高考复习指导讲义三角反三角函数

高考复习指导讲义三角反三角函数

高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数 一、考纲要求 ‎1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。‎ ‎2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。‎ ‎3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。‎ ‎4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。‎ ‎5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。‎ ‎6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。‎ ‎7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。‎ ‎8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 ‎9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。‎ 二、知识结构 ‎1.角的概念的推广： ‎(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。‎ ‎(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。‎ ‎(3)象限角：由角的终边所在位置确定。‎ 第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z 第二象限角：2kπ+＜α＜2kπ+π,k∈Z 第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+,k∈Z 第四象限角：2kπ+ ＜α＜2kπ+2π,k∈Z ‎(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k·360°+α，k∈Z。‎ ‎(5)特殊角的集合：‎ 终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝，k∈Z｝‎ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+，k∈Z｝‎ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝‎ 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-，k∈Z｝‎ ‎2.弧度制：‎ ‎(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。‎ ‎(2)角度与弧度的互化：‎ ‎1°＝弧度，1弧度＝()°‎ ‎(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。‎ 弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=lR=｜α｜R2 ‎3.周期函数： ‎(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正 数叫做这个函数的最小正周期。‎ ‎(2)几个常见结论：‎ ‎①如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。‎ ‎(1)‎ ‎②如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么也是y=f(wx)(w≠0)的周期。‎ ‎③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。‎ ‎4.三角函数定义：‎ ‎(1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sinα=,cosα=,tgα=,ctgα=,Secα=,cscα= (如图(1))。‎ ‎(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))‎ ‎(3)同角三角函数的基本关系式：‎ 倒数关系：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1‎ 商数关系：tgα=,ctgα=‎ 平方关系：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α ‎(4)诱导公式：‎ α ‎2kπ+α ‎-α π-α π+α ‎2π-α ‎-α ‎+α 正弦 sinα ‎-sinα sinα ‎-sinα ‎-sinα cosα cosα 余弦 cosα cosα ‎-cosα ‎-cosα cosα sinα ‎-sinα 正切 tgα ‎-tgα ‎-tgα tgα ‎-tgα ctgα ‎-ctgα 余切 ctgα ‎-ctgα ‎-ctgα ctgα ‎-ctgα tgα ‎-tgα 上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。‎ ‎5.已知三角函数值求角 ‎6.三角函数的图象和性质：‎ ‎(1)三角函数线：‎ 如图(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS ‎(2)三角函数的图像和性质：‎ 函数 y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx 图象 定义域 R R ‎｛x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z｝‎ ‎｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝‎ 值域 ‎［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1‎ x=2kπ- 时ymin=-1‎ ‎［-1,1］‎ x=2kπ时ymax=1‎ x=2kπ+π时ymin=-1‎ R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ-,2kπ+ ］上都是增函数；在［2kπ+ ,2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)‎ 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)‎ 在(kπ-，kπ+)内都是增函数(k∈Z)‎ 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)‎ ‎7.