高考物理专题综合复习5

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第二部分 匀变速直线运动的规律 知识要点梳理 知识点一——匀变速直线运动的基本规律 ▲知识梳理 1、匀速直线运动 在相等的时间内位移相等的直线运动叫做匀速直线运动，简称匀速运动。 （1）特点：a =0，v＝恒量。 （2）位移公式：。 2、变速直线运动 物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里位移不相等，这种运动叫做变速直线运动。 3、匀变速直线运动 在相等的时间内速度变化相等的直线运动叫做匀变速直线运动。 （1）特点：a＝恒量。 （2）公式：①；②；③；④ 说明： ①匀加速直线运动：速度随着时间增大的匀变速直线运动，叫做匀加速直线运动。 ②匀减速直线运动：速度随着时间减小的匀变速直线运动，叫做匀减速直线运动。 ③从加速度的角度来看，只要加速度（大小和方向）一定即为匀变速直线运动，可能是单向的直线运动，也可能是往返的直线运动。 ▲疑难导析 1、对匀变速直线运动的规律的理解 速度公式： 位移公式：‎ ‎ 速度一—位移关系式： 平均速度公式： 说明： （1）以上四式只适用于匀变速直线运动。 （2）式中均为矢量，应用时必须先确定正方向（通常取初速度方向为正方向）。 （3）如果选初速度方向为正方向，当a>0时，则物体做匀加速直线运动；当a<0时，则物体做匀减速直线运动。 （4）以上四式中涉及到五个物理量，在中只要已知三个，其余两个就能求出。这五个物理量中，其中和a能决定物体的运动性质（指做匀加速运动、匀减速运动），所以称为特征量。x和v随着时间t的变化而变化。 （5）以上四式并不只适用于单向的匀变速直线运动，对往返的匀变速直线运动同样适用。可将运动的全过程作为一个整体直接应用公式计算，从而避免了分段计算带来的麻烦，但要对v、x、a正、负值做出正确的判断，这一点是应用时的关键。 2、对匀减速直线运动的再讨论 (1)物体做匀减速直线运动时，因为加速度a的方向与初速度的方向相反，所以在单向直线运动中速率将随时间的增加而减小。物体的速度在某时刻总会减为零，如果物体就不再运动，处于静止状态。显然在这种情况下，中的t不能任意选取，令，则从不难得到t的取值范围只能是。 (2)对于单向的匀减速直线运动，可看作初速度为零的反向匀加速直线运动，就是我们常说的逆向思维法。 ‎ ‎ (3)对于能够返向的匀减速直线运动，如竖直上抛运动。特别要注意正、负号的处理及其物理意义的理解，一般选初速度方向为正方向，则加速度为负方向，对竖直上抛运动在抛出点之上的位移为正，在抛出点之下的位移为负，这一点请同学们注意。 3、匀变速直线运动常用的解题方法 匀变速直线运动的规律、解题方法较多，常有一题多解，对于具体问题要具体分析，方法运用恰当能使解题步骤简化，起到事半功倍之效，现对常见方法总结比较如下：‎ 常用方法 规律、特点 一般公式法 一般公式法指速度公式、位移公式、速度和位移关系三式。它们均是矢量式，使用时注意方向性。一般以的方向为正方向，其余与正方向相同者为正，与正方向相反者取负。‎ 平均速度法 定义式对任何性质的运动都适用，而只适用于匀变速直线运动。‎ 中间时刻速度法 利用“任一时间t中间时刻的瞬时速度等于这段时间t内的平均速度”即，适用于任何一个匀变速直线运动，有些题目应用它可以避免常规解法中用位移公式列出的含有的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度。‎ 比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的五大重要特征的比例关系，用比例法求解。‎ 逆向思维法 （反演法）‎ 把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法。一般用于末态已知的情况。‎ 图象法 应用图象，可把较复杂的问题转变为较为简单的数学问题解决。尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案。‎ 巧用推论 =－= 解题 匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用求解。‎ 巧选参考系解题 物体的运动是相对一定的参考系而言的。研究地面上物体的运动常以地面为参考系，有时为了研究问题方便，也可巧妙地选用其它物体作参考系，甚至在分析某些较为复杂的问题时，为了求解简捷，还需灵活地转换参考系。‎ ‎ ‎ ‎4、匀变速直线运动问题的解题思想 (1)解题步骤 ①首先选取研究对象，由题意判断物体的运动状态，若是匀变速直线运动，则分清加速度、位移等方向如何。 ②规定正方向（通常以方向为正方向），根据题意画出运动过程简图。 ③根据已知条件及待求量，选定有关规律列方程，要抓住加速度a这个关键量，因为它是联系各个公式的“桥梁”。为了使解题简便，应尽量避免引入中间变量。 ④统一单位，解方程（或方程组）求未知量。 ⑤验证结果，并注意对结果进行有关讨论。验证结果时，可以运用其它解法，更能验证结果的正确与否。 （2）解题技巧与应用 ①要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯，特别是对较复杂的运动，画出图象可使运动过程直观，物理情景清晰，便于分析计算。 ②要注意分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程依时间的先后顺序按运动性质可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段存在什么联系。 ③要注意某阶段或整个过程的纵向联系。如物体不同形式的能量之间的转化是相互伴随的，两物体之间的互相作用过程，也决定了两物体之间某些物理量之间的联系。 ④由于本章公式较多，且各个公式间有相互联系，因此，本章题目常可一题多解，解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方法。解题时除采用常规解法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一个匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是本章解题中常见的方法。 ：质点做匀减速直线运动，在第1s内位移为‎6m，停止运动前的最后1s内位移为‎2 m，求： （1）在整个减速运动过程中质点的位移大小； （2）整个减速过程共用多少时间？ 解析：‎ ‎ （1）设质点做匀减速运动的加速度大小为a，初速度为。 由于质点停止运动前的最后1 s内位移为‎2 m，则，所以 质点在第1s内位移为‎6 m， 所以 在整个减速运动过程中质点的位移大小为 （2）对整个过程逆向考虑，所以。 知识点二——匀变速直线运动的几个推论 ▲知识梳理 1．匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移之差是个定值 即。 2．匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度 即。 3．匀变速直线运动的物体，在某段位移的中间位置的瞬时速度 。 ‎ ‎ 以上几个推论在实验中求物体加速度时经常用到。 ‎ ‎4．初速度为零的匀加速直线运动（设T为相等的时间间隔） （1）1 T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度的比值为 （2）1T末、2T末、3T末、…、nT位移的比值为 （3）第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第N个T内位移的比值为 （4）从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比值为 ▲疑难导析 1、在处理末速度为零的匀减速直线运动的问题时，往往根据逆向思维将匀减速直线运动转化为初速度为零的匀加速直线运动来处理。 很多实际问题，选用上述特殊规律可以简化解题过程，因此在解决实际问题时要时刻注意利用这些结论巧妙处理问题。例一个做匀减速直线运动的物体，末速度为零，若将整个运动时间分为相等的n个T，或整个运动位移分为相等的n个x，可以得到如同初速度为零的匀加速直线运动相似的比例关系式，只是二者首尾颠倒。 2、基本公式加上这么多推论公式，应该如何选择呢？ 一种方法是不管推论只选基本公式，把已知量代入基本公式求解；再一种方法是分析已知量、相关量与待求量，看这些量共存于哪个公式中，这个公式就是要选取的最合适的公式。前种方法需要列出的方程个数多，求解麻烦；后者选公式需要花点工夫，但列出的方程数目少，求解比较简便。 ：‎ 一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端的站台前观察，第1节车厢通过他历时2s，全部车厢通过他历时8s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，求： （1）这列火车共有多少节车厢？ （2）第9节车厢通过他所用时间为多少？ 解析： （1）根据初速度为零的匀加速直线运动的物体，连续通过相等位移所用时间之比为： 得 所以16，故这列火车共有16节车厢 （2）设第9节车厢通过他所用时间为 。 