2020版高考数学大一轮复习 第八章 第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图学案 理

2020版高考数学大一轮复习 第八章 第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图学案 理

第1节　空间几何体的结构、三视图和直观图 最新考纲　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ 知 识 梳 理 ‎1．简单多面体的结构特征 ‎(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；‎ ‎(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；‎ ‎(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．‎ ‎2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 ‎3.三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．‎ ‎②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．‎ ‎4．直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 18‎ 垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1．常见旋转体的三视图 ‎(1)球的三视图都是半径相等的圆．‎ ‎(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．‎ ‎(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．‎ ‎(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．‎ ‎2．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．‎ ‎3．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．‎ ‎4．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．‎ 诊 断 自 测 ‎1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)‎ ‎(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)‎ ‎(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)‎ 解析　(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱．‎ ‎(2)反例：如图所示不是棱锥．‎ ‎(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.‎ ‎(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，‎ 18‎ ‎ 其俯视图为圆心和圆．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 解析　由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．‎ 答案　A ‎3.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(　　)‎ A．棱台　　　　　 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 解析　由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．‎ 答案　C ‎4.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 18‎ 解析　先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图．由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.‎ 答案　B ‎5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．‎ 解析　画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图)．D′为O′A′的中点．易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，‎ ‎∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2.‎ 答案　a2‎ ‎6．(2017·浙江五校联考)如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为4，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点(异于C点)，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为M.‎ 18‎ 当CQ＝________时(用数值表示)，M为等腰梯形；‎ 当CQ＝4时，M的面积为________．‎ 解析　连接AP交DC的延长线于点N，当点Q为CC1的中点，即CQ＝2时，连接D1N，则D1N过点Q，PQ綉AD1，显然AP＝D1Q，M为等腰梯形；当CQ＝4时，NQ交棱DD1延长线上一点(设为G)，且GD1＝4，AG过A1D1的中点，此时M为菱形，其对角线长分别为4和4，故其面积为8.‎ 答案　2　8 考点一　空间几何体的结构特征 ‎【例1】 (1)给出下列命题：‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；‎ ‎②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；‎ ‎③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎(2)以下命题：‎ ‎①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ 解析　(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．‎ 18‎ ‎(2)由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．‎ 答案　(1)A　(2)B 规律方法　(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．‎ ‎(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．‎ ‎(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．‎ ‎【训练1】 下列结论正确的是(　　)‎ A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 解析　如图1知，A不正确．如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．‎ 若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误．由母线的概念知，选项D正确．‎ 答案　D 考点二　空间几何体的三视图(多维探究)‎ 命题角度1　由空间几何体的直观图判断三视图 ‎【例2－1】 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 18‎ 解析　该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．‎ 答案　B 命题角度2　由三视图判定几何体 ‎【例2－2】 (1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 ‎(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 解析　(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.‎ ‎(2)由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝＝.‎ 18‎ 答案　(1)B　(2)C 规律方法　(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．‎ ‎(2)根据三视图还原几何体．‎ ‎①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．‎ ‎②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．‎ ‎③根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ 提醒　对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．‎ ‎【训练2】 (1)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎(2)(2018·杭州一模)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的侧面PAB的面积是(　　)‎ 18‎ A. B．‎2 ‎ C. D. 解析　(1)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D‎1A的射影为C1B，且为实线，B‎1C被遮挡应为虚线．故选B.