浙江高考启发导数题型归纳
2018 年浙江高考启发--导数题型归纳
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问
题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令 得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看 2010 省统测 2）
例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D
上 ， 恒 成 立 ， 则 称 函 数 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ”，已 知 实 数 m 是 常 数 ，
（1）若 在区间 上为“凸函数”，求 m 的取值范围；
（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数”，求 的最大
值.
解:由函数 得
（1） 在区间 上为“凸函数”，
则 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵ 当 时, 恒成立,
当 时, 恒成立
0)(' =xf
( )y f x= ( )f x′ ( )f x′ ( )g x
( ) 0g x < ( )y f x=
4 3 23( ) 12 6 2
x mx xf x = − −
( )y f x= [ ]0,3
2m ≤ m ( )f x ( ),a b b a−
4 3 23( ) 12 6 2
x mx xf x = − −
3 2
( ) 33 2
x mxf x x′ = − −
2( ) 3g x x mx∴ = − −
( )y f x= [ ]0,3
2( ) 3 0g x x mx∴ = − − <
max ( ) 0g x <
(0) 0 3 0 2(3) 0 9 3 3 0
g mg m
< − < ⇒ ⇒ > < − − <
0x = 2( ) 3 3 0g x x mx∴ = − − = − <
0 3x< ≤ 2( ) 3 0g x x mx= − − <
等价于 的最大值（ ）恒成立，
而 （ ）是增函数，则
(2)∵当 时 在区间 上都为“凸函数”
则等价于当 时 恒成立
变更主元法
再等价于 在 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）
请同学们参看 2010 第三次周考：
例 2：设函数
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）
令 得 的单调递增区间为（a,3a）
令 得 的单调递减区间为（－ ，a）和（3a，+ ）
∴当 x=a 时， 极小值= 当 x=3a 时， 极大值=b.
（Ⅱ）由| |≤a，得：对任意的 恒成立①
则等价于 这个二次函数 的对称轴
（放缩法）
2 3 3xm xx x
−> = − 0 3x< ≤
3( )h x x x
= − 0 3x< ≤ max ( ) (3) 2h x h= =
2m∴ >
2m ≤ ( )f x ( ),a b
2m ≤ 2( ) 3 0g x x mx= − − <
2( ) 3 0F m mx x= − + > 2m ≤
2
2
( 2) 0 2 3 0 1 1(2) 0 2 3 0
F x x xF x x
− > − − + > ⇒ ⇒ ⇒ − < < > − + >
2b a∴ − =
),10(323
1)( 223 Rbabxaaxxxf ∈<<+−+−=
],2,1[ ++∈ aax ( )f x a′ ≤
( )( )2 2( ) 4 3 3f x x ax a x a x a′ = − + − = − − −
0 1a< <
,0)( >′ xf )(xf
,0)( <′ xf )(xf ∞ ∞
)(xf ;4
3 3 ba +− )(xf
)(xf ′ ],2,1[ ++∈ aax 2 24 3a x ax a a− ≤ − + ≤
( )g x max
min
( )
( )
g x a
g x a
≤
≥ −
2 2( ) 4 3g x x ax a= − + 2x a= 0 1,a< <
1 2a a a a+ > + =
-2 2
3aa
( )f x′
a 3a
即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
上是增函数. （9 分）
∴
于是，对任意 ，不等式①恒成立，等价于
又 ∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例 3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 时，求 的值域；
（Ⅲ）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。
解：（Ⅰ） ∴ ， 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减
又
∴ 的值域是
（Ⅲ）令
思路 1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量
思路 2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法 1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法 2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让
所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚
两句话的区别：前者是后者的子集
例 4：已知 ，函数 ．
( )g x
2 2( ) 4 3 [ 1, 2]g x x ax a a a= − + + +在
max
min
( ) ( 2) 2 1.
