高考文科数学圆锥曲线专题测试及答案

高考文科数学圆锥曲线专题测试及答案

圆锥曲线专题测试题 一、填空题（共14小题，每题5分，计70分）‎ ‎1． 称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为 ．‎ ‎2．中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为，其离心率是 ‎3．已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为 ____________ ‎ ‎4．抛物线的焦点坐标为 ____________ ‎ ‎5. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ____________ ‎ ‎6. 椭圆的焦点、，为椭圆上的一点，已知，则△的面积为 ____________ ‎ ‎7．已知抛物线，一定点A（3，1），F是抛物线的焦点，点P是抛物线上一点， ‎ ‎|AP|+|PF|的最小值____________。‎ ‎8．正四棱锥的侧棱长和底面边长都是1，则侧棱和底面所成的角为____________。‎ ‎9．以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点.其中真命题的序号为 ____________。（写出所有真命题的序号）‎ ‎10．方程表示椭圆的充要条件是 ． ‎ ‎11．在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程表示焦点在x轴上的椭圆的概率是 ． ‎ ‎12.嫦娥一号奔月前第一次变轨后运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面，远地点B距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有以下四种说法：①焦距长为；②短半轴长为；③离心率；其中正确的序号为______ __．‎ ‎13．以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程为 ． ‎ ‎14．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 ． ‎ 二、解答题（6大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）‎ ‎15．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.求点P的坐标；‎ ‎. ‎ ‎16. (1) 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。‎ ‎(2) 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.‎ ‎17．已知抛物线C: y=-x2+6, 点P（2, 4）、A、B在抛物线上, 且直线PA、PB的倾斜角互补.‎ ‎(Ⅰ)证明:直线AB的斜率为定值;‎ ‎(Ⅱ)当直线AB在y轴上的截距为正数时, 求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.‎ ‎18．双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围 ‎19．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.。‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；‎ ‎（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.‎ ‎20.椭圆C: 的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线的方程.‎ 高三数学圆锥曲线测试答案 ‎1. 2. 或 3. 4. 5. 4 ‎ ‎ 6. 9 7. 4 8. 9.③④ 10. 11. ‎ ‎12.① ② ③ 13. 14. ‎ ‎15. 解:由已知可得点A（－6，0），F（4，0）‎ 设点P的坐标是，由已知得 由于 ‎16解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是: ‎ ‎.联立方程组,消去y得, .‎ 设A(),B(),AB线段中点为M()那么: ,‎ 所以 也就是说线段AB中点坐标为 ‎（2）解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,‎ 从而c=4,a=2,b=2.‎ 所以求双曲线方程为: .‎ ‎(17) (Ⅰ)证: 易知点P在抛物线C上, 设PA的斜率为k, 则直线PA的方程是y-4=k(x-2).‎ 代入y=-x2+6并整理得x2+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根xA及2, ‎ 由韦达定理得:‎ ‎2xA=-4(k+1) , ∴xA=-2(k+1). ∴yA=k(xA-2)+4.=-k2-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k2-4k+4).‎ 由于PA与PB的倾斜角互补, 故PB的斜率为-k. ‎ ‎ 同理可得B(-2(-k+1), -k2+4k+4)‎ ‎∴kAB=2. ‎ ‎(Ⅱ) ∵AB的方程为y=2x+b, b>0.代入方程y=-x2+6消去y得x2+2x+b-6=0.‎ ‎|AB|=2. ‎ ‎∴S=|AB|d=·2‎ ‎. ‎ 此时方程为y=2x+.‎ ‎(18) 解:直线l的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,‎ 得到点(1,0)到直线l的距离d1 =.‎ 同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2 =.‎ s= d1 +d2==.‎ 由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.‎ 于是得5≥2e2.即4e2-25e+25≤0.‎ 解不等式,得≤e2≤5.由于e>1>0,‎ 所以e的取值范围是 ‎(19) 解：（1）抛物线 ‎∴抛物线方程为y2= 4x.‎ ‎（2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），‎ 又∵F（1，0）， ∴‎ 则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为 解方程组 ‎（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.‎ 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，‎ 当m≠4时，直线AK的方程为 即为 圆心M（0，2）到直线AK的距离，令 时，直线AK与圆M相离；‎ ‎ 当m=1时，直线AK与圆M相切；‎ ‎ 当时，直线AK与圆M相交.‎ ‎20解法一：‎ ‎(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.‎ 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,‎ 从而b2=a2－c2=4,‎ ‎ 所以椭圆C的方程为＝1.‎ ‎(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.‎ ‎ 已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 从而可设直线l的方程为 ‎ y=k(x+2)+1,‎ ‎ 代入椭圆C的方程得 ‎ （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.‎ ‎ 因为A，B关于点M对称.‎ ‎ 所以 ‎ 解得，‎ ‎ 所以直线l的方程为 ‎ 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)‎ 解法二：(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.‎ ‎ 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ‎ ① ②‎ 由①－②得 ③‎ 因为A、B关于点M对称，‎ 所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,‎ 代入③得＝，‎ 即直线l的斜率为，‎ 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），‎ 即8x－9y+25=0.‎ ‎(经检验，所求直线方程符合题意.)‎ ‎2015高考数学圆锥曲线练习 一、选择题 ‎1、等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ‎ (A) 　(B) 　　(C)　　(D)‎ ‎3、椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎ 4、已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 5、已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎ 7、对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎8、椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎9、已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[‎ ‎10、已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A B C D ‎ 二 、填空题 ‎1、椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。