江苏省高考数学热身卷解析

江苏省高考数学热身卷解析

‎2016年江苏省高考数学热身卷 ‎　‎ 一、填空题：本题共14个小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．设集合A={x|＞1}，B={x|y=}，则A∩（∁RB）等于　　　　　　．‎ ‎2．若复数（a∈R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为　　　　　　．‎ ‎3．已知平面向量的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|﹣2|的值为　　　　　　．‎ ‎4．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为　　　　　　．‎ ‎5．如图是一个算法的伪代码，其运行的结果S 为　　　　　　‎ ‎6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；‎ ‎②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；‎ ‎④l⊥m⇒α∥β 其中正确命题的序号是　　　　　　．‎ ‎7．已知双曲线﹣=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为　　　　　　．‎ ‎8．已知数列{an} 满足a1=2，an+1=（n∈N*），则a1a2a3…a2010 的值为　　　　　　．‎ ‎9．已知函数（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m=　　　　　　．‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则△ABC的面积等于　　　　　　．‎ ‎11．已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0‎ ‎），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为　　　　　　．‎ ‎12．已知定义在（﹣∞，+∞） 上的函数f（x）=，则方程f（x）+1=log4|x|的实数解的个数是　　　　　　．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为　　　　　　．‎ ‎14．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．‎ ‎（I）求y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．‎ ‎16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥底面ABCD，E为棱PA上一点．‎ ‎（1）求证：BD⊥OE；‎ ‎（2）若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO∥平面PBC．‎ ‎17．某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）‎ ‎（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；‎ ‎（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．‎ ‎18．已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．‎ ‎（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；‎ ‎（Ⅲ）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎19．已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；‎ ‎（Ⅲ）设an+1=，Sn=，求证：2＜＜6．‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣，a∈R．‎ ‎（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）当a＞1时，设函数g（x）=|f（x﹣1）+x﹣1+|，若实数b满足：b＞a且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4＜b＜5．‎ ‎　‎ 附加题 ‎21．选修4﹣2：矩阵与变换 已知曲线C：y2=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．‎ ‎（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．‎ ‎23．某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．‎ ‎（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．‎ ‎24．如图，已知定点R（0，﹣3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．‎ ‎（1）求动点M的轨迹C1；‎ ‎（2）圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点（0，1）的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省高考数学热身卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本题共14个小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．设集合A={x|＞1}，B={x|y=}，则A∩（∁RB）等于　（0，1）　．‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】由题意，可先解分式不等式和指数不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁RB）即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：由＞1即为﹣1＞0，即＞0，即为x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，‎ ‎∴A=（0，1），‎ 由2x﹣16≥0，即2x≥16=24，解得x≥4，‎ ‎∴B=[4，+∞），‎ ‎∴∁RB=（﹣∞，4），‎ ‎∴A∩（∁RB）=（0，1）‎ ‎ 故答案为：（0，1）‎ ‎　‎ ‎2．若复数（a∈R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为　3　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．