( ) ( 1) 4 4.
g x g a a
g x g a a
= + = − +
= + = − +
]2,1[ ++∈ aax
( 2) 4 4 , 4 1.( 1) 2 1 5
g a a a ag a a a
+ = − + ≤ ≤ ≤ + = − + ≥ −
解得
,10 << a .15
4 <≤ a
)()( xgxf > 0)()()( >−=⇔ xgxfxh
3 2( )f x x ax= + (1, )P b 3−
3 26( ) ( 1) 3 ( 0)2
tg x x x t x t
−= + − + + >
,a b
[ 1,4]x∈ − ( )f x
[1,4]x∈ ( ) ( )f x g x≤
/ 2( ) 3 2f x x ax= +
/ (1) 3
1
f
b a
= −
= +
3
2
a
b
= −
= −
( )f x [ 1,0]− [0,2] [2,4]
( 1) 4, (0) 0, (2) 4, (4) 16f f f f− = − = = − =
( )f x [ 4,16]−
2( ) ( ) ( ) ( 1) 3 [1,4]2
th x f x g x x t x x= − = − + + − ∈
( ) ( )f x g x≤ ( ) 0h x ≤ 2( 2 ) 2 6t x x x− ≥ −
0)(0)( '' ≤≥ xfxf 或
Ra ∈ xaxaxxf )14(2
1
12
1)( 23 ++++=
2x a=
[ ]1, 2a a+ +
（Ⅰ）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围．
解： .
（Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时 ， ，
令 ，解得： .
列表如下：
(－∞,－2 ) －2 (－2 ,2 ) 2 (2 ,+∞)
+ 0 － 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
可知： 的极大值为 ， 的极小值为 .
（Ⅱ）∵函数 是 上的单调函数，
∴ ，在给定区间 R 上恒成立判别式法
则 解得： .
综上， 的取值范围是 . QQ 群 557619246
例 5、已知函数
（I）求 的单调区间；
（II）若 在[0，1]上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想
（I）
1、
当且仅当 时取“=”号， 单调递增。
2、
单调增区间：
单调增区间：
)()( xfxg ′= )(xf
)(xf ),( ∞+−∞ a
)14()1(4
1)( 2 ++++=′ axaxxf
( )f x′ 1−=a xxxf 312
1)( 3 −= 34
1)( 2 −=′ xxf
0)( =′ xf 32±=x
x 3 3 3 3 3 3
)(xf ′
)(xf
( )f x 34)32( =−f ( )f x 34)32( −=f
)(xf ),( ∞+−∞
21( ) ( 1) (4 1) 04f x x a x a′ = + + + + ≥
2 21( 1) 4 (4 1) 2 04a a a a∆ = + − ⋅ ⋅ + = − ≤ ， 0 2a≤ ≤
a }20{ ≤≤ aa
3 21 1( ) (2 ) (1 ) ( 0).3 2f x x a x a x a= + − + − ≥
( )f x
( )f x
2( ) (2 ) 1 ( 1)( 1 ).f x x a x a x x a′ = + − + − = + + −
20 , ( ) ( 1) 0 ,a f x x′= = + ≥当 时 恒成立
1x = − ( ) ( , )f x −∞ +∞在
1 2 1 20 , ( ) 0, 1, 1, ,a f x x x a x x′> = = − = − <当 时 由 得 且
( , 1),( 1, )a−∞ − − +∞
( 1, 1)a− −
a-1-1
( )f x′
（II）当 则 是上述增区间的子集：
1、 时， 单调递增 符合题意
2、 ，
综上，a 的取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题
题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与 0 的关
系；QQ 群 557619246
第三步：解不等式（组）即可；
例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数．
（1） 求实数 的取值范围；
（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围．
解：（1）由题意 ∵ 在区间 上为增函数，
∴ 在区间 上恒成立（分离变量法）
即 恒成立，又 ，∴ ，故 ∴ 的取值范围为
（2）设 ，
令 得 或 由（1）知 ，
①当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意…
②当 时， ， 随 的变化情况如下表：
—
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，
故需 ，即 ∴ ，解得
综上，所求 的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。
例 7、已知函数
（1）若 是 的极值点且 的图像过原点，求 的极值；
3 21( ) 22f x ax x x c= + − +
1x = − ( )f x ( )f x ( )f x
( ) [0,1] ,f x 在 上单调递增 [ ]0,1
0a = ( ) ( , )f x −∞ +∞在
[ ] ( )0,1 1,a⊆ − +∞ 1 0a∴ − ≤ 1a∴ ≤
23
2
)1(
3
1)( xkxxf
+−= kxxg −=
3
