函数与导数历年高考真题

函数与导数历年高考真题

函数与导数高考真题 ‎1．2log510＋log50.25＝‎ A、0 B、1 C、2 D、4‎ ‎2．等于( )‎ A. B.2 C.-2 D.+2‎ ‎3．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=‎ ‎(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3‎ ‎4．设定义在上的函数满足，若，则( )‎ ‎（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）‎ 75．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）‎ A． B．1 C．4 D．10‎ ‎6．设正数a,b满足, 则（ ）‎ A．0 B． C． D．1‎ ‎7．已知函数y=的最大值为M，最小值为m，则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎8．已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝‎ ‎（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1‎ ‎9．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎11．定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 ‎ （A）0 （B）1 （C）3 （D）5‎ ‎12．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎13．设，若函数有大于零的极值点，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎14．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎15．函数f(x)=的定义域为 A．(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］ B．(-4,0) ∪(0,1)‎ C．［-4,0］∪（0，1）］　　　　　　　　D．［－4，0∪（0，1）‎ ‎16．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：‎ 命题甲：是偶函数；‎ 命题乙：在上是减函数，在上是增函数；‎ 命题丙：在上是增函数．‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）‎ Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②‎ ‎17．设，其中，则是偶函数的充要条件是()‎ ‎（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）‎ ‎18．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎19．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎20．函数对于任意实数满足条件，若则_______________。‎ ‎21．已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则 ‎ ‎22．直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .‎ ‎23．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.‎ ‎24．设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .‎ ‎25．方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 　　　　　　　　　　　　　 .‎ ‎26．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则 ‎27．已知，，若同时满足条件：‎ ‎①，或，②‎ 则m的取值范围是 ‎ ‎28．已知函数，分别由下表给出 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 则的值为 ；满足的的值是 ．‎ ‎29．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数极值． ‎ ‎30．已知函数.‎ ‎（1）若，求的取值范围；（6分）‎ ‎（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）‎ ‎31．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎32．已知a＞0，bR，函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，‎ ‎(ⅰ)函数的最大值为|2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；‎ ‎(Ⅱ) 若﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C 2．D 3．D ‎4．C ‎【解析】∵且 ∴，，‎ ‎，，，，‎ ‎∴ ，∴ 故选C ‎5．A ‎6．B ‎【解析】：‎ ‎ ‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】定义域 ，当且仅当即上式取等号，故最大值为，最小值为，。‎ ‎8．A ‎【解析】试题分析：因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以f(x)的极大值为f(-1),极小值为f(1),因为函数y＝x-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,所以只须满足，即,所以.选A。‎ ‎9．B ‎【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当 得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得 令，则有 由 同样由与第二个椭圆由可计算得 综上知。‎ ‎10．B ‎【解析】试题分析：当m≤0时，显然不成立,当m=0时，因f（0）=1＞0,‎ 当m＞0时，若,即时结论显然成立；‎ 若时，只要△=4（4-m）2-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m＜8,‎ 则0＜m＜8,故选B．‎ 考点：一元二次函数，一元二次不等式，一元二次方程之间的关系，以及分析问题解决问题的能力.‎ 点评：解本小题的突破口是因为g(x)=mx显然对任一实数x不可能恒为正数,所以应按和分类研究，g(x)的取值，进而判断出f(x)的取值，从而找到解决此问题的途径.‎ ‎11．D ‎【解析】定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D。‎ ‎12．D ‎【解析】用代换x得： ，‎ 解得：，而单调递增且大于等于0，‎ ‎，选D。‎ ‎13．B ‎【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。‎ ‎14．D ‎【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性和不等式的解法。最好通过图象求解。‎ 由为奇函数，则，所以，即与x异号，可以画出两个特殊图像和y=x，即答案为D。‎ ‎15．D ‎【解析】要使函数有意义，‎ 则有，故D为正确答案。‎ ‎16．D ‎【解析】函数①，函数=是偶函数；且在上是减函数，在上是增函数；‎ 但对命题丙：=在x∈(－∞,0)时，为减函数，排除函数①，‎ 对于函数③，函数不是偶函数，排除函数③‎ 只有函数②符合要求，选D。‎ ‎17．D 18．B ‎【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为设函数 由图象关于对称得：最小值为,‎ ‎19．A. 20．‎ ‎【解析】解：由得，所以，则。‎ ‎21．1‎ ‎【解析】显然函数的最大值只能在或时取到，‎ 若在时取到，则，得或 ‎，时，；，时，（舍去）；‎ 若在时取到，则，得或 ‎，时，；，时，（舍去）‎ 所以 ‎22．(1,‎ ‎【解析】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线，由图可知，a的取值必须满足解得.‎ ‎23．‎ ‎【解析】函数过定点（0，-2），由数形结合：‎ ‎24．‎ ‎【解析】由已知得，单调递减，所以当时，‎ 所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为.‎ ‎25．‎ ‎【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线 与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，因直线y＝x与交点为：；所以结合图象可得：‎ ‎.‎ ‎26．-8‎ ‎【解析】因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由 为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如下图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,‎ 不妨设,由对称性知,‎ ‎,,所以.‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的基本性质,如奇偶性、周期性、对称性，同时考查了数形结合的思想方法.‎ ‎27． （-4,0）‎ ‎【解析】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时 ‎，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为；又由于条件2的限制，可分析得出在恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比两个根中较小的来的大，当时，，解得交集为空，舍。当m=-1时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述，。‎ ‎28．1，2‎ ‎【解析】=；‎ 当x=1时，，不满足条件，‎ 当x=2时，，满足条件，‎ 当x=3时，，不满足条件，‎ ‎∴ 只有x=2时，符合条件。‎ ‎29．（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点 处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即 ，从而 ，解得 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 令，解得（因 不在定义域内，舍去）当 时， 故 在上为减函数；当 时， 故 在上为增函数，故在 处取得极小值 ‎ ‎30．【解析】解：（1）由，得.‎ 由得. ……3分 因为，所以，.‎ 由得. ……6分 ‎（2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此 ‎. ……10分 由单调性可得.‎ 因为，所以所求反函数是，. ……14分 ‎31．解：（1）由，得。‎ ‎∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎∴ ，，解得。‎ ‎（2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎∴，解得。‎ ‎∵当时，；当时，，‎ ‎∴是的极值点。‎ ‎∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点 ‎32．(Ⅰ)‎ ‎(ⅰ)．‎ 当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；‎ 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ 此时的最大值为：‎ ‎＝|2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；‎ ‎(ⅱ) 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a．‎ 亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，‎ ‎∵，∴令．‎ 当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；‎ 当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ ‎≤|2a－b|﹢a；‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．‎ 即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，‎ ‎∴|2a－b|﹢a≤1．‎ 取b为纵轴，a为横轴．‎ 则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b．‎ 作图如下：‎ 由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有，．‎ ‎∴所求a＋b的取值范围为：．‎