‎ ‎【解答】解：∵===是纯虚数，‎ ‎∴，解得：a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎3．已知平面向量的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|﹣2|的值为　2　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用向量的数量积运算性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵平面向量的夹角为60°，=（2，0），||=1，‎ ‎∴|﹣2|===2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎4．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为　frac{7}{10}　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】求出从6瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数，取出的2瓶不是果汁类饮料的种数，利用对立事件的概率可求得所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率．‎ ‎【解答】解：从5瓶饮料中随机抽出2瓶，所有的抽法种数为=10（种），‎ 取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为=3（种）．‎ 所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．如图是一个算法的伪代码，其运行的结果S 为　25　‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】根据题意，可知该循环变量的初值为3，终值为9，步长为2，代入模拟程序的运行过程，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由于循环变量的初值为3，终值为9，步长为2‎ 所以该程序运行后输出的是算式 S=1+3+5+7+9=25．‎ 故答案为：25．‎ ‎　‎ ‎6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；‎ ‎②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；‎ ‎④l⊥m⇒α∥β 其中正确命题的序号是　①③　．‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论 ‎【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，‎ 当α∥β有l⊥m，故①正确 当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故②不正确 当l∥m有α⊥β，故③正确，‎ 当l⊥m有α∥β或α∩β，故④不正确，‎ 综上可知①③正确，‎ 故答案为：①③‎ ‎　‎ ‎7．已知双曲线﹣=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为　x2﹣frac{y^2}{3}=1　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出抛物线的焦点坐标，求出a=1，结合离心率求出，c，b的值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：抛物线线y2=﹣4x 的焦点坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵双曲线﹣=1 的一个实轴端点恰与抛物线y2=﹣4x 的焦点重合，‎ ‎∴a=1，‎ ‎∵双曲线的离心率等于2，‎ ‎∴=2，则c=2，b2=c2﹣a2=4﹣1=3，‎ 则双曲线的方程为：x2﹣=1，‎ 故答案为：x2﹣=1‎ ‎　‎ ‎8．已知数列{an} 满足a1=2，an+1=（n∈N*），则a1a2a3…a2010 的值为　﹣6　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据递推公式依次求出a2、a3、a4、a5，归纳出规律求出数列的周期，根据数列的周期性求出式子的值．‎ ‎【解答】解：∵a1=2，an+1=（n∈N*），‎ ‎∴a2==﹣3，同理可求a3=，a4=，a5=2…，‎ ‎∴数列{an}的周期为4，且a1a2a3a4=1，‎ ‎∴a1a2a3a4…a2009a2010=a1a2=2×（﹣3）=﹣6，‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m=　2　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】先把函数变形为，令，可判断函数g（x）的奇偶性，据此找到 g（x）的最大值与最小值之间的关系，在有f（x）=1+g（x），求出f（x）的最大值与最小值之和．‎ ‎【解答】解：函数可变形为 令，则=﹣g（x），‎ ‎∴g（x）为奇函数．‎ 设当x=a时g（x）有最大值g（a），则当x=﹣a时，g（x）有最小值g（﹣a）=﹣g（a）‎ ‎∵f（x）=1+g（x），‎ ‎∴当x=a时f（x）有最大值g（a）+1，则当x=﹣a时，f（x）有最小值﹣g（a）+1‎ 即M=g（a）+1，m=﹣g（a）+1，‎ ‎∴M+m=2‎ 故答案为2‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，且=4，则△ABC的面积等于　2sqrt{3}　．‎ ‎【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．‎ ‎【分析】利用已知表达式，通过余弦定理求出cosA，求出sinA，通过向量的数量积求出bc的值，然后求出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：因为b2+c2=a2+bc，‎ 所以cosA==，‎ ‎∴sinA=．‎ 因为，‎ 所以，bccosA=4，‎ ‎∴bc=8，‎ ‎△ABC的面积：S===2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0‎ ‎），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为　2　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】化简g（x）=x+﹣1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x﹣1）2+1，从而求函数的最大值．