三角函数高考真题教师

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1 2015-2017 三角函数高考真题 1、（2015 全国 1 卷 2 题） =（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】原式= = = ，故选 D. 2、（2015 全国 1 卷 8 题）函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递 减区间为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ， 令 ，解得 ＜ ＜ ， ，故单调减区间为 （ ， ）， ，故选 D. 考点：三角函数图像与性质 3、（2015 全国 1 卷 12 题）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值 范围是 . 【答案】（ ， ） 【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在△BCE 中 ， ∠ B= ∠ C=75° ， ∠ E=30° ， BC=2 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 即 ，解得 = ，平移 AD ，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时与 AB o o o osin 20 cos10 cos160 sin10− 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 o o o osin 20 cos10 cos20 sin10+ osin30 1 2 ( )f x cos( )xω ϕ+ ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈ 1 +4 2 5 3+4 2 πω ϕ πω ϕ  =  = =ω π = 4 πϕ ( ) cos( )4f x x ππ= + 2 2 ,4k x k k Z ππ π π π< + < + ∈ 12 4k − x 32 4k + k Z∈ 12 4k − 32 4k + k Z∈ 6 2− 6+ 2 sin sin BC BE E C =∠ ∠ o o 2 sin30 sin 75 BE= BE 6+ 2 2 交于 F，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知， ， 即 ， 解 得 BF= ， 所 以 AB 的 取 值 范 围 为 （ ， ）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 4、（2015 全国 2 卷 10 题）如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点， 点 沿着边 ， 与 运动，记 ．将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，则 的图像大致为（ ） 【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 在 边 上 运 动 时 ， 即 时 ， ；当点 在 边上运动时，即 时， ，当 时， ；当点 在 边上运动时，即 时， ，从点 的运动过 程可以看出，轨迹关于直线 对称，且 ，且轨迹非线型，故选 B． sin sin BF BC FCB BFC =∠ ∠ o o 2 sin30 sin 75 BF = 6 2− 6 2− 6+ 2 ABCD 2AB = 1BC = O AB P BC CD DA BOP x∠ = P A B x ( )f x ( )y f x= D P C B OA x P BC 0 4x π≤ ≤ 2tan 4 tanPA PB x x+ = + + P CD 3 ,4 4 2x x π π π≤ ≤ ≠ 2 21 1( 1) 1 ( 1) 1tan tanPA PB x x + = − + + + + 2x π= 2 2PA PB+ = P AD 3 4 x π π≤ ≤ 2tan 4 tanPA PB x x+ = + − P 2x π= ( ) ( )4 2f f π π> 3 考点：函数的图象和性质． 5、（2015 全国 2 卷 17 题） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍． （Ⅰ） 求 ； （Ⅱ）若 ， ，求 和 的长． 【 解 析 】（Ⅰ ） ， ， 因 为 ， ，所以 ．由正弦定理可得 ． （Ⅱ）因为 ，所以 ．在 和 中，由余弦定 理得 ， ． ．由（Ⅰ）知 ，所以 ． 考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理． 6、（2016 全国 1 卷 12 题）已知函数 为 的零点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 考点：三角函数的性质 【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考 查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① 的 单调区间长度是半个周期;②若 的图像关于直线 ABC∆ D BC AD BAC∠ ABD∆ ADC∆ sin sin B C ∠ ∠ 1AD = 2 2DC = BD AC 1 sin2ABDS AB AD BAD∆ = ⋅ ∠ 1 sin2ADCS AC AD CAD∆ = ⋅ ∠ 2ABD ADCS S∆ ∆= BAD CAD∠ = ∠ 2AB AC= sin 1 sin 2 B AC C AB ∠ = =∠ : :ABD ADCS S BD DC∆ ∆ = 2BD = ABD∆ ADC∆ 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC+ = + + = 2AB AC= 1AC = ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −， ( )f x 4x π= ( )y f x= ( )f x 5 18 36 π π    ， ω ( ) ( )( )sin 0, 0f x A x Aω ϕ ω= + ≠ ≠ ( ) ( )( )sin 0, 0f x A x Aω ϕ ω= + ≠ ≠ 4 对称,则 或 . 7、（2016 全国 1 卷 17 题） 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 （I）求 C； （II）若 的面积为 ,求 的周长． 试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得 ,故 ；（II）根据 ．