知识点三——自由落体运动 ▲知识梳理 1、特点 初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。 2、自由落体运动运动性质 自由落体运动是一种初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动。 3、规律 。 因自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以上述运动规律只有在从开始下落立即计时的情况下适用。 4、匀变速直线运动的一些推论也适用于自由落体运动 ▲疑难导析 ‎ 在实际自由落体运动的问题处理中，要充分利用加速度为g和初速度为零的条件 如从楼顶自由下落的水滴经过某楼层‎2m高的窗子时用时0.1s，求楼顶离此窗台多高？我们就可以设水滴从楼顶到窗台时间设为t，根据位移关系有：‎2m，求出t，再利用，即可求出这个距离。 ：物体从高处自由落下，通过‎1.75 m高的窗户所需时间为0.1 s，物体从窗底落到地面所需时间为0.2 s，则物体是从多高处下落的？ 解析：因物体做自由落体运动，所以通过窗户的中间时刻的速度等于通过窗户全程的平均速度，即m/s=‎17.5 m/s，物体抵达地面时的速度为=‎20 m/s，物体自由下落的高度m=‎20m。 知识点四——竖直上抛运动 ▲知识梳理 1、竖直上抛运动 将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出，物体所做的运动叫竖直上抛运动。竖直上抛运动是初速度≠0、竖直向上、加速度竖直向下的匀变速直线运动。通常以向上为正方向，则竖直上抛运动，可以看作是初速度为，加速度a＝一g的匀减速直线运动。竖直上抛运动还可以根据运动方向的不同，分为上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动。 2、竖直上抛运动的规律 （1）以抛出点为坐标原点，以方向为正方向有 （2）竖直上抛运动的对称性，即物体经过空中某一位置时上升速率与下降速率的关系 ‎；由此位置上升到最高点所用的时间与由最高点下降到此位置所用时间的关系。 ▲疑难导析 实际问题中抛体运动的处理方法 体育运动中有许多项目涉及自由落体运动和竖直上抛运动，如跳高、跳水等。处理这类问题时，要抓住主要因素，忽略次要因素，建立物理模型。如跳水中运动员跳起后向上匀减速运动至速度为零（这一段可逆向思维为自由落体运动），到了最高点后，再向下做自由落体运动，要注意在空中手脚位置交换以及做各种动作并不影响运动快慢。当然，实际中的阻力在这里当作次要因素忽略不计了。像这类问题是紧密联系实际的问题，这要求有透过日常生活现象认识物理本质进而解决问题的能力。 ：一跳水运动员从离水面‎10 m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高‎0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水（在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计），从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是 s。（计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10，结果保留二位有效数字） 答案：1.7 解析：在上升过程中，根据竖直上抛运动的最大高度与初速度的关系可得运动员（质点）的初速度‎3.0 m/s，在运动员离开跳台到手接触到水的全过程，质点做匀减速直线运动。取方向为正方向，运动员运动的加速度是重力加速度g，方向竖直向下，所以取负值：10，位移大小为‎10 m，方向也竖直向下，故有‎10 m。 利用匀变速直线运动的位移公式，即，解得t＝1.7 s。 典型例题透析 类型一——匀变速直线运动规律的应用 描述机械运动的三个物理量x、v、a 都是矢量，不仅有大小，还有方向。在直线运动中，一般规定初速度的方向为正方向，凡是与方向相同的均为正值，凡是与方向相反的均为负值。当=0时，一般规定a的方向为正方向。因此在利用匀变速直线运动规律公式时，不仅要理解各量的物理意义，还要特别注意各量的正负（方向）。 1、骑自行车的人由静止开始沿直线运动，在第1s内通过‎1米、第2s内通过‎2米、第3s内通过‎3米、第4s内通过‎4米．则下列说法中正确的是（ ） A．自行车和人做匀加速直线运动 B．第2s末的瞬时速度为2. ‎5 m/s C．第3、4两秒内的平均速度为3. ‎5 m/s D．整个过程中加速度为1 思路点拨：虽然每秒内的位移之差相等，但是若将时间分的再小呢？