2015高考数学人教A版本（7-2基本不等式）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(2013·淮北模拟)函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
[答案] A
[解析] ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝
＝x－1＋＋2
≥2·＋2＝2＋2，
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
2．(文)(2013·西安二模)在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] D
[解析] 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意实数x恒成立，
∵x2－x－1＝(x－)2－≥－，∴－≥a2－a－2，
∴－≤a≤.故选D.
(理)(2013·安徽八校联考)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－1
2
C．b<－1或b>2 D．不能确定
[答案] C
[解析] 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的对称轴为x＝＝1，故a＝2.
又f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)>0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
3．a、b为正实数，a、b的等差中项为A；、的等差中项为；a、b的等比中项为G(G>0)，则( )
A．G≤H≤A B．H≤G≤A
C．G≤A≤H D．H≤A≤G
[答案] B
[解析] 由题意知A＝，H＝，G＝，
易知≥≥，∴A≥G≥H.
4．(文)已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[答案] C
[解析] ∵2＝a＋b≥2，∴ab≤1，排除A、B；
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，排除D，选C.
[点评] 用特值检验法易得．令a＝1，b＝1排除A；令a＝2，b＝0，排除B，D，故选C.
(理)若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则( )
A．P＝Q B．P≥Q
C．P≤Q D．P>Q
[答案] C
[解析] Q＝·
＝
≥＝＋＝P.
[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P＝2，Q＝2，∴P＝Q，排除D；令a＝b＝c＝d＝1，x＝1，y＝4，则P＝4，Q＝5，∴P0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
[答案] D
[分析] 利用等差、等比数列的性质可将a、b、c、d的表达式转化为只含x、y的表达式，然后变形应用基本不等式求解．
[解析] 由等差、等比数列的性质得
＝＝＋＋2
≥2＋2＝4.仅当x＝y时取等号．
6．(2012·福建理，5)下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)>lgx(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
[答案] C
[解析] A中x＝时不等式不成立，B中sinx不总大于0，D中，x＝0时，不等式不成立．
二、填空题
7．(文)(2013·四川)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
[答案] 36
[解析] ∵f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时f(x)取得最小值．
又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
(理)(2013·豫西五校联考)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
[答案] 20
[解析] 依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
[答案] 5
[解析] 设仓库与车站距离为x公里，由已知y1＝；y2＝0.8x费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．
9．(文)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
[答案]
[解析] 因为A(2,0)，B(0,1)，所以0≤b≤1.
由a＋2b＝2，得a＝2－2b，
∴ab＝(2－2b)b＝－2(b－)2＋，
当b＝时，(ab)max＝.
[点评] 利用a＋2b＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解．
(理)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k>0)，从而P(，)，Q(－，－)．
则PQ＝≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.
[点评] 1.用基本不等式≥求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．
2．应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．
3．注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4，x0＝时取等号，更简捷的获解．
三、解答题
10．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30m，AD＝20m.记三角形花园APQ的面积为S.
(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；
(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？
[解析] (1)设DQ＝xm(x>0)，则AQ＝x＋20，
∵＝，∴＝，
∴AP＝，则S＝×AP×AQ＝
＝15(x＋＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，
∴00，b>0，a、b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] ∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝1.
α＋β＝a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，
∵≤，∴ab≤＝.
∴α＋β＝1＋≥1＋4＝5(当且仅当a＝b＝时取等号)．
∴α＋β的最小值为5.故选D.
(理)(2013·江南十校联考)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] B
[解析] 由已知得ab＝1，m＋n＝a＋b＋＋＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，m＋n取得最小值4.故选B.
12．(2013·温州模拟)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是( )
A．20 B．18 C．16 D．19
[答案] B
[解析] 由·＝||·||cos30°＝2得||·||＝4，
S△ABC＝||·||sin30°＝1，
由＋x＋y＝1得x＋y＝.
所以＋＝2(＋)·(x＋y)＝2(5＋＋)≥2×(5＋2)＝18等号在x＝，y＝时成立．
13．(文)(2012·河南六市联考)函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为( )
A．2＋ B．2 C．1 D．4
[答案] C
[解析] y＝logax＋1过定点A(1,1)，∵A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，
∴m＋n＝(m＋n)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，等号在m＝n＝时成立，
∴m＋n的最小值为1.