‎ ‎ 2、已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.‎ ‎3、在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎4、设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 ‎ ‎5、过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。‎ ‎6、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则 ‎ 三、解答题 ‎1、（本小题满分14分）‎ 已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。‎ ‎（I）求椭圆的离心率。‎ ‎（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ ‎2、如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎3、在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.‎ ‎4、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值 ‎ ‎5、如图，椭圆的离心率为，直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎6、如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。‎ （1） 求抛物线E的方程；‎ （2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。‎ ‎7、在平面直角坐标系中，已知双曲线 ‎（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；‎ ‎（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；‎ ‎（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥‎ ‎8、设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.‎ ‎（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.‎ ‎2015高考数学圆锥曲线练习答案 一、选择题 ‎1、【答案】C【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=‎ ‎，解得=2，‎ ‎∴的实轴长为4，故选C.‎ ‎2、D 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。‎ ‎3、C解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。故选答案C ‎4、C【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。‎ ‎5、B[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,‎ ‎6、B[解析]方程变形得，若表示抛物线，则 所以，分b=-2,1,2,3四种情况：‎ ‎（1）若b=-2， ; （2）若b=2, ‎ 以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；‎ 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.‎ 综上，共有14+9+9=32种 ‎7、B.【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答案选择B.‎ ‎8、B ‎【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.‎ 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.‎ ‎9、A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.‎ 又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.‎ 又，，C的方程为-=1.‎ ‎10、C.解答：根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因此.故选C.‎ 二 、填空题 ‎1、，[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又 ‎2、【解析】由双曲线的方程可知 ‎3、【答案】2。【解析】由得。‎ ‎ ∴，即，解得。‎ ‎4、‎ ‎5、【答案】‎ ‎【解析】设及；则点到准线的距离为 得： 又 ‎6、【答案】1，2‎ ‎【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，，又双曲线的右焦点为，所以，又，即，所以。‎ 三、解答题 ‎1、【解析】(Ⅰ) 点在椭圆上 ‎ (Ⅱ) 设；则 ‎ ‎ ‎ 直线的斜率 ‎2、【答案】解：（1）由题设知，，由点在椭圆上，得 ‎，∴。‎ 由点在椭圆上，得 ‎∴椭圆的方程为。‎ ‎（2）由（1）得，，又∵∥，‎ ‎ ∴设、的方程分别为，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴。①‎ ‎ 同理，。②‎ ‎ （i）由①②得，。解得=2。‎ ‎ ∵注意到，∴。‎ ‎ ∴直线的斜率为。‎ ‎ （ii）证明：∵∥，∴，即。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 由点在椭圆上知，，∴。‎ ‎ 同理。。‎ ‎ ∴‎ ‎ 由①②得，，，‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴是定值。‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。‎ ‎ （2）根据已知条件，用待定系数法求解。‎ ‎3、【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，‎ 点代入椭圆，得，即，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，‎ ‎，消去并整理得，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，‎ 整理得 ①‎ ‎，消去并整理得。‎ 因为直线与抛物线相切，所以，‎ 整理得 ②‎ 综合①②，解得或。‎ 所以直线的方程为或。‎ ‎4、‎ 解：（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.‎ ‎（2）由得.‎ 设点M,N的坐标分别为，，则，，，.‎ 所以|MN|===.‎ 由因为点A(2,0)到直线的距离，‎ 所以△AMN的面积为. 由，解得.‎ ‎5、‎ ‎【答案】(21)(I)……①‎ 矩形ABCD面积为8，即……②‎ 由①②解得：，‎ ‎∴椭圆M的标准方程是.‎ ‎(II)，‎ 设，则，‎ 由得.‎ ‎.‎ 当过点时，，当过点时，.‎ ‎①当时，有，‎ ‎，‎ 其中，由此知当，即时，取得最大值.‎ ‎②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.‎ ‎③当时，，，‎ 由此知，当时，取得最大值.‎ 综上可知，当和0时，取得最大值.‎ ‎6、‎ 解答：‎ ‎（I）设；则 ‎ ‎ ‎ 得：点关于轴对称（lfxlby）‎ ‎ ‎ ‎ 代入抛物线的方程得：抛物线的方程为 ‎ （II）设；则 ‎ 过点的切线方程为即 ‎ 令 ‎ 设满足：及 ‎ 得：对均成立 ‎ ‎ ‎ 以为直径的圆恒过轴上定点 ‎7、[解]（1）双曲线，左焦点.‎ ‎ 设，则， ……2分 ‎ 由M是右支上一点，知，所以，得.‎ ‎ 所以. ……5分 ‎ （2）左顶点，渐近线方程：.‎ ‎ 过A与渐近线平行的直线方程为：，即.‎ ‎ 解方程组，得. ……8分 ‎ 所求平行四边形的面积为. ……10分 ‎ （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，‎ 即 (*).‎ 由，得.‎ ‎ 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.‎ ‎ ，所以 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 由(*)知，所以OP⊥OQ. ……16分 ‎8、【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，‎ 则|FE|=，=，E是BD的中点，‎ ‎(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，‎ 设A(，)，根据抛物线定义得，|FA|=，‎ ‎∵的面积为，∴===，解得 ‎=2，‎ ‎∴F(0,1), FA|=， ∴圆F的方程为：；‎ ‎(Ⅱ) 【解析1】∵，，三点在同一条直线上, ∴是圆的直径，,‎ 由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，‎ ‎∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，‎ 设直线的方程为：，代入得，，‎ ‎∵与只有一个公共点， ∴=，∴，‎ ‎∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=，‎ ‎∴坐标原点到，距离的比值为3.‎ ‎【解析2】由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