就难以保证在任意相等的时间内位移差相等了。可见对基本概念的理解要准确到位。 解析：本题已明确指出骑自行车的人为初速度为零的直线运动，因此，若为匀变速直线运动，必有，而这里对应的。虽然在连续相等时间内位移差相等，但不是匀变速直线运动，故无法求出加速度及第2s末的瞬时速度。根据平均速度的定义可求得第3、4两秒内的平均速度为。 答案：C 总结升华：匀变速运动是指任意相等时间内速度变化量相等的运动，也可以说成是任意连续相等时间内位移差都相等的运动。解题时注意“任意”二字，若是1秒或几秒固定的时间，则上述结论不一定成立。 举一反三 【变式】汽车自O点由静止开始在平直公路上做匀加速直线运动，途中6s时间内依次经过P、Q两根电线杆。已知P、Q相距‎60 m，车经过Q点时的速率为‎15 m/s，则 （1）汽车经过P时的速率是多少？ （2）汽车的加速度为多少？ （3）O、P 两点间距离为多少？ 解析：设汽车经过P点的速度为，经过Q点的速度为，由得 所以‎5 m/s 由得≈1.67 由得m。 类型二——匀变速直线运动推论妙用 （1）平均速度法 求平均速度的公式有两个：一个是定义式，普遍适用于各种运动； 另一个是，只适用于加速度恒定的匀变速直线运动。 （2）利用 在匀变速直线运动中，第n个时间内的位移和第N个T时间内的位移之差。 2、汽车从甲地由静止出发，沿直线运动到丙地，乙在甲、丙两地的中点。汽车从甲地匀加速度运动到乙地，经过乙地速度为‎60 km/h；接着又从乙地匀加速运动到丙地，到丙地时速度为‎120 km/h，求汽车从甲地到达丙地的平均速度。 思路点拨：本题全过程并不是一个“完整”的匀加速运动，因而不能用求解全程的平均速度。 解析：设甲丙两地距离为‎2 l，汽车通过甲乙两地时间为，通过乙丙两地的时间为 ‎。 从甲到乙是匀加速运动，由得 从乙到丙也是匀加速运动，由得： 所以，。 总结升华： （1）计算平均速度常见的错误是滥用。 如将本例求解为， 这种解法的错误是认为汽车全过程作加速度恒定的直线运动。 其实，汽车从甲地到乙地和从乙地到丙地两段的加速度并不相同，由可知， ，故对全过程不适用。 （2）物体做匀变速运动的平均速度，在时间t内的位移， 相当于把一个变速运动转化为一个匀速运动，匀变速直线运动的物体， 在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度：。 应用此解题会使求解更简单方便。 ‎ 举一反三 【变式】两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知（ ） A．在时刻以及时刻两木块速度相同 B．在时刻两木块速度相同 C．在时刻和时刻之间某瞬间两木块速度相同 D．在时刻和时刻之间某瞬间两木块速度相同 答案：C 解析：首先由图看出：上边那个物体相邻相等时间内的位移之差为恒量，可以判定其做匀变速直线运动；下边那个物体明显的是做匀速运动。由于及时刻两物体位置相同，说明这段时间内它们的位移相等，因此其中间时刻的即时速度相等，这个中间时刻显然在之间，因此本题选C。 3、为了测定某辆轿车在干直公路上启动时的加速度（轿车启动时的运动可近似看作匀加速运动），某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片（如图）。如果拍摄时每隔2s曝光一次，轿车车身总长为‎4.5m，那么这辆轿车的加速度约为 ( ) A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4 思路点拨：利用匀变速直线运动的物体在两个相邻的相等时间间隔内的位移差这一结论。 解析：由图中间隔及轿车长度可知，轿车在第1个2s和第2个2s内的位移分别为=‎12m和=‎20m， 得 ‎。 答案：B 总结升华：本题巧妙地以实际问题为背景，把轿车在干直公路上的运动简化为物理模型（纸带问题），考查学生的应变能力及用学科知识解决实际问题的能力。 举一反三 【变式】一个质点正在作匀加速度速直线运动，用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1s。分析照片得到的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了‎2m；在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了‎8m。由此可以求得（ ） A．第1次闪光时质点的速度 B．质点运动的加速度 C．从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移 D．