‎ ‎(2)由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．‎ ‎∴该几何体的侧面PAB的面积 ‎＝×2×＝.‎ 答案　(1)B　(2)D 考点三　空间几何体的直观图 ‎【例3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．‎ 解析　如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：‎ 因为OE＝＝1，‎ 所以O′E′＝，E′F＝，‎ 则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.‎ 答案　 规律方法　(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．‎ ‎(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：‎ S直观图＝S原图形．‎ ‎【训练3】 (2017·余姚一中检测)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．‎ 18‎ 解析　如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.‎ 在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.‎ 又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1.‎ ‎∴BC＝BE＋EC＝＋1.‎ 由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.‎ 在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2.‎ ‎∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.‎ 答案　2＋ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)‎ A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱锥的侧棱长都相等 C．三棱台的上、下底面是相似三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 解析　根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．‎ 答案　B ‎2．如图所示的几何体是棱柱的有(　　)‎ 18‎ A．②③⑤ B．③④⑤ C．③⑤ D．①③‎ 解析　由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱．‎ 答案　C ‎3．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析　易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.‎ 答案　D ‎4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为(　　)‎ 解析　由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上且为实线，点E的投影点为PA的中点，故B正确．‎ 答案　B 18‎ ‎5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)‎ A．6 　　　 　B．4 C．6 　　　　 D．4‎ 解析　如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝＝6.‎ 答案　C ‎6．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②④ D．①②③④‎ 解析　由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．‎ 答案　A ‎7．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ 18‎ A．3 B．‎2‎ C．2 D．2‎ 解析　由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D－BCC1B1，最长棱为DB1＝ ‎＝＝2.‎ 答案　B ‎8．(2018·绍兴一中适应性考试)如图，已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B‎1C1上的动点，设AE＝λ，B‎1F＝μ.若平面BEF与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是(　　)‎ A．(1，2) B. C. D. 解析　通过特殊位置来分析，当AE＝λ→1时(此时，E与D接近重合)，若B‎1F＝μ→0(此时，B1与F接近重合)，此时截面是四边形，随着B‎1F＝μ的变大，平面BEF与正方体的截面是五边形，由此知λ＋μ＞1；随着B‎1F＝μ→1，平面BEF与正方体的截面仍是五边形，当两者均为1时，截面是三角形，由此知λ＋μ＜2，故1＜λ＋μ＜2，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 18‎ ‎9．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于________．‎ 解析　由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为.‎ 答案　 ‎10．(2017·台州调研)直观图(如图)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为‎2 cm，则在xOy原坐标系中四边形为________(填图形形状)；面积为________cm2.‎ 解析　将直观图恢复到平面图形(如图)，‎ 是OA＝‎2 cm，OC＝‎4 cm的矩形，SOABC＝2×4＝8(cm2)．‎ 答案　矩形　8‎ ‎11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．‎ 解析　由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.‎ 18‎ 答案　2 ‎12.如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点P是上底面A1B‎1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．‎ 解析　三棱锥P－ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.‎ 答案　1‎ ‎13．(2017·金华调研)在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为________．‎ 解析　过点G作EF∥AC交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB分别交AB，BC于点N，M，连接MN，∴四边形EFMN是平行四边形，∴＝，即EF＝MN＝2，＝＝，即FM＝EN＝2，∴截面的周长为2×4＝8.‎ 答案　8‎ 能力提升题组 ‎14．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ 18‎ A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②‎ 解析　如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.‎ 答案　D ‎15．(2018·金华一中模拟)正四面体的棱长为2，以其中心O为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成的曲线总长度为4π，则球O的半径为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 解析　设球O的半径为R，若正四面体一个面截球如图1所示，则小圆周长为π，所以小圆半径为，又球心到四面体的面的距离为1，故R＝＝；若正四面体一个面截球如图2所示，记D为AC的中点，由题意知＝.设小圆O1的半径为r，则∠AO1B＝，又∠BO‎1C＝，∠AO1D＝(∠BO‎1C－∠AO1B)＝－，O1D＝，所以cos＝　①.‎ 令f(r)＝cos－，则f′(r)＝－.‎ sin＋＞0，所以函数f(r)在(0，＋∞)上单调递增，且最多有一个零点，而f 18‎ ‎(2)＝0，所以方程①有唯一解2，从而R＝＝，所以球O的半径是或，故选D.‎ 答案　D ‎16．(2017·绍兴一中检测)已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．‎ 解析　如图，过C′作y′轴的平行线C′D′，与x′轴交于点D′.‎ 则C′D′＝＝a.‎ 又C′D′是原△ABC的高CD的直观图，所以CD＝a.‎ 故S△ABC＝AB·CD＝a2.‎ 答案　a2‎ ‎17．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．‎ 解析　由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD－A′B′C′D′.‎ 18‎ 故该四棱柱的体积V＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝.‎ 答案　 ‎18．(2017·宁波检测)正六棱柱ABCDEF－A1B‎1C1D1E‎1F1的底面边长为，侧棱长为1，则动点从A沿表面移动到E1时的最短路程是________；动点从A沿表面移动到D1时的最短路程为________．‎ 解析　侧面展开图如图(1)，(2)，∴从A沿表面到E1的最短路程为AE1＝＝＝3.从A沿表面到D1的最短路程为AD1＝＝ ‎＝.‎ ‎　　　‎ ‎ (1)　　　　　　　　　 (2)‎ 答案　3　 18‎