 和斜率 ,则直线方程为 ,它不包 括垂直于 轴的直线。 0 0( , )x y k 0 0( )y y k x x− = − x y b k y kx b= + x 3 、 两 点 式 : 已 知 直 线 经 过 、 两 点 , 则 直 线 方 程 为 ,它不包括垂直于坐标轴的直线。 4、截距式:已知直线在 轴和 轴上的截距为 ,则直线方程为 ,它不包 括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式:任何直线均可写成 (A,B 不同时为 0)的形式。 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还 有截距式呢?);(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线 的斜率为-1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线 两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线过原点。如过点 ,且纵横截距的绝对 值相等的直线共有___条(答:3) 注:设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 ,常设其方程为 ; (2)知直线横截距 ,常设其方程为 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ,当斜率 存在时,常设其方程为 ,当斜 率 不存在时,则其方程为 ; (4)与直线 平行的直线可表示为 ; (5)与直线 垂直的直线可表示为 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 三、两直线之间的位置关系 1、距离公式 (1)平面上的两点 间的距离 。特 别地,原点 O(0,0)与任意一点的 P(x,y)的距离 (2)点 到直线 的距离 ; (3)两平行线 间的距离为 。 2、直线 与直线 的位置关系: (1)平行 (斜率)且 (在 轴上截距); (2)相交 ; (3)重合 且 ; (4)垂直 提醒: (1) 、 、 仅是两直线平行、相交、重合的充 分不必要条件!为什么? (2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体 几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; 3、两直线夹角公式 (1) 到 的角是指直线 绕着交点按逆时针方向转到和直线 重合所转的角 , 1 1 1( , )P x y 2 2 2( , )P x y 12 1 12 1 xx xx yy yy − −=− − x y ,a b 1=+ b y a x 0Ax By C+ + = ⇔ ⇔ ⇔ 1± (1,4)A b y kx b= + 0x 0x my x= + 0 0( , )x y k 0 0( )y k x x y= − + k 0x x= : 0l Ax By C+ + = 1 0Ax By C+ + = : 0l Ax By C+ + = 1 0Bx Ay C− + = 0 0( , )P x y 0Ax By C+ + = 0 0 2 2 Ax By Cd A B + += + 1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C+ + = + + = 1 2 2 2 C Cd A B −= + 1 1 1 1: 0l A x B y C+ + = 2 2 2 2: 0l A x B y C+ + = ⇔ 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0B C B C− ≠ y ⇔ 1 2 2 1 0A B A B− ≠ ⇔ 1 2 2 1 0A B A B− = 1 2 2 1 0B C B C− = ⇔ 1 2 1 2 0A A B B+ = 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 1 1 2 2 A B A B ≠ 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = = 1l 2l 1l 2l θ θ 且 tan = ( ); ( 2 ) 与 的 夹 角 是 指 不 大 于 直 角 的 角 且 tan = ︱ ︱ ( )。 提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线 与 轴的交点,把直线 绕点 M 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是 ______(答: ) 例题: 例 1、两条直线 , ,求分别满足下列条 件的 的值. (1) 与 相交; (2) 与 平行; (3) 与 重合; (4) 与 垂直; (5) 与 夹角为 . 