质点运动的初速度 答案：ABC 总结升华：由题意知，质点做匀加速直线运动，且=‎2m，=‎8m，由，即可求出质点运动的加速度a，B对；由，即可求出第1次闪光时质点的速度，A对；由，即可求出从第2次闪光到第3次闪光这段时间内质点的位移，C对；不知第一次闪光时质点运动的时间，无法求出质点运动的初速度。因而答案为ABC。 类型三——对实际交通工具的匀减速直线运动的处理 对于汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等这样的匀减速直线运动，它有最大运动时间，速度减到零后，加速度也为零，物体不可能倒过来运动。显然在这种情况下，公式和中的t 不能任意选取。若给出时间求位移或速度应注意先判定在这段时间内物体是否早已停止运动。 4、以速度为‎10m/s匀速运动的汽车在第2s末关闭发动机，以后为匀减速运动。第3s内的平均速度是‎9m/s，则汽车的加速度是 ，汽车在10s内的位移是 。 思路点拨：特别注意汽车关闭发动机后在8s内的运动情况：前5s匀减速运动，最后3s静止。若用公式求解，一定要注意时间t的大小。 解析：由题意可知：物体在第3s初的速度=‎10m/s，第3s内的平均速度为‎9m/s，即第3s中间时刻的瞬时速度＝‎9m/s，所以汽车的加速度为 “一”号表示a的方向与运动方向相反。 汽车关闭发动机后速度减到零所经过的时间为 ，则关闭发动机后汽车在8s内的位移为： 前2s汽车匀速运动的位移为： 汽车在10s内总的位移为：。 总结升华： 利用匀变速直线运动的规律解题时，一定要合理选择公式，可以使计算简单，减少运算量，提高解题速度。对于“刹车”问题，一定要注意从开始刹车到停止运动所需的时间，切忌不假思索直接代入求解。 举一反三 【变式】以‎10m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车刹车后第2s内的位移为‎6.25m（刹车时间超过2s），则汽车刹车后6s内通过的位移是多大？ 解析：设汽车刹车时的加速度为a，则有： 其中=‎10 m/s，=‎6.25 m，=2 s，=1 s， 代入数据解得a=‎ ‎ 汽车速度减到零所用时间4 s<6s，即汽车在4s末停止后，剩余的2s处于静止状态， 所以刹车后6s内的位移与4s内的位移相同，即：‎20 m。 类型四——“逆向思维”法的应用 逆向过程处理（逆向思维法）是把运动过程的“末端”作为“初态”来反向研究问题的方法。如物体做加速运动看成反向的减速运动，物体做减速运动看成反向的加速运动处理。该方法一般用在末状态已知的情况。若采用逆向思维方法，往往能收到事半功倍的效果。 在处理末速度为零的匀减速直线运动时，可以采用逆推法，将该运动对称地看作是加速度大小相等的初速度为零的匀加速运动，则相应的位移、速度公式以及在连续相等时间的位移之比、连续相等位移内的时间之比等结论，均可使用，采用这种方法尤其在解选择题或填空题时十分简捷。 5、运行着的汽车制动后做匀减速直线滑行，经3.5s停止，试问它在制动开始的1s内、2s内、3s内通过的位移之比多少？ 思路点拨：这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动。利用逆向思维法分析求解。 解析：如图所示，汽车从O开始制动后，1s末到A，2s末到B，3 s末到C，停止在D。 这个运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速运动，加速度的数值等于汽车做匀减速直线运动时的加速度，如图所示。 将3.5 s等分为7个0.5 s，那么，逆过程从D 起的连续7个 0.5 s内的位移之比为1:3:5:7:9:11:13。在图中，。 ‎ ‎ 汽车从O起1s内、2s内、3s内的位移即图中的、、， 所以。 总结升华：本题若从运动基本规律入手通过代数变换求解，不够简捷。上述提供的巧解中用了两个要点：（1）运动在空间、时间上的可逆性；（2）=0的匀加速运动的特点。用=0的匀加速运动逆向代换末速度为零的匀减速运动常可简化解题过程。 举一反三 【变式】将一小物体以初速竖直上抛。若物体所受空气阻力大小不变，则小物体在到达最高点的最后一秒和离开最高点的第一秒时间内通过的路程和、速度的变化量和的大小关系为（ ） A． B． C． D． 答案：AC 解析：上升的加速度大于下落的加速度。根据逆向转换的方法，上升最后一秒可以看成以从零下降的最初一秒，故有，而以下降的第一秒内有。 ，，即A、C正确。 类型五——利用自由落体运动规律解决实际问题 自由落体运动是一个初速度为零的匀加速直线运动，因此凡是初速度为零的匀加速直线运动的公式，自由落体运动都适用，用不着再去死记自由落体运动的公式。而且自由落体运动的加速度始终是已知的，它就是重力加速度。另外巧用“纸带问题”的处理方法和初速度为零的匀变速直线运动规律的推论可使问题变得简捷，在解题中应引起足够的重视。 