函数y=Asin(wx+)的图像：‎ 函数y=Asin(wx+)的图像可以通过下列两种方式得到：‎ ‎ ＞0，图像左移 ‎(1)y=sinx y=sin(x+)‎ ‎ ＜0，图像右移｜｜‎ ‎ w＞1，横坐标缩短为原来的倍 ‎ y=sin(wx+)‎ ‎ 0＜w＜1，横坐标伸长为原来的倍 ‎ A＞1，纵坐标伸长为原来的A倍 ‎ y=Asin(wx+)‎ ‎ 0＜A＜1，纵坐标缩短为原来的A倍 ‎ w＞1,横坐标缩短为原来的倍 ‎(2)y=sinx ‎ ‎ 0＜w＜1,横坐标伸长为原来的倍 ‎ ＞0，图像左移 y=sin(wx) ‎ ‎ ＜0,图像右移 ‎ A＞1，纵坐标伸长为原来A倍 y=sin(wx+) y=Asin(wx+)‎ ‎ 0＜A＜1，纵坐标缩短为原来A倍 ‎8.两角和与差的三角函数：‎ ‎(1)常用公式：‎ 两角和与差的公式：‎ sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，‎ cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ，‎ tg(α±β)=‎ 倍角公式：‎ sin2α=2sinαcosα，‎ cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，‎ tg2α=.‎ 半角公式：‎ sin=±,‎ cos=±,‎ tg=±==.‎ 积化和差公式：‎ sinαcosβ=〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,‎ cosαsinβ= 〔sin(α+β)-sin(α-β)〕‎ cosαcosβ= 〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,‎ sinαsinβ=- 〔cos(α+β)-cos(α-β)〕‎ 和差化积公式：‎ sinα+sinβ=2sincos,‎ sinα-sinβ=2cossin ‎ cosα+cosβ=2coscos , cosα-cosβ=-2sinsin ‎ 万能公式：‎ sinα=，cosα=,tgα=‎ ‎(2)各公式间的内在联系：‎ ‎(3)应注意的几个问题：‎ ‎①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。‎ ‎②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。‎ ‎③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。‎ ‎④常具的变形公式有：cosα=,sin2α=,cos2α=,tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).‎ ‎⑤asinα+bcosα=sin(α+).(其中所在位置由a，b的符号确定，的值由tg=确定)。‎ ‎9.解斜三角形：‎ 在解三角形时，常用定理及公式如下表：‎ 名称 公式 变形 内角和定理 A+B+C=π ‎+＝-，‎2A+2B＝2π-C 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC cosA=‎ cosB=‎ cosC 正弦定理 ‎===2R R为ΔABC的外接圆半径 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=,sinB=,sinC=‎ 射影定理 acosB+bcosA=c acosC+cosA=b bcosC+ccosB=a 面积公式 ‎①SΔ=aha=bhb=chc ‎②SΔ=absinC=acsinB=bcsinA ‎③SΔ=‎ ‎④SΔ=(P= (a+b+c))‎ ‎⑤SΔ= (a+b+c)r ‎(r为ΔABC内切圆半径)‎ sinA=‎ sinB=‎ sinC=‎ ‎10.反三角函数：‎ 名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 定义 y=sinx(x∈‎ ‎〔-, 〕的反 y=cosx(x∈〔0,π y=tgx(x∈(- ,‎ y=ctgx(x∈(0,‎ π))的反函数，‎ 叫做反余切函 函数，叫做反正弦 函数，记 作x=arsiny ‎〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy ‎ )的反函数，叫 做反正切函数，记作 x=arctgy 数，记作 x=arcctgy 理解 arcsinx表示属 于［-,］‎ 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角 arctgx表示属于 ‎(-,)，且正切 值等于x的角 arcctgx表示属 于(0，π)且余切 值等于x的角 图像 性质 定义域 ‎［-1，1］‎ ‎［-1，1］‎ ‎(-∞，+∞)‎ ‎(-∞，+∞)‎ 值域 ‎［-，］‎ ‎［0，π］‎ ‎(-，)‎ ‎(0，π)‎ 单调性 在〔-1，1〕上是增函数 在［-1，1］上是减函数 在(-∞，+∞)上是增数 在(-∞，+∞)上是减函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctg(-x)=-arctgx arcctg(-x)=π-arcctgx 周期性 都不是同期函数 恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-,］)‎ cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)‎ tg(arctgx)=x(x∈R)arctg(tgx)=x（x∈(-,)）‎ ctg(arcctgx)=x(x∈R)‎ arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π))‎ 互余恒等式 arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］)‎ arctgx+arcctgx=(X∈R)‎ ‎11.