‎ ‎【解答】解：∵g（x）==x+﹣1≥2﹣1=1；‎ ‎（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）‎ ‎∴g（x）在x=1处取得最小值1；‎ 又∵f（x）与g（x）是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，‎ ‎∴f（x）在x=1处取得最小值1；‎ ‎∴f（x）=x2+px+q=（x﹣1）2+1；‎ 又∵|﹣1|＜|2﹣1|，‎ ‎∴fmax（x）=f（2）=1+1=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在（﹣∞，+∞） 上的函数f（x）=，则方程f（x）+1=log4|x|的实数解的个数是　6　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】在同一坐标系中作出y=f（x），及y=log4|x|﹣1的图象，根据图象交点的个数，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在同一坐标系中作出y=f（x），及y=log4|x|﹣1的图象，如图所示，‎ 方程f（x）+1=log4|x|的实数解的个数是6‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，则a2+b2的最大值为　18　．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式可得：|a﹣b|+|a+b﹣2|=4．通过分类讨论可知：点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．即可得到最大值．‎ ‎【解答】解：∵动点P（a，b）到两直线l1：y=x和l2：y=﹣x+2的距离之和为，‎ ‎∴，‎ 化为|a﹣b|+|a+b﹣2|=4．‎ 分为以下4种情况：或或或．‎ 可知点（a，b）是如图所示的正方形的4条边．‎ 可知：当取点A时，取得最大值=．‎ ‎∴a2+b2的最大值为18．‎ 故答案为：18．‎ ‎　‎ ‎14．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最大值时，的最大值为　3　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得的最大值．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，‎ ‎∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，‎ ‎∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），‎ 即x=2y（y＞0），取得最大值1．‎ z=x2﹣3xy+4y2=2y2，‎ ‎∴=﹣++2=﹣（﹣1）2+3‎ ‎∴y=1时，的最大值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15．已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．‎ ‎（I）求y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎【分析】﹙Ⅰ﹚由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx﹣），由题意可得周期T=π，可得ω=1，进而可得f（x）=sin（2x﹣），根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）由由正弦定理以及角的和差公式，求出，即C=，根据正弦函数的性质，求出，即△ABC为等边三角形．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎=，‎ ‎∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，‎ ‎∴T=π，‎ ‎∴，‎ ‎∴ω=1，‎ ‎∴．‎ ‎∵得：，‎ ‎∴函数f（x）单调增区间为；‎ ‎（Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，‎ 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），‎ ‎∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，‎ ‎∴sinB（2cosC﹣1）=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵0＜C＜π，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，‎ 此时，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴△ABC为等边三角形．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥底面ABCD，E为棱PA上一点．‎ ‎（1）求证：BD⊥OE；‎ ‎（2）若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO∥平面PBC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）由面面垂直的性质得BD⊥平面PAC，由此利用线面垂直的性质能证明BD⊥OE．‎ ‎（2）由已知得=2，由AB∥CD，AC与BD交于点O，得，从而利用平行线分线段成比例定理得OE∥PC，由此能证明EO∥平面PBC．‎ ‎【解答】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，‎ ‎∵AC⊥BD，且平面PAC⊥底面ABCD，BD∩AC=O，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∵OE⊂平面PAC，∴BD⊥OE．‎ ‎（2）证明：∵AB=2CD，AE=2EP，∴=2，‎ ‎∵AB∥CD，AC与BD交于点O，‎ ‎∴△AOB∽△COD，∴，‎ ‎∴，∴OE∥PC，‎ ‎∵EO⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，‎ ‎∴EO∥平面PBC．‎ ‎　‎ ‎17．某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）‎ ‎（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；‎ ‎（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）作GH⊥EF，垂足为H，过M作MT∥BC交CD于T，求出，可得SMBCDW=SMBCT+SMTDN=，从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；‎ ‎（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值．