2015高考数学文一轮方法测评练12基础回扣练——推理证明算法复数

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2015高考数学文一轮方法测评练12基础回扣练——推理证明算法复数

基础回扣练——推理证明、算法、复数 ‎(建议用时:60分钟)‎ 一、填空题 ‎1.(2013·北京卷改编)在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于第________象限.‎ 解析 因为i(2-i)=1+2i,所以对应的点的坐标为(1,2),该点在第一象限.‎ 答案 一 ‎2.(2013·辽宁卷改编)复数z=的模为________.‎ 解析 z===--i,‎ ‎∴|z|==.‎ 答案  ‎3.(2014·韶关调研)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+,则a+b=________.‎ 解析 由已知得ai+i2=b+(2+i),‎ 即-1+ai=(b+2)+i,∴∴ ‎∴a+b=1-3=-2.‎ 答案 -2‎ ‎4.(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是________.‎ 解析 设z=a+bi(a,b∈R),由题意知a=1,‎ ‎∴1+b2=4,∴b2=3,∴b=±.‎ 答案 ± ‎5.(2014·青岛一模)某流程图如图所示,若a=3,则该程序运行后,输出的x值为________.‎ 解析 第一次循环:x=2×3+1=7,n=2;‎ 第二次循环:x=2×7+1=15,n=3;‎ 第三次循环:x=2×15+1=31,n=4.‎ 此时不满足条件,输出x=31.‎ 答案 31‎ ‎6.(2014·徐州一模)执行如图所示的流程图,则输出n的值为________.‎ 解析 第一次循环,n=1,S=1+2=3;第二次循环,n=2,S=2×3+2=8;第三次循环,n=3,S=3×8+2=26;第四次循环,n=4,S=4×26+2=106,此时满足条件,输出n=4.‎ 答案 4‎ ‎7.(2014·绍兴模拟)已知某流程图如图所示,当输入的x的值为5时,输出的y的值恰好是,则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是________.‎ ‎①y=x3;②y=;③y=3x;④y=3-x.‎ 解析 由流程图可知,当输入的x的值为5时,‎ 第一次运行,x=5-2=3;‎ 第二次运行,x=3-2=1;‎ 第三次运行,x=1-2=-1,‎ 此时x≤0,退出循环,要使输出的y的值为,只有③中的函数y=3x符合要求.‎ 答案 ③‎ ‎8.(2014·咸阳模拟)某算法的流程图如图所示,如果输出的结果为5,57,则判断框内应为________.‎ ‎①k≤6;②k>4;③k>5;④k≤5.‎ 解析 当k=1时,S=2×0+1=1;当k=2时,S=2×1+2=4;当k=3时,S=2×4+3=11;当k=4时,S=2×11+4=26;当k=5时,S=2×26+5=57,由题意知此时退出循环.‎ 答案 ②‎ ‎9.(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7,…排成五列(如下表),按此表的排列规律,89所在的位置是第________列.‎ 解析 正奇数从小到大排,则89位居第45位,而45=4×‎ ‎11+1,故89位于第四列.‎ 答案 四 ‎10.(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体OABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则S,S1,S2,S3满足的关系式为________.‎ ‎①S2=S+S+S;②S2=++;③S=S1+S2+S3;④S=++.‎ 解析 如图,作OD⊥BC于点D,连接AD,由立体几何知识知,AD⊥BC,从而S2=2=BC2·AD2=BC2·(OA2+OD2)=(OB2+OC2)·OA2+BC2·OD2=2+2+2=S+S+S.‎ 答案 ①‎ ‎11.(2014·湛江二模)已知i是虚数单位,则=________.‎ 解析 =1-i.‎ 答案 1-i ‎12.(2014·无锡一模)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a=________.‎ 解析 ==+i,‎ 由题意知:=0,∴a=2.‎ 答案 2‎ ‎13.(2013·浙江卷)‎ 若某流程图如图所示,则该程序运行后输出的值等于________.‎ 解析 第一步:S=1+=,k=2;‎ 第二步:S=+=,k=3;‎ 第三步:S=+=,k=4;‎ 第四步:S=+=,k=5,‎ 结束循环.输出S=.‎ 答案  ‎14.(2014·泰安一模)若流程图如图所示,则该程序运行后输出k的值为________.‎ 解析 第一次:n=3×5+1=16,k=1;‎ 第二次:n==8,k=2;‎ 第三次:n==4,k=3;‎ 第四次:n==2,k=4;‎ 第五次:n==1,k=5,‎ 此时满足条件,输出k=5.‎ 答案 5‎ ‎15.(2013·陕西卷)观察下列等式 ‎12=1‎ ‎12-22=-3‎ ‎12-22+32=6‎ ‎12-22+32-42=-10‎ ‎……‎ 照此规律,第n个等式可为________.‎ 解析 观察规律可知,第n个式子为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=‎ ‎(-1)n+1.‎ 答案 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 ‎16.(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体ABCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=________.‎ 解析 平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比,所以=.‎ 答案  二、解答题 ‎17.在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立.‎ ‎(1)求a2的取值范围;‎ ‎(2)判断数列{an}能否为等比数列,并说明理由.‎ 解 (1)因为{an}是单调递增数列,所以a2>a1,即a2>2.‎ 又(n+1)an≥na2n,令n=1,则有‎2a1≥a2,即a2≤4,所以a2∈(2,4].‎ ‎(2)数列{an}不能为等比数列.‎ 用反证法证明:‎ 假设数列{an}是公比为q的等比数列,由a1=2>0,得an=2qn-1.‎ 因为数列{an}单调递增,所以q>1.‎ 因为(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立,‎ 所以对任意n∈N*,都有1+≥qn.①‎ 因为q>1,所以存在n0∈N*,‎ 使得当n≥n0时,qn>2.‎ 因为1+≤2(n∈N*).‎ 所以存在n0∈N*,使得当n≥n0时,qn>1+,与①矛盾,故假设不成立.‎ ‎18.(2014·福州质检)阅读下面材料:‎ 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,‎ ‎①‎ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,‎ ‎②‎ 由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,‎ ‎③‎ 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=,‎ 代入③得sin A+sin B=2sin cos.‎ ‎(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cos A-cos B=-2sinsin;‎ ‎(2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos ‎2A-cos 2B=1-cos ‎2C,试判断△ABC的形状.‎ ‎(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)‎ 解 (1)因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,‎ ‎①‎ cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,‎ ‎②‎ ‎①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β.‎ ‎③‎ 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=,‎ 代入③得cos A-cos B=-2sin sin.‎ ‎(2)由二倍角公式,cos ‎2A-cos 2B=1-cos ‎2C可化为1-2sin‎2A-1+2sin2B=1-1+2sin‎2C,‎ 所以sin‎2A+sin‎2C=sin2B.‎ 设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,‎ 由正弦定理可得a2+c2=b2.‎ 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形.‎ ‎  在学习数学的过程中,各种水平的学生,包括青少年以及更低水平的学生,用一种系统的方式,动手“做”并在动作中理解,都远比用语言更能表达。‎ ‎——皮亚杰
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