三角方程：‎ (1) 最简单三角方程的解集：‎ 方程 方程的解集 sinx=a ‎｜a｜＞1‎ Φ ‎｜a｜=1‎ ‎｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝‎ ‎｜a｜＜1‎ ‎｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝‎ cosx=a ‎｜a｜＞1‎ Φ ‎｜a｜=1‎ ‎｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝‎ ‎｜a｜＜1‎ ‎｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈z tgx=a ‎｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝‎ ctgx=a ‎｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝‎ ‎(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。‎ 三、知识点、能力点提示 三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。‎ 下面对常见考点作简单分析：‎ ‎1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。‎ ‎2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。‎ ‎3.三角函数性质的考查 ‎(1)定义域和值域：‎ ‎(2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )‎ ‎(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。‎ ‎4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。‎ ‎5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。‎ ‎6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。‎ 进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路：‎ ‎1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。‎ ‎2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。‎ ‎3.常数的变换：常用方式有1=sin2α+cos2α=sec2α-tg2α=tg,=sin等。‎ ‎4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。‎ ‎5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等 ‎6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。‎ ‎7.综合运用上述各种方式。‎ 例1 sin600°的值是( ) A.. B.- C. D.- ‎ 解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°‎ ‎=sin(180°+60°)=-sin60°‎ ‎=-‎ ‎∴应选D.‎ 例2 已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_______.‎ 解:sinθ+cosθ=(sinθ+cosθ)2=()2sinθ·cosθ=-.‎ ‎∴sinθ和cosθ是方程t2-t-=0,即方程25t2-5t-12=0的两根.‎ ‎25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t1=,t2=-.‎ ‎∵θ∈(0.π) sinθ＞0.‎ ‎∴sinθ= ,从而cosθ=-,‎ ‎∴ctgθ=.=-.‎ 应填- .‎ 例3 tg20°+tg40°+tg20°·tg40°的值是_______.‎ 解：∵=tg60°=tg(20°+40°)=,‎ ‎∴tg20°+tg40°= (1-tg20°·tg40°).‎ ‎∴原式=(1-tg20°·tg40°)+ tg20°·tg40°).‎ ‎=‎ 应填.‎ 例4 求值：cos·cos=________.‎ 解：cos·cos ‎=(cos+cos)= (-+0)=-.‎ 例5 关于函数f(x)=4sin(2x+) (x∈R),有下列命题：‎ ‎①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；‎ ‎②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-)；‎ ‎③y=f(x)的图像关于点(- ,0)对称；‎ ‎④y=f(x)的图像关于直线x=-对称；‎ 其中正确命题的序号是___________.‎ ‎(注：把你认为正确的命题序号都填上)‎ 解：分别讨论四个命题.‎ ‎①令4sin(2x+)=0,得2x+=kπ (k∈Z),x=- (k∈Z),设x1=-,x2=- ,k1≠k2,k1,k2∈Z,‎ 则f(x1)=f(x2)=0,‎ 但x1-x2=(k1-k2),当k1-k2为奇数时，x1-x2不是π的整数倍 ‎∴命题①不正确.‎ ‎②y=f(x)=4sin(2x+)=4cos［-(2x+)］=4cos(-2x+)=4cos(2x-)‎ ‎∵命题②正确 ‎③根据 ‎2x+‎ ‎0‎ π ‎2π X ‎-‎ Y ‎0‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎-4‎ ‎0‎ 作出y=f(x)=4sin(2x+)的草图，如图 由图知，f(x)的图像关于点(-，0)对称，‎ ‎∴命题③正确 ‎④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-对称 ‎∴命题④不正确 应填②、③‎ 例6 函数y=sin(x-)·cosx的最小值是_______.‎ 解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得 y=［sin(2x-)］+sin(-)］‎ ‎= sin(2x-)-.‎ ‎∵sin(2x- )∈［-1,1］,‎ ‎∴ymin=-.‎ 应填-.‎ 例7 y= +sin2x,则y的最小值是_____.‎ 解：利用3倍公式：‎ sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.‎ y=+sin2x ‎=+sin2x ‎=+sin2x ‎=+sin2x ‎=+sin2x ‎= +sin2x ‎=cos2x+sin2x ‎=sin(2x+)‎ ‎∴ymin=-.