解:由 得 ,解得 , . 由 得 . (1)当 且 时, , 与 相交; (2)当 时, . ; (3)当 时, , 与 重合; (4)当 ,即 , 时, ; (5) , .由条件有 . 将 , 代入上式并化简得 , ; , .∴当 或-5 或 3 时 与 夹角为 . 例 2 当 为何值时,直线 与直线 互相垂直? 解:由题意,直线 . myxml 352)3(1 −=++: 16)5(42 =++ ymxl : m 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l °45 m m +=+ 5 2 4 3 0782 =++ mm 11 −=m 72 −=m 16 35 4 3 mm −=+ 1−=m 1−≠m 7−≠m 2 1 2 1 b b a a ≠ 1l 2l 7−=m 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ≠= 21 //ll 1−=m 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == 1l 2l 02121 =+ bbaa 0)5(24)3( =+⋅+⋅+ mm 3 11−=m 21 ll ⊥ 2 3 1 +−= mk mk +−= 5 4 2 145tan1 12 12 =°=+ − kk kk 1k 2k 029142 =++ mm 527 ±−=m 01522 =−+ mm 35或−=m 527 ±−=m 1l 2l °45 a 01)1()2(1 =−−++ yaxal : 02)32()1(2 =+++− yaxal : 21 ll ⊥ ( )π,0∈ θ 21 12 1 kk kk + − 1 2 1k k ≠ − 1l 2l , (0, ]2 πθ θ ∈ θ 21 12 1 kk kk + − 1 2 1k k ≠ − 2 4 0x y− − = x l 3 6 0x y+ − = (1)若 ,即 ,此时直线 , 显然垂直; (2)若 ,即 时,直线 与直线 不垂直; (3)若 ,且 ,则直线 、 斜率 、 存在, , . 当 时, ,即 ,∴ . 综上可知,当 或 时,直线 . 例 3 已知直线 经过点 ,且被两平行直线 和 截得 的线段之长为 5,求直线 的方程. 解法一:若直线 的斜率不存在,则直线 的方程为 ,此时与 、 的 交 点 分 别 为 和 , 截 得 的 线 段 的 长 ,符合题意, 若直线 的斜率存在,则设直线 的方程为 . 解方程组 得 , 解方程组 得 . 由 ,得 . 解之,得 ,即欲求的直线方程为 . 综上可知,所求 的方程为 或 . 解法二:由题意,直线 、 之间的距离为 ,且直线 被平等直线 、 所 截 得 的 线 段 的 长 为 5 ( 如 上 图 ),设 直 线 与 直 线 的 夹 角 为 , 则 ,故∴ . 01 =− a 1=a 0131 =−xl : 0252 =+yl : 032 =+a 2 3−=a 0251 =−+ yxl : 0452 =−xl : 01 ≠− a 032 ≠+a 1l 2l 1k 2k a ak − +−= 1 2 1 32 1 2 + −−= a ak 21 ll ⊥ 121 −=⋅kk 1)32 1()1 2( −=+ −−⋅− +− a a a a 1−=a 1=a 1−=a 21 ll ⊥ l )1,3(P 011 =++ yxl : 062 =++ yxl : l l l 3=x 1l 2l )4,3(' −A )9,3(' −B AB 594 =+−=AB l l 1)3( +−= xky =++ +−= ,01 ,1)3( yx xky + −−+ − 1 14,1 23 k k k kA =++ +−= ,06 ,1)3( yx xky + −−+ − 1 19,1 73 k k k kB 5=AB 2 22 51 19 1 14 1 73 1 23 = + −++ −−+ + −−+ − k k k k k k k k 0=k 1=y l 3=x 1=y 1l 2l 1 25 2 61 =−=d l 1l 2l AB l 1l θ 2 2 5 22 5 sin ==θ °= 45θ 由直线 的倾斜角为 135°,知直线 的倾斜角为 0°或 90°,又由直线 过点 ,故直线 的方程为 或 . 解法三:设直线 与 、 分别相交 、 ,则: , . 两式相减,得 . ① 又 ② 联立①、②,可得 或 由上可知,直线 的倾斜角分别为 0°或 90°. 故所求直线方程为 或 . 例 4 已 知 直 线 和 两 点 、 . (1)在 上求一点 ,使 最小; (2)在 上求一点 ,使 最大. 