2015高考数学人教A版本(7-2基本不等式)一轮复习学案

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2015高考数学人教A版本(7-2基本不等式)一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(2013·淮北模拟)函数y=(x>1)的最小值是(  )‎ A.2+2          B.2-2‎ C.2 D.2‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵x>1,∴x-1>0,‎ ‎∴y== ‎= ‎= ‎=x-1++2‎ ‎≥2·+2=2+2,‎ 当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.‎ ‎2.(文)(2013·西安二模)在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(  )‎ A.- B.- C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意实数x恒成立,‎ ‎∵x2-x-1=(x-)2-≥-,∴-≥a2-a-2,‎ ‎∴-≤a≤.故选D.‎ ‎(理)(2013·安徽八校联考)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(  )‎ A.-12‎ C.b<-1或b>2 D.不能确定 ‎[答案] C ‎[解析] 由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的对称轴为x==1,故a=2.‎ 又f(x)开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,‎ f(x)>0恒成立,即f(x)min=b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.‎ ‎3.a、b为正实数,a、b的等差中项为A;、的等差中项为;a、b的等比中项为G(G>0),则(  )‎ A.G≤H≤A B.H≤G≤A C.G≤A≤H D.H≤A≤G ‎[答案] B ‎[解析] 由题意知A=,H=,G=,‎ 易知≥≥,∴A≥G≥H.‎ ‎4.(文)已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(  )‎ A.ab≤ B.ab≥ C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵2=a+b≥2,∴ab≤1,排除A、B;‎ ‎∴a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,排除D,选C.‎ ‎[点评] 用特值检验法易得.令a=1,b=1排除A;令a=2,b=0,排除B,D,故选C.‎ ‎(理)若a、b、c、d、x、y是正实数,且P=+,Q=·,则(  )‎ A.P=Q B.P≥Q C.P≤Q D.P>Q ‎[答案] C ‎[解析] Q=· ‎= ‎≥=+=P.‎ ‎[点评] 可用特值法求解,令所有字母全为1,则P=2,Q=2,∴P=Q,排除D;令a=b=c=d=1,x=1,y=4,则P=4,Q=5,∴P0、y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则的最小值是(  )‎ A.0    B.‎1 ‎   C.2    D.4‎ ‎[答案] D ‎[分析] 利用等差、等比数列的性质可将a、b、c、d的表达式转化为只含x、y的表达式,然后变形应用基本不等式求解.‎ ‎[解析] 由等差、等比数列的性质得 ==++2‎ ‎≥2+2=4.仅当x=y时取等号.‎ ‎6.(2012·福建理,5)下列不等式一定成立的是(  )‎ A.lg(x2+)>lgx(x>0)‎ B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)‎ C.x2+1≥2|x|(x∈R)‎ D.>1(x∈R)‎ ‎[答案] C ‎[解析] A中x=时不等式不成立,B中sinx不总大于0,D中,x=0时,不等式不成立.‎ 二、填空题 ‎7.(文)(2013·四川)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.‎ ‎[答案] 36‎ ‎[解析] ∵f(x)=4x+≥2=4,‎ 当且仅当4x=,即4x2=a时f(x)取得最小值.‎ 又∵x=3,∴a=4×32=36.‎ ‎(理)(2013·豫西五校联考)已知a,b∈R,且ab=50,则|a+2b|的最小值是________.‎ ‎[答案] 20‎ ‎[解析] 依题意得,a,b同号,于是有|a+2b|=|a|+|2b|≥2=2=2=20,当且仅当|a|=|2b|=10时取等号,因此|a+2b|的最小值是20.‎ ‎8.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________公里处.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 设仓库与车站距离为x公里,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.‎ ‎9.(文)已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1.‎ 由a+2b=2,得a=2-2b,‎ ‎∴ab=(2-2b)b=-2(b-)2+,‎ 当b=时,(ab)max=.‎ ‎[点评] 利用a+2b=2消元后可以利用基本不等式求解,也可以利用二次函数求解.‎ ‎(理)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________.‎ ‎[答案] 4‎ ‎[解析] 由题意,P、Q关于(0,0)对称,设直线PQ:y=kx(k>0),从而P(,),Q(-,-).‎ 则PQ=≥4,当且仅当k=1时,(PQ)min=4.