‎ 应填- ‎ 例8 在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( ) A.有最大值和最小值0 B.有最大值但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值 解：∵A+B=.‎ ‎∴sinA·sinB=sinA·cosA=sin‎2A,‎ A∈(0, )‎2A∈(0,π)‎ ‎∴sinAcosA有最大值但无最小值.‎ 应选B.‎ 例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值 解：∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=‎ ‎∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x ‎=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x ‎=1+sin2x+2· ‎ ‎=sin2x+cos2x+2‎ ‎=(sin2x·cos+cos2x·sin)+2‎ ‎= sin(2x+)+2‎ ‎∴当2x+=+2kπ时,ymax=2+ ‎ 即x=+Kπ(K∈Z)，y的最大值为2+‎ 例10 已知α是第三象限角，且sinα=-则tg=( )‎ A. B. C.- D.- ‎ 解：∵sinα=,sinα=-,‎ ‎∴-=.‎ 化简得12tg2+25tg +12=0，‎ 即(4tg+3)(3tg+4)=0.‎ 解出tg =-,tg =- .‎ 又已知α是第三象限角，即α∈(π+2kπ，+2kπ)，‎ ‎∴∈+kπ，+kπ)，‎ ‎∴tg ∈(-∞，-1)，‎ ‎∴tg =- (舍去tg=-1).‎ 应选D.‎ 例11 sin220°+cos280°+sin20°·cos80°=___________.‎ 解：sina220°+cos280°+sin20°·cos80°‎ ‎=++·2sin20°·cos80°‎ ‎=1-(cos40°+cos20°)+ (sin100°-sin60°)‎ ‎=1-cos30°cos10°+ cos10°-‎ ‎=‎ 应填.‎ 例12 求sin220°+cos250°＋sin20°·cos50°的值_____________.‎ 解:sin220°+cos250°+sin20°cos50°‎ ‎=sin220°+sin240°+sin20°sin40°‎ ‎=(sin20°+sin40°) 2-sin20°sin40°‎ ‎=(2sin30°cos10°) 2+ (cos60°-cos20°)‎ ‎=+ (-cos20°)‎ ‎=‎ 应填.‎ 例13 tg20°+4sin20°=________.‎ 解：tg20°+4sin20°‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ 例14 cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值等于( )‎ A. B. C. D.1+‎ 解：cos275°+cos215°＋cos75°cos15°‎ ‎=(sin215°+cos215°)+sin15°‎ ‎=1+‎ ‎=.‎ 应选C.‎ 例15 已知ctg=3,则cosθ=_________.‎ 解：由已知有tg=.‎ ‎∴cosθ===.‎ 例16 已知tgA+ctgA=m,则sin‎2A___________.‎ 解：tgA+ctgA=mtg‎2A+1=mtgA ‎∴sin‎2A= ==.‎ 例17 已知sinA+sin‎3A+sin‎5A=a,cosA+cos‎3A+cos‎5A=b.‎ ‎(1)b≠0时，求tg‎3A的值(用a、b表示)；‎ ‎(2)求(1+2cos‎2A)2（用a、b表示）.‎ 解：(1)利用和差化积公式可得：‎ a=sin‎3A(1+2cos‎2A),‎ b=cos‎3A(1+2cos‎2A),‎ ‎∴tg‎3A=.‎ ‎(2)由上可知ab=sin3Acos‎3A(1+2cos‎2A)2‎ ‎∴(1+2cos‎2A) 2=.‎ 又sin‎6A= ==,‎ ‎∴(1+2cos‎2A)2==a2+b2.‎ 例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )‎ A.arcos B.arcsin C.arccos D.arcsin ‎ 解：不妨设此直角三角形三内角为A、B、C且A＜B＜C=90°.‎ 由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列，‎ ‎∴sin2B=sinA 又A+B=90°，得sinB=cosA,‎ ‎∴cos‎2A=sinA,1-sin‎2A=sinA，‎ 即sin‎2A+sinA-1=0.‎ 解出sinA= (舍去sinA=) ‎∴A=arcsin ,‎ 应选B.‎ 例19 如图，若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是( ). ‎ A. ｛x｜2kπ-＜x＜2kπ+,k∈Z｝‎ B. ｛x｜2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z｝‎ C. ｛x｜kπ-＜x＜kπ+,k∈Z｝‎ D. ｛x｜kπ+＜x＜kπ+,k∈Z＝‎ 解：由于sin2x和cos2x的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解.‎ 在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx和cosx的图像.‎ 把［，π］的cosx的图像沿x轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x1=,x2＝‎ ‎.∴在(+2kπ，+2kπ)上有sin2x＞cos2x.‎ 应选D.‎ 例20 下列四个命题中的假命题是( )‎ A.存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α和β，使得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ D.不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ 解：C是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D也正确.‎ 对于A，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A正确.