解:(1)如图,设 关于 的对称点为 则 ∴ , . ∴ ∴ 的的是 , 与 的交点是 , 故所求的点为 . (2)如下图, 011 =++ yxl : l l )1,3(P l 3=x 1=y l 1l 2l ),( 11 yxA ),( 22 yxB 0111 =++ yx 0622 =++ yx 5)()( 2121 =−+− yyxx 25)()( 2 21 2 21 =−+− yyxx =− =− 0 5 21 21 yy xx =− =− 5 0 21 21 yy xx l 3=x 1=y 082 =+− yxl: )0,2(A )4,2( −−B l P PBPA + l P PAPB − A l ),(' nmA =+⋅−+ −=− 08222 2 ,22 nm m n 2−=m 8=n )8,2(' −A BA' 2−=x BA' l )3,2(− )3,2(−P 是方程 , 即 . 代入 的方程,得直线 与 的交点 , 故所求的点 为 . 四、对称问题——代入法(中心对称和轴对称) 1、 中心对称 (1)点关于点对称点 P( )关于( )对称的点为( ) ; (2)线关于点对称:(转化为点点对称) 在已知直线上任意去两点,利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标,再有两点式求出直线方程,或者求出一个点,再利用两 直线平行(注:线关于点对称的另一条直线和已知直线平行),由点斜式求出直线方程。 特别的,直线 x=a 关于点 P( )的对称直线为 ;直线 y=b 关于点 P ( )的对称直线为 2、 轴对称 (1)点关于直线的对称问题: (1)点( )关于 x 轴对称的点为( ); (2)点( )关于 y 轴对称的点为( ); (3)点( )关于原点对称的点为( ); (4)点( )关于 对称的点为( ); (5)点( )关于 对称的点为( )。 (6)设点 P( )关于直线 y=kx+b 的对称点 则有 由 此求出 特别的,点 P( )关于直线 x=a 的对称点为;点 P( )关于直线 y=b 的对称点 为 。 AB )2()2(2 )4(0 −−− −−= xy 2−= xy l AB l )10,12( P )10,12( 00 , yx ba, 00 2,2 ybxa −− 00 , yx axx −= 02 00 , yx byy −= 02 00 , yx 00 , yx − 00 , yx 00 , yx− 00 , yx 00 , yx −− 00 , yx xy = 00 , xy 00 , yx xy −= 00 , xy −− 00 , yx 00 , yx 00 , yx (2)直线关于直线的对称问题: 它的一般解题步骤是:1. 在所求曲线上选一点 ;2. 求出这点关于中心或轴 的对称点 与 之间的关系;3. 利用 求出曲线 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题,但它的解法很多,现 以一道典型习题为例给出几种常见解法,供大家参考。 例题:试求直线 关于直线 对称的直线 的方程。 解法 1:(动点转移法) 在 上任取点 ,设点 P 关于 的对称点为 ,则 又点 P 在 上运动,所以 ,所以 。即 。所以直线 的方程是 。 解法 2:(到角公式法) 解方程组 所以直线 的交点为 A(1,0) 设所求直线 的方程为 ,即 ,由题意知, 到 与 到 的角相等, 则 .所以直线 的方程是 。 解法 3:(取特殊点法) 解方程组 所以直线 的交点为 A(1,0) 在 上取点 P(2,1),设点 P 关于 的对称点的坐标为 ,则 而点 A,Q 在直线 上,由两点式可求直线 的方程是 。 ),( yxM ),( 00 ' yxM ),( yxM 0),( 00 =yxf 0),( =yxg 01:1 =−+ yxl 033:2 =−− yxl l 1l ))(,( 2 '' lPyxP ∉ 2l ),( yxQ −+= ++−= ⇒ −=− − =−+−+ 5 343 5 934 3 1 03223 ' ' ' ' '' yxy yxx xx yy yyxx 1l 01 =−+ yx 015 343 5 934 =−−++++− yxyx 017 =−− yx l 017 =−− yx = =⇒ =−− =−+ 0 1 033 01 y x yx yx 21,ll l )1( −= xky 0=−− kykx 1l 2l 2l l 7 1 31 3 131 13 =⇒+ −=×− + kk k l 017 =−− yx = =⇒ =−− =−+ 0 1 033 01 y x yx yx 21,ll 1l 2l ),( '' yxQ = = ⇒ −= − − =−+−+ 5 7 5 4 3 1 2 1 032 1 2 23 ' ' ' ' '' y x x y yx l l 017 =−− yx 解法 4:(两点对称法) 对解法 3,在 上取点 P(2,1),设点 P 关于 的对称点的坐标为 ,在 上取点 M (0,1),设点 P 关于 的对称点的坐标为 而 N,Q 在直线 上,由两点式可求直 线 的方程是 。 