(理)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于( )
A．1 B．2 C．2 D．2
[答案] B
[解析] 由条件知(b2＋1)－ab2＝0，∴a＝，
∴ab＝＝b＋≥2，等号在b＝1，a＝2时成立．
二、填空题
14．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是________．
[答案] (1，]
[解析] 由题设条件知，a1，
∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.
15．(文)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则AB的最小值为______．
[答案] 2
[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.
(理)过点P(－，0)作直线l与椭圆3x2＋4y2＝12相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．
[答案] ±
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－，
S△AOB＝|OP| ·|y1|＋|OP|· |y2|
＝(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2|
把x＝my－代入椭圆方程得：
3(m2y2－2my＋3)＋4y2－12＝0，
即(3m2＋4)y2－6my－3＝0，
y1＋y2＝，y1y2＝－
∴|y1－y2|＝
＝＝
＝＝≤＝2，
∴S≤×2＝，此时＝⇒m＝±.
令直线的倾角为α，则tanα＝±＝±，
即△OAB面积的最大值为，此时直线的倾斜角的正切值为±.
三、解答题
16．合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成：固定部分为200元；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．
(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数；
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？
[解析] (1)依题意488＝200＋k×1202⇒k＝0.02.
f(v)＝(200＋0.02v2)＝133(＋0.02v)(60≤v≤120)．
(2)f(v)＝133(＋0.02v)≥133×2＝532，当且仅当＝0.02v，即v＝100时，“＝”成立，
即汽车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小为532元．
考纲要求
1．了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
补充说明
1．证明不等式常用的方法：
比较法(作差法和作商法)、综合法、分析法、反证法、放缩法、换元法(三角代换法)、单调性法、判别式法、几何法(利用几何意义)．
2．条件最值是基本不等式的一个重要应用．应用基本不等式求最值时，①通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．②必须指出等号成立的条件．
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等 .
(1)“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的两个因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
3．基本不等式的常见变式及有关结论
(1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)；
a2＋b2≥(a、b∈R)；ab≤2(a、b∈R)
2≤(a、b∈R)，以上各等号在a＝b时成立．
(2)＋≥2(a、b同号)，特别地＋a≥2(a>0)，＋a≤－2(a<0)．
≥≥≥(a、b∈R＋)．
备选习题
1．使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的“上确界”，若a，b∈R，且a＋b＝1，则－－的“上确界”为( )
A. B. C．－ D．－4
[答案] C
[解析] 由题意知，问题相当于求－－的最大值．
∵－－＝－(＋)(a＋b)＝－(＋2＋＋)
≤－－2＝－－2＝－.
当且仅当＝，即b＝2a＝时，等号成立，故－－的“上确界”为－.故选C.
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
[答案] B
[解析] 由题意知仓储x件需要的仓储费为元，所以平均费用为y＝＋≥2＝20，当且仅当x＝80等号成立．
3．若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A. B.
C.＋ D.＋2
[答案] C
[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即a＝2(－1)，b＝2－时取等号，故选C.
4．如图，在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为( )
A. B．1 C．2 D．3
[答案] B
[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵＝m，＝n，
∴＝，＝，∴M、N，
∴直线MN的方程为＋＝1，
∵直线MN过点P(1,1)，∴＋＝1，∴m＋n＝2，
∵m＋n≥2，∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.
5．(2012·内蒙包头一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0，(b∈R)外切，则a＋b的最大值为( )
A．－3 B．－3 C．3 D．3
[答案] D
[解析] ⊙C1：(x＋a)2＋y2＝4的圆心C1(－a,0)，半径r1＝2，⊙C2：x2＋(y－b)2＝1的圆心C2(0，b)，半径r2＝1，
∵⊙C1与⊙C2外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，
∴a2＋b2＝9，
∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝18，
∴a＋b≤3，等号在a＝b＝时成立．
6．如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设＝λ1，＝λ2，且λ1＋λ2＝，记△BDF的面积为S＝f(λ1，λ2)，则S的最大值是________．
[答案]
[解析] 连接BE.因为△ABC的面积为1，＝λ2，所以△ABE的面积为λ2.因为D是AB的中点，所以△BDE的面积为.因为＝λ1，所以△BDF的面积S＝f(λ1，λ2)＝λ1λ2≤()2＝，上式当且仅当λ1＝λ2＝时取等号．