‎ 对于B，取α=β=2kπ，k∈Z，则cos(2kπ+cos2kπ)=cos2kπcos2kπ+sin2kπsin2kπ,‎ ‎∴B.不正确. 应选B.‎ 例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+2＞0.‎ 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0.‎ ‎∴arctgx＜1或arctgx＞2.‎ 又-＜arctgx＜ .‎ ‎∴-＜arctgx＜1,即有-∞＜x＜tg1.‎ 例22 满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是( )‎ A.［-1,- ］ B.［-,0］ C.［0, ］ D.［,1］‎ 解：反余弦函数的定义域为［-1,1］,且为减函数.‎ ‎ -1≤1-x≤1‎ ‎∴ -1≤x≤1 ≤x≤1‎ ‎ 1-x≤x 应选D.‎ 例23 已知cos2α=,α∈(0,),sinβ=-,β∈(π, )‎ 求α+β(用反三角函数表示).‎ 解：由题设得sinα==,从而cosα=,且cosβ=-‎ 又α+β∈(π,2π)(α+β-π)∈(0,π),‎ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-.‎ ‎∴cos(α+β-π)=cos〔π-(α+β)〕=- .‎ ‎∴-π+(α+β)=arccos ‎ 即α+β=π+arccos ‎ 例24 记函数y=的图像为l1，y=arctgx的图像为l2，那么l1和l2的交点个数是( )‎ A.无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个 解：作出函数草图可知有2个交点.‎ 又x:0→时,arctgx:0→+∞, :+∞→0.‎ ‎∴x＞0时，l1和l2有一个交点. 又arctgx和都是奇函数，‎ ‎∴x＜0时，l1和l2也有一个交点. 应选B.‎ 四、能力训练 ‎1.设M＝｛第一像限角｝，N＝｛小于90°角｝，则M∩N是( )‎ ‎(A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案 ‎(考查象限角的概念)‎ ‎2.扇形圆心角为60°，半径为a，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( )‎ ‎(A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9‎ ‎(考查扇形面积公式)‎ ‎3.θ是第四象限角，且｜cos｜＝cos，则在( )‎ ‎(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限 ‎(考查象限角与三角函数值的符号)‎ ‎4.sin21°+sin22°+…+sin290°的值属于区间( )‎ ‎(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）‎ ‎(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)‎ ‎5.已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0)，则sinα(sinα+ctgα)+cos2α的值是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ (考查三角函数定义和直线方程)‎ ‎6.己知0＜a＜1，＜α＜，则下列元数M=(sinα)logasinα,N=(cosα)logαcosα,P=(cosα)logasinα的大小关系是( )‎ ‎(A)M＞N＞P (B)M＞P＞N (C)M＜N＜P (D)M＜P＜N ‎(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)‎ ‎7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x等于( )‎ ‎(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)‎ ‎(考查诱导公式与函数解析式)‎ ‎8.方程sinx=lgx的实根个数是( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错 ‎(考查三角函数与对数函数的图像)‎ ‎9.函数y=sin(2x+)的图像中的一条对称轴方程是( )‎ ‎(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=‎ ‎(考查三角函数图像的特征)‎ ‎10.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，‎ 那么f(x)的解析式可以写成( )‎ ‎(A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x)‎ ‎(C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x)‎ ‎(考查三角函数的图像与解析式) ‎11.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( )‎ ‎(A)它的定义域是［-1，1］ (B)它是奇函数 (C)y∈［cos1,1］ (D)不是周期函数 ‎(考查三角函数有关性质及弧度制)‎ ‎12.函数y=tg-的最小正周期是( )‎ ‎(A) (B)π (C) (D)2π ‎ (考查三角函数的周期和恒等变形)‎ ‎13.函数y=cscxcos3x-cscxcos5x是( )‎ ‎(A)周期为的奇函数 (B)周期为的偶函数(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数 ‎(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)‎ ‎14.若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( )‎ ‎(A)a＞＞b (B)a＜＜b (C)a＜b＜ (D)b＜a＜‎ ‎(考查辅助角公式，三角函数的单调性)‎ ‎15.