6、“9·‎‎11”‎ 事件后，美国进行了军事打击阿富汗，在一次军事打击中，美军有一架直升飞机执行任务正停留在某一高空投运军用物资，测出空投物资自由下落过程中通过连续相等时间s的时间间隔内，某一相邻高度分别为‎23.6 m、‎26.05 m，试确定飞机所在处的重力加速度（物资下落时不计空气阻力） 思路点拨：物资空投后，物资做自由落体运动，利用分析求解。 解析：物资空投相当于物体做自由落体运动，即的匀加速直线运动，根据质点做匀变速直线运动的推论：可求得所在处重力加速度。 总结升华：本题只要求能正确建立物理模型：物资空投相当于自由落体运动，问题就明朗了。另外还要求学生熟练掌握学生实验中匀变速直线运动加速度的测定方法：，对式中各个物理量意义要正确理解。 举一反三 【变式】‎1991年5月11 ‎日的《北京日报》曾报道了这样一则动人的事迹：‎5月9 ‎日下午，一位4岁小男孩从高层楼房的16层坠下，被同楼的一位青年在楼下接住，幸免于难。设每层楼高度是‎3m，这位青年从他所在地方冲到楼下需要的时间是1.3s，则该青年要接住孩子，至多允许他反应的时间是（g=10） （ ） A．3.0s B．1.7s C．0.4s D．1.3s 答案：B 解析：自由落体运动的时间 则反应时间 故选项B正确。 类型六——竖直上抛运动的处理方法 1．竖直上抛运动的处理方法 ‎ ‎ （1）“分段法”就是把竖直上抛运动分为上升阶段和下降阶段，上升阶段做匀减速直线运动，下降阶段做自由落体运动。下落过程是上升过程的逆过程。 （2）“整体法”就是把竖直上抛运动整个过程看成是一个匀变速直线运动。从全程来看，加速度方向始终与初速度的方向相反。 2．符号法则：应用公式时，要特别注意等矢量的正负号，一般选向上为正方向，总是正值，上升过程中v为正值，下降过程中v为负值，物体在抛出点以上时h为正值，在抛出点以下时h为负值。 3．竖直上抛运动的对称性包括速度对称和时间对称 （1）速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大反向。 （2）时间对称：上升和下降过程经过同一段高度的上升时间和下降时间相等。 7、某人站在高楼的平台边缘处，以=‎20 m/s的初速度竖直向上抛出一石子。求抛出后，石子经过距抛出点‎15 m处所需的时间。（不计空气阻力，g取10) 思路点拨：石块运动到离抛出点‎15 m处时，石块的位置是在抛出点上方还是在抛出点下方？如果是在抛出点上方的话，是处于上升阶段还是处于下降阶段？从题意来看，石块抛出后能够上升的最大高度为。这样石块运动到离抛出点‎15m处的位置必定有二个，如图所示，因而所经历的时间必有三个。 解析：当石块在抛出点上方距抛出点‎15m处时，取向上为正方向， 则位移， 代入公式， 得 化简得 解得：=1s，=3s。=1s 对应看石块上升时到达“离抛出点‎15 m处”时所用的时间，而= 3 s则时应着从最高点往回落时第二次经过“离抛出点‎15m处”时所用的时间。 ‎ ‎ 由于石块上升的最大高度H=‎20 m，所以石块落到抛出点下方“离抛出点‎15 m处”时，自由下落的总高度为，下落此段距离所用的时间。这样石块从抛出点到第三次经过“离抛出点‎15m处”时所用的时间为。 总结升华：所调“多值问题”是指答案的个数不唯一，有两个或两个以上，甚至有一个或几个系列值。竖直上抛运动的多值问题通常有下面几种： （1）位移公式： ①当时，表示物体在抛出点的上方。此时t有两解：小的解表示上抛物体第一次到达这一高度所用的时间；大的解表示上抛物体回落至此高度时所用的时间。 ②当时，表示物体刚抛出或抛出后落回原处，此时t有两解：一解为零，表示刚要上抛这一时刻，另一解为正数，表示上抛后又落回抛出处所用时间。 ③当时，表示物体抛出后落回抛出点后继续下落到抛出点下方的某一位置。此时t有两解：一解为正值，表示物体落到抛出点下方某处时所用时间；另一解为负位，应舍去。 （2）位移——速度公式： 在应用公式时应注意，若物体运动到抛出点上方时，物体将两次经过此处，末速度的正负两解分别表示物体向上经过此处（）和下落时经过此处（）。若物体落到抛出点下方h处，则h应取负值，此时解得末速度为正负两解，正解应舍去，负解表示物体经过此处时物体速度方向与上抛的初速方向相反。 举一反三 【变式】从地面同时竖直上抛甲、乙两小球，甲球上升的最大高度比乙球上升的最大高度多‎5.5m，甲球落地时间比乙球迟1s，不计空气阻力，求甲、乙两球抛出时的速度大小各为多少？（g取10‎ ‎） 解析：由最大高度公式 有 已知5. ‎5 m 可得 ① 又根据竖直上抛的总时间公式 有 已知1s 可得‎5 m/s ② 联立①②两式求解得＝‎13.5 m/s，=‎8.5 m/s。 ‎