解法 5:(角平分线法) 解方程组 所以直线 的交点为 A(1,0) 设所求直线 的方程为:设所求直线 的方程为 ,即 .由题意知, 为 的角平分线,在 上取点 P(0,-3),则点 P 到 的距离相等,由点到直线距离 公式,有: 时为直线 ,故 。所以直线 的方程是 例题: 例 1 : 已知点 A(-2,3),求关于点 P(1,1)的对称点 B( )。 分析:利用点关于点对称的几何特性,直接应用中点坐标公式求解。 解:设点 A(-2,3)关于点 P(1,1)的对称点为 B( ),则由中点坐标公式得 解得 所以点 A 关于点 P(1,1)的对称点为 B(4,-1)。 评注:利用中点坐标公式求解完之后,要返回去验证,以确保答案的准确性。 例 2 : 求直线 关于点 P(2,-1)对称的直线 l 的方程。 分析:由已知条件可得出所求直线与已知直线平行,所以可设所求直线方程为 。 解:由直线 l 与 平行,故设直线 l 方程为 。 由已知可得,点 P 到两条直线距离相等,得 解得 ,或 (舍)。则直线 l 的方程为 1l 2l )5 7,5 4(Q 1l 2l )5 1,5 12(N l l 017 =−− yx = =⇒ =−− =−+ 0 1 033 01 y x yx yx 21,ll l l )1( −= xky 0=−− kykx 2l 1,ll 2l 1,ll 17 1 1 |30| 2 |130| 2 −==⇒ + −+=−− 或kk k k 1−=k 1l 7 1=k l 017 =−− yx 00 y,x 00 y,x =+ =+− ,12 y3 ,12 x2 0 0 −= = 1y ,4x 0 0 04yx3 =−− 0byx3 =+− 04yx3 =−− 0byx3 =+− . 13 |b16| 13 |416| 22 + ++= + −+ 10b −= 4b −= .010yx3 =−− 评注:充分利用直线关于点对称的特性:对称直线与已知直线平行且点 P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的 灵活运用,可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线 上取两个特殊点,并分别求其关于点 P(2,- 1)的对称点,这两个对称点的连线即为所求直线。 例 3 :求点 A(2,2)关于直线 的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。 解法 1(利用中点转移法):设点 A(2,2)关于直线 的对称点为 A′( ),则直线 AA′与已 知直线垂直,故可设直线 AA′方程为 ,把 A(2,2)坐标代入,可求得 。 ∴直线 AA′方程为 。 由方程组 解得 AA′中点 M 。 由中点坐标公式得 ,解得 ∴所求的对称点坐标为(1,4)。 评注:解题时,有时可先通过求中间量,再利用中间量求解结果。 分析:设 B(a,b)是 A(2,2)关于直线 的对称点,则直线 AB 与 l 垂直,线段 AB 中点在直线 上。 解法 2(相关点法):设 B(a,b)是 A(2,2)关于直线 的对称点,根据直线 AB 与 l 垂直,线段 AB 中点在直线 上, 则有 解得 ∴所求对称点的坐标为(1,4)。 评注:①中点在 上;②所求点与已知点的连线与 垂直。 例 4 : 求直线 关于直线 对称的直线 l 的方程。 分析:设所求直线 l 上任一点为 P( ),利用“相关点法”求其对称点坐标,并将其对称点坐标代入直线 方程进行求解。 解:设所求直线 l 上任意一点 P( )( )关于 的对称点为 Q( ), 04yx3 =−− 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 00 y,x 0cy2x4 =++ 12c −= 06yx2 =−+ =−+ =+− 06yx2 ,09y4x2 3,2 3 32 2y,2 3 2 2x 00 =+=+ .4y,1x 00 == 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− =++⋅−+⋅ −=− −⋅ ,092 2b42 2a2 ,12a 2b 2 1 .4b,1a == 09y4x2 =+− 09y4x2 =+− 02yx:l1 =−− 03yx3:l2 =+− y,x ′′ 1l y,x ′′ 2lP∉ 2l 11 y,x 则 解得 又因为点 Q 在 上运动,则 0。 ,解得 。即直线 l 的方程为 。 评注:直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线 上任取一点(非两直线交点)并求其关于直线 的对称点,则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。 五、圆的方程: 1、圆的标准方程: 。 2、①圆的一般方程: 特别提醒:只有当 时,方程 才表示圆, 圆心为 ,半径为 的圆。 ②常见圆的方程 圆心在原点: ;过原点: ; 圆心在 轴上: ;圆心在 轴上: ; 圆心在 轴上且过原点: ; 圆心在 轴上且过原点: ; 与 轴 相 切 : ; 与 轴 相 切 : 与两坐标轴都相切: 3、圆的参数方程: ( 为参数),其中圆心为 ,半径为 。圆的 参数方程的主要应用是三角换元: ; 。 4、 为直径端点的圆方程 例题 例 1 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点)4,1(A )2,3(B 0=y )4,2(P −=−′ −′ =+′+−′+⋅ ,1xx yy ,032 yy 2 xx3 1 1 11 +′+′= −′+′−= .5 3y4x3y ,5 9y3x4x 1 1 1l =−− 2yx 11 025 3y4x3 5 9y3x4 =−+′+′−−′+′− 022yx7 =+′+′ 022yx7 =++ 1l 2l ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = 2 2 2 20(D E 4F 0)+ -x y Dx Ey F+ + + + = > 2 2D E 4F 0+ - > 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = ( , )2 2 D E− − 2 21 42 D E F+ − ( )2 2 2 0x y r r+ = ≠ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0x a y b a b a b− + − = + + ≠ x ( ) ( )2 2 2 0x a y r r− + = ≠ y ( ) ( )22 2 0x y b r r+ − = ≠ x ( ) ( )2 2 2 0x a y a a− + = ≠ y ( ) ( )22 2 0x y b b b+ − = ≠ x ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b b b− + − = ≠ y ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b a a− + − = ≠ ( ) ( ) ( )2 2 2 0x a y b a a b− + − = = ≠ { cos sin x a r y b r θ θ = + = + θ ( , )a b r 2 2 2 cos , sinx y r x r y rθ θ+ = → = = 2 2x y t+ ≤ cos , sin (0 )x r y r r tθ θ→ = = ≤ ≤ ( ) ( )1 1 2 2A , , ,x y B x y ( )( ) ( )( )1 2 1 2 0x x x x y y y y− − + − − = 与圆的关系. 解法一:(待定系数法)设圆的标准方程为 . ∵圆心在 上,故 . ∴圆的方程为 . 又∵该圆过 、 两点. ∴ 解之得: , . 所以所求圆的方程为 . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过 、 两点,所以圆心 必在线段 的垂直平分线 上,又因 为 ,故 的斜率为 1,又 的中点为 ,故 的垂直平分线 的方 程为: 即 . 又知圆心在直线 上,故圆心坐标为 ∴半径 .故所求圆的方程为 . 又点 到圆心 的距离为 . ∴点 在圆外. 例 2 求半径为 4,与圆 相切,且和直线 相切的圆的方程. 解:则题意,设所求圆的方程为圆 . 圆 与直线 相切,且半径为 4,则圆心 的坐标为 或 . 又已知圆 的圆心 的坐标为 ,半径为 3. 若两圆相切,则 或 . (1)当 时, ,或 (无解),故可得 . ∴ 所 求 圆 方 程 为 , 或 222 )()( rbyax =−+− 0=y 0=b 222)( ryax =+− )4,1(A )2,3(B =+− =+− 22 22 4)3( 16)1( ra ra 1−=a 202 =r 20)1( 22 =++ yx )4,1(A )2,3(B C AB l 131 24 −=− −=ABk l AB )3,2( AB l 23 −=− xy 01=+− yx 0=y )0,1(−C 204)11( 22 =++== ACr 20)1( 22 =++ yx )4,2(P )0,1(−C rPCd >=++== 254)12( 22 P 042422 =−−−+ yxyx 0=y 222 )()( rbyaxC =−+−: C 0=y C )4,(1 aC )4,(2 −aC 042422 =−−−+ yxyx A )1,2( 734 =+=CA 134 =−=CA )4,(1 aC 222 7)14()2( =−+−a 222 1)14()2( =−+−a 1022 ±=a 222 4)4()1022( =−+−− yx . (2)当 时, ,或 (无解),故 . ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 , 或 . 例 3 求经过点 ,且与直线 和 都相切的圆的方程. 解:∵圆和直线 与 相切, ∴圆心 在这两条直线的交角平分线上, 又圆心到两直线 和 的距离相等. ∴ .∴两直线交角的平分线方程是 或 . 又∵圆过点 ,∴圆心 只能在直线 上. 设圆心 ∵ 到直线 的距离等于 , ∴ . 化简整理得 .解得: 或 ∴圆心是 ,半径为 或圆心是 ,半径为 . ∴所求圆的方程为 或 . 例 4、 设圆满足:(1)截 轴所得弦长为 2;(2)被 轴分成两段弧,其弧长的比为 ,在 满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 的距离最小的圆的方程. 解:设圆心为 ,半径为 . 则 到 轴、 轴的距离分别为 和 . 由题设知:圆截 轴所得劣弧所对的圆心角为 ,故圆截 轴所得弦长为 . 222 4)4()1022( =−++− yx )4,(2 −aC 222 7)14()2( =−−+−a 222 1)14()2( =−−+−a 622 ±=a 222 4)4()622( =++−− yx 222 4)4()622( =+++− yx )5,0(A 02 =− yx 02 =+ yx 02 =− yx 02 =+ yx C 02 =− yx 02 =+ yx 5 2 5 2 yxyx +=− 03 =+ yx 03 =− yx )5,0(A C 03 =− yx )3,( ttC C 02 =+ yx AC 22 )53( 5 32 −+=+ tttt 0562 =+− tt 1=t 5=t )3,1( 5 )15,5( 55 5)3()1( 22 =−+− yx 125)15()5( 22 =−+− yx y x 1:3 02 =− yxl: ),( baP r P x y b a x °90 x r2 ∴ 又圆截 轴所得弦长为 2. ∴ . 又∵ 到直线 的距离为 ∴ 当且仅当 时取“=”号,此时 . 这时有 ∴ 或 又 故所求圆的方程为 或 六、点、直线与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系 已知点 及圆 , (1)点 M 在圆 C 外 ; (2)点 M 在圆 C 内 ; (3)点 M 在圆 C 上 。 2、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况,分别对应直线与圆有两个公共点、 一个公共点、没有公共点。 相交 相切 相离 (两个公共点) (一个公共点) (没有公共点) 22 2br = y 122 += ar ),( baP 02 =− yx 5 2bad −= 22 25 bad −= abba 44 22 −+= )(24 2222 baba +−+≥ 12 22 =−= ab ba = 5 5 min =d =− = 12 22 ab ba = = 1 1 b a −= −= 1 1 b a 22 22 == br 2)1()1( 22 =−+− yx 2)1()1( 22 =+++ yx ( )0 0M ,x y ( ) ( ) ( )2 2 2C 0:x- a y b r r+ − = > ( ) ( )2 2 2 0 0CM r x a y b r⇔ > ⇔ − + − > ⇔ ( ) ( )2 2 2 0 0CM r x a y b r< ⇔ − + − < ( )2 0CM r x a⇔ = ⇔ − ( )2 2 0y b r+ − = (2)直线与圆的位置关系的判断方法 ①几何法: 通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。 设直线 l:Ax+By+C=0 圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 则圆半径为 设圆心到直线的距离为 ,则 则 直线与圆相离 则 直线与圆相切 则 直线与圆相交 ②代数法: 通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断 直线方程与圆的方程联立方程组 求解,通过解的个数来判 断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点),直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点),直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点),直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心 C 到直线 l 的距 离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 d=r Δ=0; 相交 d查看更多