下列四个命题中的假命题是( )‎ ‎(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ ‎(B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ ‎(C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ‎(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ ‎(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)‎ ‎16.tgα、tgβ是方程7x2-8x+1=0的二根，则 sin2(α+β)-sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)的值是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)‎ ‎17.sin(α+β)=-，sin(α-β)= ，且α-β∈(，π)，α+β∈(，2π)。则cos2β＝( )‎ ‎(A)-1 (B)1 (C) (D)-‎ ‎(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)‎ ‎18.若ctgx=3，则cos2x+sin2x的值是( )‎ ‎(A)- (B)- (C) (D)‎ ‎(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式)‎ ‎19.tg9°-tg27°+tg63°+tg81°的值为( )‎ ‎(A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2‎ ‎(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式)‎ ‎20.在△ABC中，(1)已知tgA= sinB=，则∠C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,则∠C有且只有一解，其中正确的是( )‎ ‎(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确 ‎(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)‎ ‎21.在△ABC中，若a，b，c为∠A，∠B，∠C的对边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则( )‎ ‎(A)a，b，c成等差数列 (B)a，c，b成等差数列 ‎(C)a，c，b成等比数列 (D)a，b，c成等比数列 ‎(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列)‎ ‎22.给出下列四个命题：‎ ‎①若sin‎2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；‎ ‎②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；‎ ‎③若sin‎2A+sin2B+sin‎2C＜2，则△ABC是钝角三角形；‎ ‎④若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则△ABC是等边三角形，以上命题正确的个数是( )‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ‎(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)‎ ‎23.函数y=cosx(π≤x≤2π)的反函数是( )‎ ‎(A)y=π+arccosx (B)y=π-arcsinx (C)y=π+arcsinx (D)y=π-arccosx ‎(考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)‎ ‎24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( )‎ ‎(A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx) (B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx)‎ ‎(C)y=arctgx与y=arcctg (D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)‎ ‎(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义)‎ ‎25.设m=arcsin,n=arccos,p=arctg，则m，n，p的大小关系是( )‎ ‎(A)p＞n＞m (B)n＞m＞p (C)p＞m＞n (D)m＞n＞p ‎(考查反三角函数的运算及其单调性)‎ ‎26.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，)，则其值域是( )‎ ‎(A)( ，) (B)( ，π) (C)(- ，) (D)(- ，π)‎ ‎(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域)‎ ‎27.函数y=logsinx(2cosx+1)的定义域是__________。‎ ‎(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)‎ ‎28.f(x)=sinx-sin｜x｜的值域是____________‎ ‎(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域)‎ ‎29.把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)。然后将新得图像向左平移单位，这样得到的图像的解析式是______________。‎ ‎(考查三角函数图像的变换)‎ ‎30.若函数y=sin(x+)+cos(x+)是偶函数，则的值是_________。‎ ‎(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程)‎ ‎31：(1)tg70°+tg50°-tg70°tg50°=________‎ ‎(2)△ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log2sinc=_________‎ ‎(3)(1+tg1°)(1+tg2°)(1+tg3°)……(1+tg45°)=________‎ ‎(4)己知tgA+tgB+=tgAtgB，且sinAcosB=，则△ABC的形状是______‎ ‎(5)己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tgA,tgC是方程x2-px+1-p＝0(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tg(A+C)=________，tgA,tgC的取值范围分别是_____和_____，P的取值范围是__________‎ ‎(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)‎ ‎32.