1)( )(xf ),2( +∞
k
)(xf )(xg k
xkxxf )1()( 2 +−=′ )(xf ),2( +∞
0)1()( 2 >+−=′ xkxxf ),2( +∞
xk <+1 2>x 21≤+k 1≤k k 1≤k
3
1
2
)1(
3)()()( 2
3
−++−=−= kxxkxxgxfxh
)1)(()1()( 2 −−=++−=′ xkxkxkxxh
0)( =′ xh kx = 1=x 1≤k
1=k 0)1()( 2 ≥−=′ xxh )(xh
1
−+− kk 0)22)(1( 2 <−−− kkk
>−−
<
022
1
2 kk
k
31−⇒
− + + + − ≠
( , 1) ( 1,3) (3, )b⇒ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞
0x
3 2( )f x ax bx cx= + + 0x '( ) 0f x > x
(1,3) ( )f x ( 1, )P m− ( )y f x= m
2'( ) 3 2 3 ( 1)( 3),( 0)f x ax bx c a x x a= + + = − − <
( ,1)−∞ '( ) 0f x < (1,3) '( ) 0f x > (3, )+∞ '( ) 0f x <
( )f x 0 1x = 4−
4a b c+ + = − '(1) 3 2 0f a b c= + + = '(3) 27 6 0f a b c= + + =
1
6
9
a
b
c
= −
=
= −
3 2( ) 6 9f x x x x= − + −
( , ( ))t f t ,( ) ( )( )y f t f t x t− = −
2 3 2( 3 12 9)( ) ( 6 9 )y t t x t t t t= − + − − + − + −
2 2 2( 3 12 9) (3 12 9) ( 6 9)t t x t t t t t t= − + − + − + − − +
2 2( 3 12 9) (2 6 )t t x t t t= − + − + − ( 1, )m−
2 3 2( 3 12 9)( 1) 2 6m t t t t= − + − − + −
3 2( ) 2 2 12 9 0g t t t t m= − − + − =
2 2'( ) 6 6 12 6( 2) 0g t t t t t= − − = − − =
1, 2t t= − = ( ) 0g t =
( 1) 0
(2) 0
g
g
− >
<
2 3 12 9 0
16 12 24 9 0
m
m
− − + + − >⇒ − − + − <
16
11
m
m
<⇒ > −
11 16m− < < m ( 11,16)−
( )f x
R
( )f x′ ( ) 0f x′ > 5,x > 2x <
( ) 0f x′ < 2 5x< <
可知函数 f(x)的单调递增区间为 和（5，＋∞），单调递减区间为 ．
（Ⅱ） ＝x2－(m＋3)x＋m＋6,
要使函数 y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点, ＝x 2－(m＋
3)x＋m＋6=0 的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则 ， 解得 m＞3
例 9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令 ＝ x4＋f
（x）（x∈R）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围．
解：（1）
当 时，令 解得 ，令 解得 ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 .
当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2） 有且仅有 3 个极值点 QQ 群 557619246
=0 有 3 个根，则 或 ，
方程 有两个非零实根，所以
或
而当 或 时可证函数 有且仅有 3 个极值点
其它例题：
( ,2)−∞ ( )2,5
( )f x′
( )f x′⇒
2( 3) 4( 6) 0;
(1) 1 ( 3) 6 0;
3 1.2
m m
f m m
m
∆ = + − + >
′ = − + + + >
+ >
23
2
1
3)( xxaxf += )0,( ≠∈ aRa )(xf ( )g x 1
4
)1()( 2' +=+= axxxaxxf
0>a 0)(' >xf 01 >−< xax 或 0)('
2a∴ < − 2a >
2a < − 2a > ( )y g x=
1
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数
在区间 上的最大值是 5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
解：（Ⅰ）
令 =0,得
因为 ，所以可得下表：
0
+ 0 -
↗ 极大 ↘
因此 必为最大值,∴ 因此 ， ，
即 ，∴ ，∴
（Ⅱ）∵ ，∴ 等价于 ，
令 ，则问题就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，
为此只需 ，即 ，
解得 ，所以所求实数 的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数
(Ⅰ) 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求
的解析式；
(Ⅱ) 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平面
区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.
