- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考数学平面向量与复数时复数更多资料关注微博高中学习资料库
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章 平面向量与复数第4课时 复数 考情分析 考点新知 ① 了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算. ② 理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算. 1. (课本改编题)复数z=+i的共轭复数为________. 答案:-i 解析:∵ z=+i,∴ z -=-i. 2. (课本改编题)已知z=(a-i)(1+i)(a∈R,i为虚数单位),若复数z在复平面内对应的点在实轴上,则a=________. 答案:1 解析:z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,∵ z在复平面内对应的点在实轴上,∴ a-1=0,从而a=1. 3. (课本改编题)已知i是虚数单位,则=________. 答案:-+i 解析:===-+i. 4. (课本改编题)设(1+2i)=3-4i(i为虚数单位),则|z|=________. 答案: 解析:由已知,|(1+2i)z -|=|3-4i|, 即|z -|=5,∴ |z|=|z -|=. 5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C分别对应复数3+3i,-2+i,-5i,则第四个顶点D对应的复数为________. 答案:5-3i 解析:对应复数为(-5i)-(-2+i)=2-6i,对应复数为zD-(3+3i),平行四边形ABCD中,=,则zD-(3+3i)=2-6i,即zD=5-3i. 1. 复数的概念 (1) 虚数单位i: i2=-1;i和实数在一起,服从实数的运算律. (2) 代数形式:a+bi(a,b∈R),其中a叫实部,b叫虚部. 2. 复数的分类 复数z=a+bi(a、b∈R)中, z是实数b=0,z是虚数b≠0, z是纯虚数a=0,b≠0. 3. a+bi与a-bi(a,b∈R)互为共轭复数. 4. 复数相等的条件 a+bi=c+di(a、b、c、d∈R) a=c且b=d. 特殊的,a+bi=0(a、b∈R) a=0且b=0. 5. 设复数z=a+bi(a,b∈R),z在复平面内对应点为Z,则的长度叫做复数z的模(或绝对值),即|z|=||=. 6. 运算法则 z1=a+bi,z2=c+di,(a、b、c、d∈R). (1) z1±z2=(a±c)+(b±d)i; (2) z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i; (3) =+i. [备课札记] 题型1 复数的概念 例1 已知复数z=+(m2-5m-6)i(m∈R),试求实数m分别取什么值时,z分别为: (1) 实数; (2) 虚数; (3) 纯虚数. 解:(1) 当z为实数时, 则有 所以 所以m=6,即m=6时,z为实数. (2) 当z为虚数时,则有m2-5m-6≠0且有意义,所以m≠-1且m≠6且m≠1.∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数. (3) 当z为纯虚数时,则有 所以故不存在实数m使z为纯虚数. 已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时. (1) z∈R; (2) z是虚数; (3) z是纯虚数. 解:(1) 由z∈R,得解得m=-3. (2) 由z是虚数,得m2+2m-3≠0,且m-1≠0, 解得m≠1且m≠-3. (3) 由z是纯虚数,得 解得m=0或m=-2. 题型2 复数相等的条件 例2 若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,求点P(a,b)到原点的距离. 解:由已知ai+2=b-i,∴ ∴ 点P(-1,2)到原点距离|OP|=. 设复数=a+bi(a、b∈R),则a+b=________. 答案:1 解析:由=-==i,得a=0,b=1,所以a+b=1. 题型3 复数代数形式的运算 例3 已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2. 解:(z1-2)(1+i)=1-iz1=2-i. 设z2=a+2i,a∈R, 则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵ z1·z2∈R,∴ a=4.∴ z2=4+2i. 设i是虚数单位,若z=+ai是实数,则实数a=________. 答案: 解析:z=+ai=+ai=+i∈R,所以a-=0,a=. 题型4 复数的几何意义 例4 已知O为坐标原点,向量,分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),若1+z2是实数. (1) 求实数a的值; (2) 求以,为邻边的平行四边形的面积. 解:(1) ∵ 1+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i=+(a2+2a-15)i是实数,∴ a2+2a-15=0. ∴ a=3,a=-5(舍). (2) 由(1)知,z1=+i,z2=-1+i,∴ =,=(-1,1),∴ ||=,||=,cos〈,〉===.∴ sin〈,〉==,∴ S=||||sin〈,〉=××=.∴ 平行四边形的面积为. 如图所示,平行四边形OABC,顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i,试求: (1) 、所表示的复数; (2) 对角线所表示的复数; (3) 求B点对应的复数. [审题视点]结合图形和已知点对应的复数,根据加减法的几何意义,即可求解. 解:(1) =-,所以所表示的复数为-3-2i. 因为=,所以所表示的复数为-3-2i. (2) =-,所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3) =+=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i. 1. (2013·江苏)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为________. 答案:5 解析:z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,|z|==5. 2. 若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+2的虚部为________. 答案:0 解析:因为z=1+i,所以=1-i,所以z2+2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0. 3. 设a、b∈R,a+bi=(i为虚数单位),则a+b=________. 答案:8 解析:由a+bi=,得a+bi===5+3i,所以a=5,b=3,a+b=8. 4. (2013·南通二模)设复数z满足|z|=|z-1|=1,则复数z的实部为________. 答案: 解析:设z=a+bi(a,b∈R).∵ 复数z满足|z|=|z-1|=1,∴ 解得a=.∴ 复数z的实部为. 1. (2013·重庆卷)已知复数z=(i是虚数单位),则|z|=________. 答案: 解析:z===2+i|z|=. 2. (2013·北京卷)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于________. 答案:第四象限 解析:(2-i)2=3-4i对应的点为(3,-4)位于第四象限. 3. (2013·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=________. 答案:-2 解析:由m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数可知m=-2. 4. m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i. (1) 是实数;(2) 是虚数;(3) 是纯虚数. 解:(1) 当即 时, ∴当m=5时,z是实数. (2) 当即时, ∴当m≠5且m≠-3时,z是虚数. (3) 当即时, ∴当m=3或m=-2时,z是纯虚数. 5. 设复数z满足4z+2z=3+i,ω=sinθ-icosθ(θ∈R).求z的值和|z-ω|的取值范围. 解:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,代入4z+2z=3+i,得4(a+bi)+2(a-bi)=3+i. ∴解得 ∴z=+i. |z-ω|= == =. ∵-1≤sin≤1,∴0≤2-2sin≤4. ∴0≤|z-ω|≤2. 1. 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质. 2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法,除法实际上是分母实数化的过程. 3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论. 请使用课时训练(B)第4课时(见活页).查看更多