函数y=cosx-1(0≤x≤2π)的图像与x轴所围成图形的面积是_________。(考查三角函数图形的对称变换)‎ ‎33.函数y=arcsin+arctgx的值域是___________(考查反三角函数的定义域、值域、单调性)‎ ‎34.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)，有下列命题 ‎①由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-)；‎ ‎③y=f(x)的图像关于点(-，0)对称；④y=f(x)的图像关于直线x=-对称 其中正确命题的序号是______________‎ ‎(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性)‎ ‎35.设三角函数f(x)=sin(+)，其中k≠0‎ ‎(1)写出f(x)的极大值M，极小值m，最小正周期T。‎ ‎(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，‎ ‎(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)‎ ‎36.己知x+=2cosθ，试求xn+(n∈N)的值 ‎(结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)‎ ‎37.求值：‎ ‎(1) (2)sec50°+tg10°‎ ‎(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)‎ ‎38.解答下列各题：‎ ‎(1)己知A、B均为钝角，且sinA=,sinB=,求A+B ‎(2)己知α、β∈(0,π),且tg(α-β)=,tgβ=-,求2α-β ‎(3)己知α、β都是锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=‎ ‎(4)求证：arcsin+arcsin(-)＝arcsin ‎(考查如何求角，如何证明关于角的等式)‎ ‎39.根据下列所给条件，分别求出cos(α+β)的值：‎ ‎(1)己知sinα-sinβ=，cosα-cosβ=‎ ‎(2)己知α、β是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(α≠2kπ+β,k∈z)；‎ ‎(3)己知z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，z1-z2=+i；‎ ‎(4)己知直线y=2x+m与圆x2+y2=1有两个公共点M，N，且x轴正半轴逆转到两射线OM，ON(O为原点)的最小正角依次为α、β ‎(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)‎ ‎40.解答下列各题：‎ ‎(1)锐角△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC ‎(2)锐角△ABC中，求证：tgAtgBtgC＞1‎ ‎(3)α、β∈［0，］，己知+=2，求证：α+β=‎ ‎(考查三角函数的单调性)‎ ‎41.解答下列各题：‎ ‎(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。‎ ‎(2)求y=的最值 ‎(3)设函数y=-2sin2x-2cosx‎-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式；‎ ‎②试确定能使f(a)= 的a的值。‎ ‎(4)求f(x)=的值域 ‎(5)求y=2sinxsin2x的最大值 ‎(6)若θ为钝角，求y=+(a＞b＞0)的最小值 ‎(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范围 ‎(8)己知3sin2α+2sin2β=2sinα，求cos2α+cos2β的最值 ‎(考查三角函数常见最值的求法)‎ ‎42.a、b、c是△ABC的三边，求证：=‎ ‎(考查三角形中恒等式的证明)‎ ‎43.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A-C＝，求sinB的值。‎ ‎(考查三角形中的有关计算)‎ ‎44.在△ABC中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若△ABC的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)‎ ‎45.己知f(x)=tgx,x∈(0,)，若x1,x2∈(0, )，且x1≠x2，证明：［f(x1)+f(x2)］＞f()‎ ‎ (综合考查三角函数与不等式)‎ ‎46.己知实数x，y满足x +y =1，问 x2+y2是否为定值?若是，请求该值：否则求其取值范围。‎ ‎(考查代数与三角的综合题)‎ ‎47.在高出地面‎30m的小山顶C处建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B点‎60m的地面上取一点A，若测得CD对A所张的角为45°，求电视塔的高度。‎ ‎(考查应用数学知识处理实际问题的能力)‎ ‎48.如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的角偏东30°，在C处测得A在船的南偏东60°，如果此船不改变航向，有无触礁的危险? ‎(考查应用正弦定理处理实际问题的能力) ‎49.外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A，B是我们的观测站，A与B间的距离是S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船只在P点，在A处测得∠BAP=α，同时在B处测得∠ABP=β，问α及β满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域?‎ ‎(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)‎ ‎50.半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆周长的动点，以AB为边，向形外作等边△‎ ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大?