解： (Ⅰ). 由 , 函数 在 时有极值 ,
∴
∵ ∴
又∵ 在 处的切线与直线 平行,
∴ 故
∴ ……………………. 7 分
R 3 2( ) 2f x ax ax b= − + ）（ 0>a
[ ]2,1−
( )f x
]1,1[−∈t 0( ≤+′ txxf ） x
3 2 ' 2( ) 2 , ( ) 3 4 (3 4)f x ax ax b f x ax ax ax x= − + ∴ = − = −
' ( )f x [ ]1 2
40, 2,13x x= = ∉ −
0>a
x [ )2,0− ( ]0,1
' ( )f x
( )f x
)0(f 50 =）（f 5=b ( 2) 16 5, (1) 5, (1) ( 2)f a f a f f− =− + =− + ∴ > −
11516)2( −=+−=− af 1=a .52( 23 +−= xxxf ）
xxxf 43)( 2 −=′ 0( ≤+′ txxf ） 043 2 ≤+− txxx
xxxttg 43)( 2 −+= 0)(g ≤t ]1,1[−∈t x
≤
≤−
0)1
0)1(
（g
g
≤−
≤−
0
053
2
2
xx
xx
10 ≤≤ x x
3 22( ) 3f x x ax bx c= + + +
( )f x 1=x (0, 1) 3 0x y+ =
)(xf
( )f x (0, 1)x∈ (1, 2)x∈ ( 2, 1)M b a− +
2( ) 2 2f x x ax b′ = + + ( )f x 1=x
2 2 0a b+ + =
(0) 1f = 1c =
( )f x (0, 1) 3 0x y+ =
(0) 3f b′ = = − 1
2a =
3 22 1( ) 3 13 2f x x x x= + − +
(Ⅱ) 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,
∴ 即 令 , 则
∴ ∴ 故点 所在平面区域 S 为如图△ABC,
易得 , , , , ,
同时 DE 为△ABC 的中位线,
∴ 所求一条直线 L 的方程为:
另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它
与 AC,BC 分别交于 F、G, 则 ,
由 得点 F 的横坐标为:
由 得点 G 的横坐标为:
∴ 即
解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12 分
(Ⅱ) 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,
∴ 即 令 , 则
∴ ∴ 故点 所在平面区域 S 为如图△ABC,
易得 , , , , ,
2( ) 2 2f x x ax b′ = + + ( )f x (0, 1)x∈ (1, 2)x∈
(0) 0
(1) 0
(2) 0
f
f
f
′ >
′ <
′ >
0
2 2 0
4 8 0
b
a b
a b
>
+ + <
+ + >
( , )M x y 2
1
x b
y a
= −
= +
1
2
a y
b x
= −
= +
2 0
2 2 0
4 6 0
x
y x
y x
+ >
+ + <
+ + >
M
( 2, 0)A − ( 2, 1)B − − (2, 2)C − (0, 1)D − 3(0, )2E − 2ABCS∆ =
1
3DEC ABEDS S∆ = 四边形
0x =
y kx=
0k > 1S =四边形DEGF
2 2 0
y kx
y x
=
+ + =
2
2 1Fx k
= − +
4 6 0
y kx
y x
=
+ + =
6
4 1Gx k
= − +
OGE OFDS S S∆ ∆= −四边形DEGF
61 3 1 12 2 2
2 14 1 2 1k k
= × × − × +× =+
216 2 5 0k k+ − =
1
2k = 5
8k = − 1
2y x=
0x = 1
2y x=
2( ) 2 2f x x ax b′ = + + ( )f x (0, 1)x∈ (1, 2)x∈
(0) 0
(1) 0
(2) 0
f
f
f
′ >
′ <
′ >
0
2 2 0
4 8 0
b
a b
a b
>
+ + <
+ + >
( , )M x y 2
1
x b
y a
= −
= +
1
2
a y
b x
= −
= +
2 0
2 2 0
4 6 0
x
y x
y x
+ >
+ + <
+ + >
M
( 2, 0)A − ( 2, 1)B − − (2, 2)C − (0, 1)D − 3(0, )2E − 2ABCS∆ =
同时 DE 为△ABC 的中位线, ∴所求一条直线 L 的方程为:
另一种情况由于直线 BO 方程为: , 设直线 BO 与 AC 交于 H ,
由 得直线 L 与 AC 交点为:
∵ , ,
∴ 所求直线方程为: 或 QQ 群 557619246
3、（根的个数问题）已知函数 的图象如图所示。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
求函数 f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若 方程 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。
解：由题知：
（Ⅰ）由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且 = 0
得
（Ⅱ）依题意 = – 3 且 f ( 2 ) = 5
解得 a = 1 , b = – 6