‎ ‎【解答】解：（1）作GH⊥EF，垂足为H，‎ 因为DN=x，所以NH=40﹣x，NA=60﹣x，‎ 因为，‎ 所以，所以…‎ 过M作MT∥BC交CD于T，‎ 则SMBCDW=SMBCT+SMTDN=，‎ 所以=…‎ 由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈（0，30]，…‎ ‎（2），…‎ 所以当且仅当，即x=20∈（0，30]时，y取得最大值2000，…‎ 所以当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2．…‎ ‎　‎ ‎18．已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．‎ ‎（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；‎ ‎（Ⅲ）直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决．‎ ‎（Ⅲ）根据直线和椭圆额位置关系，以及三角形的面积公式得到S△ABE=，令==2，则不成立，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 因为，‎ 即，‎ 所以，‎ 所以 又因为|AB|=1，所以，‎ 即：，‎ 即，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ） 直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，‎ 得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，‎ 由△＞0，得（*），‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则 （1）‎ 以PQ直径的圆恰过原点，‎ 所以OP⊥OQ，，‎ 即x1x2+y1y2=0，‎ 也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，‎ 即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，‎ 将（1）式代入，得﹣+4=0，‎ 即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，‎ 解得，满足（*）式，‎ 所以．‎ 所以直线方程为y=±x+2‎ ‎（Ⅲ）由方程组，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则 所以，‎ 因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），‎ 所以S△ABE=|EF|•|y1﹣y2|=×2×=‎ 令==2，则不成立 故不存在直线l满足题意．‎ ‎　‎ ‎19．已知各项均为正数的两个无穷数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）当数列{an}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；‎ ‎（Ⅲ）设an+1=，Sn=，求证：2＜＜6．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）设an=a＞0，利用数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），可得bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn﹣1=2（n﹣1）．于是bn+1﹣bn﹣1=2．可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；‎ ‎（II）设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；‎ ‎（III）利用，可得an+1﹣an=﹣an=，于是an＜an+1．利用anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．又anbn+1=（2n﹣bn）•an+1＞0，an+1＞0，可得2n﹣bn＞0．可得，进而得出．‎ ‎【解答】（I）解：设an=a＞0，∵数列{an}、{bn}满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*），‎ ‎∴bn+1+bn=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，bn+bn﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴bn+1﹣bn﹣1=2．‎ ‎∴可知：数列{bn}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，‎ 又，b1+b2=2，可得．‎ ‎∴=， =，‎ 即（n∈N*）．‎ ‎（2）证明：设{an}、{bn}公差分别为d1、d2，‎ 则an=a1+（n﹣1）d，bn=b1+（n﹣1）d2，‎ 代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（n∈N*）．‎ 可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，‎ 可得，解得，‎ 可得an=na1，bn=n．‎ ‎∴只有取a1＞0可得数列{an}有无穷多个，而数列{bn}惟一确定；‎ ‎（3）证明：∵，‎ ‎∴an+1﹣an=﹣an=，‎ ‎∴an＜an+1．‎ ‎∴anbn+1+an+1bn=2nan+1＜an+1bn+1+an+1bn，可得2n＜bn+1+bn．‎ 因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．‎ 又anbn+1=（2n﹣bn）•an+1＞0，an+1＞0，‎ ‎∴2n﹣bn＞0．‎ ‎∴=2n（1+2n）=4n2+2n，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣，a∈R．‎ ‎（1）当a=0时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）当a＞1时，设函数g（x）=|f（x﹣1）+x﹣1+|，若实数b满足：b＞a且g（）=g（a），g（b）=2g（），求证：4＜b＜5．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用极值的定义，可得函数f（x）的极大值；‎ ‎（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）先证明（a﹣1）（b﹣1）=1，进而可得b﹣1=．令b﹣1=t（t＞1），整理，得t3﹣3t2﹣t﹣1=0．记h（t）=t3﹣3t2﹣t﹣1，h（t）在（1，1+）单调减，在（1+，+∞）单调增，又因为h（3）＜0，h（4）＞0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．