并求出这个最大值。‎ ‎(考查分析问题和解决问题的能力)‎ ‎51.己知半径为1，圆心角为的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。‎ ‎(考查三角函数在圆形最值中的运用)‎ ‎52.腰为a的等腰△ABC中，∠A=90°，当A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，且点C与原点O在AB的两侧时，求OC长的最大值。‎ ‎(综合考查三角、解几、最值问题)‎ ‎53.如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹角α应该是多少? ‎(考查代数与三角的综合)‎ ‎54.用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木块，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴)试问，怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出这个最大值 ‎(考查代数、三角、立几的综合运用)‎ ‎55.如图所示，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两点A，B，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB最大。‎ ‎(考查代数，三角，解几的综合运用)‎ 参考答案 ‎1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D ‎27.｛x｜2kπ＜x＜2kπ+，且x≠2kπ+，k∈z＝ 28.［-2，2］ 29.y=sin(2x+) 30.=kπ+ (k∈z) 31.(提示：应用公式tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ))(1)- (2)- (3)223(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5) ；(0，)；(0，)；［，1) 32.2π 33.［0，π］ 34.①② 35.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T≤1)‎ ‎36.2cosnθ 方法(一)：用数学归纳法 方法(二)：设x=cosθ+t,则==cosθ-t ‎∴t2=-sin2θ 于是取t=isinθ ∴x=cosθ+isinθ 代入即可 ‎37.(1)-4 (2) ‎ ‎38.(1)∵A+B∈(0，π)，sin(A+B)=1 ∴A+B=‎ ‎(2)tgα=tg［(α+β)-β］=∈(0,1) α∈(0,) tgβ=-∈(-1,0) ‎ ‎∴β∈(,π)‎ ‎∴2α-β∈(-π,- ) 又∵tg(2α+β)=tg［α+(α-β)］=1 ∴2α-β=-‎ ‎(3)α+2β∈(0，π) sin(α+2β)＝1 ∴α+2β=‎ ‎(4)arcsin+arcsin(-)∈(-，)， arcsin∈(0, ) 又两边正弦相等 ‎∴等式成立。‎ ‎39.提示：问题都可归结为tg==-cos(α+β)= ‎ ‎40.提示：‎ ‎(1)～(2)A+B＞ ∴＞A＞-B＞0 ∴sinA＞sin(-B)＝cosB 同理：sinB＞cosC,sinC＞cosA ‎(3)显然：,必定一个大于1，一个不小于1，不妨设sin2α≤cos2β sin2β≥cos2α ‎ ‎∴α+β≤ α+β≥ ∴α+β＝‎ ‎41.(1)5 (2)ymax=，ymin=(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转化为asinx+bcosx=c(处理)‎ ‎ 1 (a≤-2)‎ ‎(3)①f(a)= -‎-2a-1 (-2＜a＜2＝‎ ‎ 1‎-4a (a≥2)‎ ‎②a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)‎ ‎(4)［-,-1］∪(-1, ］ (5)y=4sin2xcosx ∴y2=8sin2x·sin2·x2cos2x≤8()2‎ ‎∴ymax= (6)y=a2(1+tg2θ)+b2(1+ctg2θ)=a2+b2+(a2tg2θ+b2ctg2θ)≥(a+b)2‎ ‎∴ymin=(a+b)2‎ ‎ (7)设cosxcosy=M,则M+=cos(x-y)∈［-1,1］ M-＝cos(x+y)∈［-1，1］‎ ‎∴M∈［-，］ (8)cos2α+cos2β= (sinα-)2+ 又sin2β=sinα-sin2α∈［0，1］‎ ‎∴sinα∈［0, ］ ∴ (cos2α+cos2β)max=2，(cos2α+cos2β)min=‎ ‎42.提示：左====右 ‎43.‎ ‎44.由条件可知cosA=0 ∴ A= ∴12=b+c+≥2+‎ ‎∴=6(2-) ∴Smax=108-72‎ ‎45.分析：＞1+cos(x1+x2)＞2cosx1cosx2cos(x1-x2)＜1‎ ‎46.设x=cosα，y=cosβ(α,β∈［0,π］),则sin(α+β)=1，∴α+β＝ ∴ x2+y2=1‎ ‎47.150m ‎48.∵A离航向所在直线的距离为15＞20‎ ‎∴继续航行没有触礁的危险 ‎49.设P到AB的距离为d，则S=d(ctgα+ctgβ)‎ 当d≤D，即ctgα+ctgβ≤时，应向外国船发出警告。‎ ‎50.设∠AOB=α(0°＜α＜180°＝，则S=+2sin(α-60°)‎ ‎∴α=150°时，Smax=2+‎ ‎51.设∠BOC=α，则S＝(cos(2α-)-)‎ ‎∴α＝时，Smax=‎ ‎52.设∠BAO=α，则OC2=a2(+sin2θ+cos2θ)‎ ‎∴｜OC｜max=-a ‎53.三边之和l=+h ‎∴α=30°时，lmin=+h ‎54.设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是x、y ‎(1)若长边紧贴地面，则a2=x2+y2-2xycosα≥2xy(1-cosα)‎ ‎∴此时Vmax=a2bctg=V1‎ ‎(2)若短边紧贴地面，则b2=x2+y2-2xycosα≥2xy(1-cosα)‎ ‎∴ 此时Vmax=b2actg=V2‎ ‎∵a＞b＞0 ∴V1＞V2‎ ‎∴当长边紧贴地面，且仓的底面是以a为底边的等腰三角形时容积最大，最大值为a2bctg ‎55.设A(0,a),B(0,b),C(x,0) 则 tg∠ACB=tg(∠ACO-∠BCO)=‎ ‎∴当x=时，(∠ACB)max=arctg