高考上海文科数学试题及答案word解析版

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高考上海文科数学试题及答案word解析版

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)‎ 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、填空题(本大题共14小题,共56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4‎ 分,否则一律得零分.‎ ‎(1)【2014年上海,文1,5分】函数的最小正周期是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,所以.‎ ‎(2)【2014年上海,文2,5分】若复数,其中i是虚数单位,则 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】.‎ ‎(3)【2014年上海,文3,5分】设常数,函数,若,则 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】,所以,所以,故.‎ ‎(4)【2014年上海,文4,5分】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆的右焦点右焦点为,故,故该抛物线的准线方程为.‎ ‎(5)【2014年上海,文5,5分】某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 .‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】由分层抽样知高一、高二、高三抽取的学生数比为4:3:2,高三抽取的学生数为20,故高一、高二共需抽取的学生数为.‎ ‎(6)【2014年上海,文6,5分】若实数满足,则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由基本不等式可得,故的最小值为.‎ ‎(7)【2014年上海,文7,5分】若圆锥的侧面积是底面积的三倍,则其母线与轴所成的角大小为 .(结果用反三角函数值表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得,,解得,记母线与轴所成的角为,则,即.‎ ‎(8)【2014年上海,文8,5分】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】由三视图可知,被割去的两个小长方体长为2,宽为3,高为2,故切割掉的两个小长 ‎ 方体的体积之和为2×3×2×2=24.‎ ‎(9)【2014年上海,文9,5分】设,若是的最小值,则的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,当时,,因为是的最小值,故.‎ ‎(10)【2014年上海,文10,5分】设无穷等比数列的公比为,若 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为无穷等比数列的极限存在,所以,又因为即,解得.‎ ‎(11)【2014年上海,文11,5分】若,则满足的的取值范围是 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域为,即,在同一坐标系中作出() ‎ 的图象(如图),由图象可知,当时,.故满足的的取值范围是.‎ ‎(12)【2014年上海,文12,5分】方程在区间上的所有解的和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,因为,所以,所以由可得或,解得,所以.‎ ‎(13)【2014年上海,文13,5分】为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示). ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P,从10天中选择3天共有种方法,从10天中选择连续的3天有8种选择方法,故.‎ ‎(14)【2014年上海,文14,5分】已知曲线,直线.若对于点,存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可设(),又因为,所以点P、A、Q在一条直线上,且A点为线段PQ的中点.所以,,又,所以.‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)考生应在答题纸相应编号位置填涂,每题只有一个正确选项,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎(15)【2014年上海,文15,5分】设,则“”是“且”的( )‎ ‎ (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由不能推出且,如满足,但不能满足且;如果 且,由不等式的性质可得;故“”是“且”的必要非充分条件,故选B.‎ ‎(16)【2014年上海,文16,5分】已知互异的复数满足,集合,则( )‎ ‎ (A)2 (B)1 (C)0 (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】(1)当时,可看作是的根,此时与矛盾,故舍去;‎ ‎(2)当时,可得,(*)因为,所以,所以(*)即为,即,所以,此时;‎ ‎①当时,,与矛盾且不满足集合的互异性,故舍去;‎ ‎②当时,,但此时不能满足集合的互异性,故舍去;‎ ‎③当时,,且满足集合的互异性,符合题意,此时;‎ ‎④当时,,且满足集合的互异性,符合题意,此时;‎ 综上所述,,故选D.‎ ‎(17)【2014年上海,文17,5分】如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,是大正方形的一条边,是小正方形的其余顶点,则的不同值的个数为( )‎ ‎ (A)7 (B)5 (C)3 (D)1‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图,以点A为原点,建立坐标系,则 ‎,故 ‎ ‎,通过计算可得的值有0,2,4,共3个,故选C.‎ ‎(18)【2014年上海,文18,5分】已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )‎ ‎ (A)无论如何,总是有解 (B)无论如何,总有唯一解 ‎ ‎ (C)存在,使之恰有两解 (D)存在,使之有无穷多解 ‎【答案】B ‎【解析】解法一:‎ 由已知得,代入得解得,即直线与恒交于点(为常数),故选B.‎ 解法二:‎ 由已知条件,,,‎ ‎∴有唯一解,故选B.‎ 三、解答题(本题共5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎(19)【2014年上海,文19,12分】底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三 角形,如图.求的各边长及此三棱锥的体积.‎ 解:根据题意可得共线,∵,,‎ ‎∴,∴,同理,∴是等 ‎ 边三角形,是正四面体,所以边长为4;∴.‎ ‎(20)【2014年上海,文20,14分】设常数,函数.‎ ‎(1)若,求函数的反函数;‎ ‎(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.‎ 解:(1)∵,∴,∴,∴,‎ ‎ ∴,. ……6分 ‎(2)当时,,定义域为,故函数是偶函数;当时,定义域为 ‎,,故函数是奇函数;当时, ‎ 关于原点不对称,故函数既不是奇函数,也不是偶函数.……14分 ‎(21)【2014年上海,文21,14分】如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米. 设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.‎ ‎(1)设计中是铅垂方向. 若要求,问的长至多为多少(结 果精确到米)?‎ ‎(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求的长(结果精确 ‎ 到米).‎ 解:(1)设的长为米,则,∵, ∴,∴,‎ ‎∴,解得,∴的长至多为米. ……6分 ‎ ‎(2)设,,则,‎ 解得∴∴的长为米.……14分 ‎(22)【2014年上海,文22,16分】在平面直角坐标系中,对于直线和点,记. 若,则称点被直线分隔. 若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线.‎ ‎(1)求证:点被直线分隔;‎ ‎(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;‎ ‎(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线,求的方程,并证明 轴为曲线的分隔线.‎ 解:(1)将分别代入,得,‎ ‎ ∴点被直线分隔. ……3分 ‎(2)直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解,即.‎ 因为直线是曲线的分隔线,故它们没有公共点,即.‎ 当时,对于直线,曲线上的点和满足,即点和 被分隔.故实数的取值范围是. ……9分 ‎(3)设M的坐标为,则曲线E的方程为.‎ 对任意的不是上述方程的解,即y轴与曲线E没有公共点.又曲线E上的点对于 轴满足,即点被y轴分隔.所以y轴为曲线E的分割线. ……16分 ‎(23)【2014年上海,文23,18分】已知数列满足,,.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)若是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比;‎ ‎(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.‎ 解:(1)依题意,,∴,又,∴,综上可得.……3分 ‎(2)设的公比为.由,且,得.因为,所以.‎ 从而,解得.时,.‎ 所以,的最小值为8,时,的公比为. ……9分 ‎(3)设数列的公差为.则,‎ ‎①当时,,所以,即.‎ ‎②当时,符合条件.‎ ‎③当时,,所以,,又,‎ 所以.‎ 综上,的公差的取值范围为. ……18分
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