‎ ‎[点评] 1.用基本不等式≥求最值时,要注意“一正、二定、三相等”,一定要明确什么时候等号成立.‎ ‎2.应用基本不等式求最值,要注意归纳常见的变形技巧,代入消元,配系数,“‎1”‎的代换等等.‎ ‎3.注意到P、Q关于原点对称,可设P(x0,),x0>0,则|PQ|=2|OP|=2≥4,x0=时取等号,更简捷的获解.‎ 三、解答题 ‎10.如图,互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求P在射线AM上,Q在射线AN上,且PQ过点C,其中AB=‎30m,AD=‎20m.记三角形花园APQ的面积为S.‎ ‎(1)当DQ的长度是多少时,S最小?并求S的最小值;‎ ‎(2)要使S不小于‎1600m2‎,则DQ的长应在什么范围内?‎ ‎[解析] (1)设DQ=xm(x>0),则AQ=x+20,‎ ‎∵=,∴=,‎ ‎∴AP=,则S=×AP×AQ= ‎=15(x++40)≥1200,当且仅当x=20时取等号.‎ ‎(2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0,‎ ‎∴00,b>0,a、b的等差中项是,且α=a+,β=b+,则α+β的最小值为(  )‎ A.2    B.‎3 ‎   C.4    D.5‎ ‎[答案] D ‎[解析] ∵为a、b的等差中项,∴a+b=1.‎ α+β=a++b+⇒1++=1+=1+,‎ ‎∵≤,∴ab≤=.‎ ‎∴α+β=1+≥1+4=5(当且仅当a=b=时取等号).‎ ‎∴α+β的最小值为5.故选D.‎ ‎(理)(2013·江南十校联考)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(  )‎ A.3    B.‎4 ‎   C.5    D.6‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由已知得ab=1,m+n=a+b++=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,m+n取得最小值4.故选B.‎ ‎12.(2013·温州模拟)已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值是(  )‎ A.20 B.‎18 C.16 D.19‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由·=||·||cos30°=2得||·||=4,‎ S△ABC=||·||sin30°=1,‎ 由+x+y=1得x+y=.‎ 所以+=2(+)·(x+y)=2(5++)≥2×(5+2)=18等号在x=,y=时成立.‎ ‎13.(文)(2012·河南六市联考)函数y=logax+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线+-4=0(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为(  )‎ A.2+ B.‎2 C.1 D.4‎ ‎[答案] C ‎[解析] y=logax+1过定点A(1,1),∵A在直线+-4=0上,∴+=4,∵m>0,n>0,‎ ‎∴m+n=(m+n)(+)=(2++)≥(2+2)=1,等号在m=n=时成立,‎ ‎∴m+n的最小值为1.‎ ‎(理)已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值等于(  )‎ A.1 B.‎2 C.2 D.2 ‎[答案] B ‎[解析] 由条件知(b2+1)-ab2=0,∴a=,‎ ‎∴ab==b+≥2,等号在b=1,a=2时成立.‎ 二、填空题 ‎14.已知c是椭圆+=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是________.‎ ‎[答案] (1,]‎ ‎[解析] 由题设条件知,a1,‎ ‎∵a2=b2+c2,∴=≤=2,∴≤.‎ ‎15.(文)设圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则AB的最小值为______.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为+=1,则=1,‎ ‎∴a2b2=a2+b2≥2ab,切线与两轴交于点A(a,0)和(0,b),不妨设a>0,b>0,∴ab≥2,则AB=|AB|=≥≥2.‎ ‎(理)过点P(-,0)作直线l与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最大值为________,此时直线倾斜角的正切值为________.‎ ‎[答案]  ± ‎[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my-,‎ S△AOB=|OP| ·|y1|+|OP|· |y2|‎ ‎=(|y1|+|y2|)=|y1-y2|‎ 把x=my-代入椭圆方程得:‎ ‎3(m2y2-2my+3)+4y2-12=0,‎ 即(‎3m2‎+4)y2-6my-3=0,‎ y1+y2=,y1y2=- ‎∴|y1-y2|= ‎== ‎==≤=2,‎ ‎∴S≤×2=,此时=⇒m=±.‎ 令直线的倾角为α,则tanα=±=±,‎ 即△OAB面积的最大值为,此时直线的倾斜角的正切值为±.‎ 三、解答题 ‎16.合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山,终于苏皖交界的吴庄,全长‎133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于‎60km/h且不高于‎120km/h的速度匀速行驶到吴庄.已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成:固定部分为200元;可变部分与速度v(km/h)的平方成正比.当汽车以最快速度行驶时,每小时的运输成本为488元.