所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由 = 0 b = – 9a ①
若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②
由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3 ＜a＜3
所以 当 ＜a＜3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12 分
4、（根的个数问题）已知函数
（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；
1
3DEC ABEDS S∆ = 四边形 0x =
1
2y x=
1
2
2 2 0
y x
y x
=
+ + =
1( 1, )2H − −
2ABCS∆ = 1 1 122 2 2DECS∆ = × × = 1 12 22 2
1 11 2 2H ABO AOHS S S∆ ∆ ∆= − = × × − × × =AB
0x = 1
2y x=
3 2f(x) ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)= + + − − + >
c d、
f(x) (2,f(2)) 3x y 11 0+ − =
0x 5,= f(x) 8a=
2f (x) 3ax 2bx+c-3a-2b′ = +
( )1f ′
3
3 2 c 3 2 0
d
a b a b
=
+ + − − =
⇒
=
=
0
3
c
d
( )2f ′
12 4 3 2 3
8 4 6 4 3 5
a b a b
a b a b
+ − − = −
+ − − + =
( )xf ′ ( )5f ′ ⇒
⇒
11
1
11
1
3 21( ) 1( )3f x x ax x a R= − − + ∈
( )f x 1 2,x x x x= = 1 2 2x x− = a ( )f x
（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数．
解：（1）
………………………………………………………………………2 分
令 得
令 得
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 …………5 分
（2）由题 得
即
令 ……………………6 分
令 得 或 ……………………………………………7 分
当 即 时
此时， ， ，有一个交点；…………………………9 分
当 即 时，QQ 群 557619246
＋ —
－
1
2a < ( )f x 21 5( ) (2 1) ( 2 1)2 6g x x a x x= − + + − ≤ ≤
2( ) 2 1f' x x ax= − −
1 2 1 22 , 1x x a x x∴ + = ⋅ = −
2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 4 4 2x x x x x x a∴ − = + − = + =
0a∴ =
2 2( ) 2 1 1f x x ax x′ = − − = −
( ) 0f x′ > 1, 1x x< − >或
( ) 0f x′ < 1 1x− < <
( )f x ( , 1)−∞ − (1, )+∞ ( 1,1)−
( ) ( )f x g x= 3 2 21 1 51 (2 1)3 2 6x ax x x a x− − + = − + +
3 21 1 1( ) 2 03 2 6x a x ax− + + + =
3 21 1 1( ) ( ) 2 ( 2 1)3 2 6x x a x ax xϕ = − + + + − ≤ ≤
2( ) (2 1) 2 ( 2 )( 1)x x a x a x a xϕ′∴ = − + + = − −
( ) 0xϕ′ = 2x a= 1x =
1
2a <
2 2a ≤ − 1a ≤ −
98 02a− − > 0a <
2 2a ≥ − 11 2a− < <
x 2− ( 2,2 )a− 2a (2 ,1)a 1
( )xϕ′ 0
x 2− ( 2,1)− 1
( )xϕ′
( )xϕ 98 2a− − a
,
∴当 即 时,有一个交点；
当 即 时，有两个交点；
当 时， ，有一个交点．………………………13 分
综上可知，当 或 时，有一个交点；
当 时，有两个交点．…………………………………14 分
5、（简单切线问题）已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数
．
（Ⅰ） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；
（Ⅱ） 若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数
的取值范围．
( )xϕ 98 2a− − 22 1(3 2 )3 6a a− + a
22 1(3 2 ) 03 6a a− + >
98 02a− − > 91 16a− < < −
98 0 02a a− − ≤ ≤，且 9 016 a− ≤ ≤
10 2a< < 98 02a− − <
9
16a < − 10 2a< <
9 016 a− ≤ ≤
2
3
)(
a
xxf =
5
102
2
3( ) ( ) 3bxg x f x a
= − +
)(xg 1=x )(xg
)(xg ]1,1[− )(42 xgmbb ≥+− ]1,1[− m