及 得 ．再利用余弦定理得 ．再根据 可得 的周长为 ． 考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, ,就是常用的结论,另外 利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角 化边.” 0x x= ( )0f x A= ( )0f x A= − ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= 7,c ABC= ∆ 3 3 2 ABC 1cosC 2 = C 3 π= 1 3 3sin C2 2ab = C 3 π= 6ab = ( )2 25a b+ = 7c = C∆ΑΒ 5 7+ ( ) ( )sin sin ,cos cos ,A B C A B C+ = + = − ( )tan tanA B C+ = − 5 8、（2016 全国 2 卷 7 题）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图 象的对称轴为 （A） （B） （C） （D） 解析：平移后图像表达式为 ， 令 ，得对称轴方程： ， 故选 B． 9、（2016 全国 2 卷 9 题）若 ，则 = （A） （B） （C） （D） 【解析】D ∵ ， ， 10、（2016 全国 2 卷 13 题） 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 ． 【解析】 ∵ ， ， ， ， ， 由正弦定理得： 解得 ． 11、（2016 全国 3 卷 5 题）若 ，则 （ ） (A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A 【解析】 π2sin 2 12y x = +   π π2 π +12 2x k + =   ( )π π 2 6 Zkx k= + ∈ 3cos 4 5 π α − =   2π π 7sin 2 cos 2 2cos 12 4 25 α α α   = − = − − =       21 13 4cos 5A = 5cos 13C = 3sin 5A = 12sin 13C = ( ) 63sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C= + = + = sin sin b a B A = 21 13b = π 12 ( )π π 2 6 kx k= − ∈Z ( )π π 2 6 kx k= + ∈Z ( )π π 2 12 Zkx k= − ∈ ( )π π 2 12 Zkx k= + ∈ π 3cos 4 5 α − =   sin 2α 7 25 1 5 1 5 − 7 25 − ABC△ 4cos 5A = 5cos 13C = 1a = b = 3tan 4 α = 2cos 2sin 2α α+ = 64 25 48 25 16 25 6 试 题 分 析 ： 由 ， 得 或 ， 所 以 ，故选 A． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去 非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联 系． 12、（2016全国3卷8题）在 中， ， 边上的高等于 ,则 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 设 边 上 的 高 线 为 ， 则 ， 所 以 ， ． 由 余 弦 定 理 ， 知 ，故选 C． 考点：余弦定理． 13、（2016 全国 3 卷 14 题）函数 的图像可由函数 的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数． 【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也 经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017 年全国 1 卷 9 题） 9、已知曲线 ， ，则下面结论正确的是（） A．把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 3tan 4 α = 3 4sin ,cos5 5 α α= = 3 4sin ,cos5 5 α α= − = − 2 16 12 64cos 2sin 2 425 25 25 α α+ = + × = ABC△ π 4B = BC 1 3 BC cos A = 3 10 10 10 10 10 10- 3 10 10- BC AD 3BC AD= 2 2 5AC AD DC AD= + = 2AB AD= 2 2 2 2 2 22 5 9 10cos 2 102 2 5 AB AC BC AD AD ADA AB AC AD AD + − + −= = = −⋅ × × sin 3 cosy x x= − sin 3 cosy x x= + 3 2π x 1 : cosC y x= 2 2π: sin 2 3C y x = +   1C 2 π 6 2C 7 B．把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 【答案】D 【解析】 ， 首先曲线 、 统一为一三角函数名，可将 用诱导公式处理． ．横坐标变换需将 变成 ， 即 ． 注意 的系数，在右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ， 根据“左加右减”原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 ． 15、（2017 年全国 1 卷 17 题） 17、 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1） 面积 .