‎ ‎(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数;‎ ‎(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元?‎ ‎[解析] (1)依题意488=200+k×1202⇒k=0.02.‎ f(v)=(200+0.02v2)=133(+0.02v)(60≤v≤120).‎ ‎(2)f(v)=133(+0.02v)≥133×2=532,当且仅当=0.02v,即v=100时,“=”成立,‎ 即汽车以‎100km/h的速度行驶,全程运输成本最小为532元.‎ 考纲要求 ‎1.了解基本不等式的证明过程.‎ ‎2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 补充说明 ‎1.证明不等式常用的方法:‎ 比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义).‎ ‎2.条件最值是基本不等式的一个重要应用.应用基本不等式求最值时,①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键.②必须指出等号成立的条件.‎ 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:一正二定三相等 .‎ ‎(1)“一正”就是各项必须为正数;‎ ‎(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的两个因式的和转化成定值;‎ ‎(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.‎ ‎3.基本不等式的常见变式及有关结论 ‎(1)a2+b2≥2ab(a、b∈R);‎ a2+b2≥(a、b∈R);ab≤2(a、b∈R)‎ 2≤(a、b∈R),以上各等号在a=b时成立.‎ ‎(2)+≥2(a、b同号),特别地+a≥2(a>0),+a≤-2(a<0).‎ ≥≥≥(a、b∈R+).‎ 备选习题 ‎1.使-x2+2x≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做-x2+2x的“上确界”,若a,b∈R,且a+b=1,则--的“上确界”为(  )‎ A. B. C.- D.-4‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由题意知,问题相当于求--的最大值.‎ ‎∵--=-(+)(a+b)=-(+2++)‎ ‎≤--2=--2=-.‎ 当且仅当=,即b=‎2a=时,等号成立,故--的“上确界”为-.故选C.‎ ‎2.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(  )‎ A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 ‎[答案] B ‎[解析] 由题意知仓储x件需要的仓储费为元,所以平均费用为y=+≥2=20,当且仅当x=80等号成立.‎ ‎3.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为(  )‎ A. B. C.+ D.+2 ‎[答案] C ‎[解析] 圆的直径是4,说明直线过圆心(-1,2),故a+b=1,+=(a+b)(+)=++≥+,当且仅当=,即a=2(-1),b=2-时取等号,故选C.‎ ‎4.如图,在等腰直角△ABC中,点P是斜边BC的中点,过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则mn的最大值为(  )‎ A.    B.‎1 ‎   C.2    D.3‎ ‎[答案] B ‎[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC的腰长为2,则P点坐标为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵=m,=n,‎ ‎∴=,=,∴M、N,‎ ‎∴直线MN的方程为+=1,‎ ‎∵直线MN过点P(1,1),∴+=1,∴m+n=2,‎ ‎∵m+n≥2,∴mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,∴mn的最大值为1.‎ ‎5.(2012·内蒙包头一模)若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0,(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0,(b∈R)外切,则a+b的最大值为(  )‎ A.-3 B.-‎3 C.3 D.3 ‎[答案] D ‎[解析] ⊙C1:(x+a)2+y2=4的圆心C1(-a,0),半径r1=2,⊙C2:x2+(y-b)2=1的圆心C2(0,b),半径r2=1,‎ ‎∵⊙C1与⊙C2外切,∴|C‎1C2|=r1+r2,‎ ‎∴a2+b2=9,‎ ‎∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=18,‎ ‎∴a+b≤3,等号在a=b=时成立.‎ ‎6.如图所示,已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点,E是边AC上任一点,连接DE,F是线段DE上一点,连接BF,设=λ1,=λ2,且λ1+λ2=,记△BDF的面积为S=f(λ1,λ2),则S的最大值是________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 连接BE.因为△ABC的面积为1,=λ2,所以△ABE的面积为λ2.因为D是AB的中点,所以△BDE的面积为.因为=λ1,所以△BDF的面积S=f(λ1,λ2)=λ1λ2≤()2=,上式当且仅当λ1=λ2=时取等号.‎
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