‎ ‎（1）当a=0时，f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1，‎ 令f′（x）=0得x=1． …‎ 列表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（0，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以f（x）的极大值为f（1）=﹣1． …‎ ‎（2）f′（x）=．‎ 令f′（x）=0得﹣x2+x+a=0，记△=1+4a．‎ ‎（ⅰ）当a＜﹣时，f′（x）＜0，所以f（x）单调减区间为（0，+∞）； …‎ ‎（ⅱ）当a=﹣时，导数为零的根是，函数在（0，+∞）单调减 ‎（iii）当a＞﹣时，由f′（x）=0得x1=，x2=，‎ ‎①若﹣＜a＜0，则x1＞x2＞0，‎ 由f′（x）＜0，得0＜x＜x2，x＞x1；由f′（x）＞0，得x2＜x＜x1．‎ 所以，f（x）的单调减区间为（0，），（，+∞），单调增区间为（，）； …‎ ‎②若a=0，由（1）知f（x）单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；‎ ‎③若a＞0，则x1＞0＞x2，‎ 由f′（x）＜0，得x＞x1；由f′（x）＞0，得0＜x＜x1．‎ f（x）的单调减区间为（，+∞），单调增区间为（0，）． …‎ ‎（3）g（x）=|ln（x﹣1）|（x＞1）‎ 由g（）=g（a），得ln||=|ln（a﹣1）|．‎ ‎∵1＜a＜b，∴b﹣1=a﹣1（舍），或（a﹣1）（b﹣1）=1．‎ ‎∴b＞2． …‎ 由g（b）=2g（）得|ln（b﹣1）|=2|ln [（a﹣1）+（b﹣1）]（*）‎ 因为≥=1，‎ 所以（*）式可化为ln（b﹣1）=2ln [（a﹣1）+（b﹣1）]，‎ 即b﹣1=． …‎ 令b﹣1=t（t＞1），整理，得t4﹣4t3+2t2+1=0．‎ 记h（t）=t4﹣4t3+2t2+1，h′（t）=4t（t2﹣3t+1），令h′（t）=0得t=（舍），t=，列表：‎ t ‎（1，）‎ ‎（，+∞）‎ h′（t）‎ ‎﹣‎ ‎+‎ h（t）‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以，h（t）在（1，）单调减，在（，+∞）单调增，‎ 又因为h（3）＜0，h（4）＞0，所以3＜t＜4，从而4＜b＜5． …‎ ‎　‎ 附加题 ‎21．选修4﹣2：矩阵与变换 已知曲线C：y2=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．‎ ‎【考点】旋转变换．‎ ‎【分析】设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线y2=2x上与P对应的点，根据矩阵变换得出 结合P′是曲线C1上的点，求得C2的方程即可．‎ ‎【解答】解：NM==‎ 设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线y2=2x上与P对应的点，‎ ‎=，得 ∴‎ ‎∵P′是曲线C1上的点，‎ ‎∴C2的方程（﹣x）2=2y．即y=‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．‎ ‎（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，‎ ‎【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；‎ 曲线C的参数方程为．消去参数θ，‎ 可得曲线…‎ ‎（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为 由直线l1与曲线C相交可得： ，即：，‎ x2+2y2=6表示一椭圆…‎ 取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0‎ 由△≥0得 故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…‎ ‎　‎ ‎23．某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为，第二道工序检查合格的概率为，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．‎ ‎（I）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；‎ ‎（Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（I）求出每生产一台合格仪器的概率，利用独立重复试验的概率公式求本月恰有两台仪器完全合格的概率；‎ ‎（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列，根据做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值 ‎【解答】解：（Ⅰ） 设恰有两台仪器完全合格的事件为A，每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为…‎ 所以…‎ ‎（Ⅱ） 每月生产的仪器完全合格的台数可为3，2，1，0四种 所以赢利额ξ的数额可以为15，9，3，﹣3…‎ 当ξ=15时，‎ 当ξ=9时，‎ 当ξ=3时，‎ 当ξ=﹣3时，…‎ 每月的盈利期望 所以每月的盈利期望值为10.14万元…‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知定点R（0，﹣3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．‎ ‎（1）求动点M的轨迹C1；‎ ‎（2）圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点（0，1）的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】（1）设M的坐标，表示出P，Q的坐标，可得的坐标，利用数量积公式，可得轨迹方程，从而可得轨迹；‎ ‎（2）由题意， =AB•CD，AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1，CD=y2，设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：设M（x，y），则 由，可得 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴x2=4y ‎∴动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线；‎ ‎（2）证明：由题意， =AB•CD，圆C2：x2+（y﹣1）2=1的圆心即为抛物线C1的焦点F 设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB=FA﹣FB=y1+1﹣1=y1，‎ 同理CD=y2，‎ 设直线的方程为x=k（y﹣1）‎ 代入抛物线方程可得k2y2﹣（2k2+4）y+k2=0‎ ‎∴=AB•CD=y1y2=1．‎ ‎　‎ ‎2016年7月15日