且 由正弦定理得 ， 由 得 . （2）由（1）得 ， 1C 2 π 12 2C 1C 1 2 π 6 2C 1C 2 π 12 2C 1 : cosC y x= 2 2π: sin 2 3  = +  C y x 1C 2C 1 : cosC y x= π π πcos cos sin2 2 2    = = + − = +      y x x x 1=ω 2=ω 1 1 2π π πsin sin 2 sin22 2 4      = + → = + = +           C 上各 坐 短它原 y x y x x点横 标缩 来 2π πsin 2 sin23 3    → = + = +      y x x ω 2=ω π 4 +x π 3 +x π 4 +x π 3 +x π 12 π 12 ABC△ A B C a b c ABC△ 2 3sin a A sin sinB C 6cos cos 1B C = 3a = ABC△ ∵ ABC△ 2 3sin aS A = 1 sin2S bc A= ∴ 2 1 sin3sin 2 a bc AA = ∴ 2 23 sin2a bc A= ∵ 2 23sin sin sin sin2A B C A= sin 0A ≠ 2sin sin 3B C = 2sin sin 3B C = 1cos cos 6B C = ∵ πA B C+ + = 8 又 ， ， 由余弦定理得 ① 由正弦定理得 ， ② 由①②得 ，即 周长为 16、（2017 年全国 2 卷 14 题） 函数 （ ）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力 【解析】∵ ， ∴ 设 ， ，∴ 函数对称轴为 ，∴ 17 、（ 2017 年 全 国 2 卷 17 题 ） 的 内 角 的 对 边 分 别 为 , 已 知 ． (1)求 (2)若 , 面积为 2,求 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形． 【 试 题 分 析 】 在 第 （ Ⅰ ） 中 ， 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 ， 将 转化为角 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简 ， 结合 求出 ；②利用二倍角公式，化简 ，两边约去 ，求得 ，进而求得 .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和 ∴ ( ) ( ) 1cos cos π cos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C= − − = − + = − = ∵ ( )0 πA∈ ， ∴ 60A = ° 3sin 2A = 1cos 2A = 2 2 2 9a b c bc= + − = sinsin ab BA = ⋅ sinsin ac CA = ⋅ ∴ 2 2 sin sin 8sin abc B CA = ⋅ = 33b c+ = ∴ 3 33a b c+ + = + ABC△ 3 33+ ( ) 2 3sin 3 cos 4f x x x= + − 0, 2x π ∈   ( ) 2 3sin 3cos 0,4 2f x x x x π  = + − ∈     2 2sin cos 1x x+ = ( ) 2 1cos 3cos 4f x x x= − + + cost x= [ ]0,1t ∈ ( ) 2 13 4f x t t= − + + [ ]3 0,12t = ∈ ( )max 1f x = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2sin( ) 8sin 2 BA C+ = cos B 6a c+ = ABC∆ .b A C Bπ+ = − 2sin8)sin( 2 BCA =+ B 2sin 2 B 2 2sin cos 1B B+ = cos B 2sin8sin 2 BB = 2sin B 2tan B Bcos 9 面积公式求出 ，从而求出 ． （Ⅰ） 【基本解法 1】 由题设及 ，故 上式两边平方，整理得 解得 【基本解法 2】 由题设及 ，所以 ，又 ， 所以 ， （Ⅱ）由 ，故 又 由余弦定理及 得 所以 b=2 【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角 形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的 边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 三者的关系，这样的题目 小而活，备受老师和学生的欢迎． 18、（2017全国3卷6题）设函数 ，则下列结论错误的是（） A． 的一个周期为 B． 的图像关于直线 对 称 C． 的一个零点为 D． 在 单调递减 【答案】D a c ac+ 、 b 2sin8sin, 2 BBCBA ==++ π sin 4 -cosBB = （1 ） 217cos B-32cosB+15=0 15cosB= cosB 171（舍去）， = 2sin8sin, 2 BBCBA ==++ π 2sin82cos2sin2 2 BBB = 02sin ≠B 4 1 2tan =B 17 15 2tan1 2tan1 cos 2 2 = + − = B B B 15 8cosB sin B17 17 == 得 1 4a sin2 17ABCS c B ac∆ = = 17=2 2ABCS ac∆ =，则 a 6c+ = 2 2 2 2 b 2 cos a 2 (1 cosB) 17 1536 2 (1 )2 17 4 a c ac B ac = + − = − + = − × × + = （ +c） 2 2, ,a c ac a c+ + π( ) cos( )3f x x= + ( )f x 2π− ( )y f x= 8π 3x = ( )f x π+ π 6x = ( )f x π( , π)2 10 【解析】函数 的图象可由 向左平移 个单位得到， 如图可知， 在 上先递减后递增，D选项错误，故选D. 19 、（ 2017 全 国 3 卷 17 题 ） 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 ， ， ． （1）求c； （2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积． 【解析】（1）由 得 ， 即 ，又 ， ∴ ，得 . 由余弦定理 .又∵ 代入并整理 得 ，故 . （2）∵ ， 由余弦定理 . ∵ ，即 为直角三角形， 则 ，得 . 由勾股定理 . 又 ，则 ， . ( ) πcos 3f x x = +   cosy x= π 3 ( )f x π ,π2      π2 3 π5 3- π 3 6 π x y O ABC∆ sin 3cos 0A A+ = 2 7a = 2b = D BC AD AC⊥ ABD△ sin 3cos 0A A+ = π2sin 03A + =   ( )π π3A k k+ = ∈Z ( )0,πA∈ π π3A + = 2π 3A = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ⋅ 12 7, 2,cos 2a b A= = = − ( )21 25c + = 4c = 2, 2 7, 4AC BC AB= = = 2 2 2 2 7cos 2 7 a b cC ab + −= = AC AD⊥ ACD△ cosAC CD C= ⋅ 7CD = 2 2 3AD CD AC= − = 2π 3A = 2π π π 3 2 6DAB∠ = − = 1 πsin 32 6ABDS AD AB= ⋅ ⋅ =△