高考一轮复习选修极坐标与参数方程

高考一轮复习选修极坐标与参数方程

选修4－4　坐标系与参数方程 ‎1．坐标系与极坐标 ‎(1)理解坐标系的作用．‎ ‎(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．‎ ‎(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．‎ ‎2．参数方程 ‎(1)了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．‎ 知识点一　极坐标系 ‎1．极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ.‎ ‎②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.‎ ‎③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ ‎2．极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：‎ 易误提醒　‎ ‎1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．‎ ‎2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为________．‎ 解析：由知 代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′.‎ 答案：y′＝3sin 2x′‎ ‎2．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．‎ 解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．‎ 解析：点的直角坐标为(1，)，直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1.‎ 答案：1‎ 知识点二　参数方程 参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．‎ 易误提醒　‎ ‎1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．‎ ‎2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M‎0M|＝|t|.‎ ‎[自测练习]‎ ‎4．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ 解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(θ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．‎ 解析：椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点(1,0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为× ＝.‎ 答案： 考点一　曲线的极坐标方程|‎ ‎1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin ＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ 直角坐标化为极坐标的关注点 ‎(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．‎ 当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．‎ ‎(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．‎ ‎　　‎ ‎　　　考点二　曲线的参数方程|‎ ‎1．已知曲线C1：(t为参数)曲线C2：(θ为参数)‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．‎ 解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，‎ 曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；‎ 曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M.曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.‎ ‎2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 其中α为锐角，且tan α＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．‎ ‎　　‎ 考点三　极坐标方程、参数方程的综合应用|‎ ‎　(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎　　‎ ‎(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|＋|PN|的取值范围．‎ 解：(1)直线l的参数方程：(t为参数)．‎ ‎∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C：x2＋y2＝4x.‎ ‎(2)直线l的参数方程：(t为参数)，‎ 代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，‎ ‎∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，‎ ‎∴α∈，且t1<0，t2<0.‎ ‎∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|‎ ‎＝4(sin α＋cos α)＝4sin，‎ 由α∈，得α＋∈，‎ ‎∴0)为极坐标方程；‎ ‎(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．‎ 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2 θ＋ρ2sin2 θ＝r2，ρ2(cos2 θ＋sin2 θ)＝r2，ρ＝r.所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)．‎ ‎(2)法一：把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，‎ 得＝8·，即x2＋y2－8y＝0.‎ 法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x2＋y2－8y＝0.‎ ‎2．(2016·济宁模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．‎ 解：∵ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ ‎∴ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，即2＋2＝k2，‎ ‎∴圆心的直角坐标为.‎ ‎∵ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ ‎∴－|k|＝2.‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ ‎∴或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ ‎3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时P点的直角坐标．‎ 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2,2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin (θ＋60°)，‎ 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ ‎4．(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．‎ ‎(2)试判断直线l与圆C的位置关系．‎ 解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．‎ 由题知C点的直角坐标为(0,4)，圆C的半径为4，‎ ‎∴圆C方程为x2＋(y－4)2＝16，将代入得，圆C的极坐标方程为ρ＝8sin θ.‎ ‎(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，‎ 圆心C到l的距离为d＝＝>4，∴直线l与圆C相离．‎ ‎5．倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．‎ 解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：(8＋tcos α)2＋8(2＋tsin α)2＝32，‎ 整理得(8sin2 α＋cos2 α)t2＋(16cos α＋32sin α)t＋64＝0，‎ 由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin2 α＋cos2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈，‎ ‎∴|PM1||PM2|＝|t1t2|＝∈.‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2015·高考广东卷改编)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ 解：由2ρsin＝得2ρ＝，所以y－x＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，而点A对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为＝.‎ ‎2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，‎ 解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎3．(2015·高考湖南卷)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，P点的直角坐标为(3,0)．‎