优化指导2015高考数学总复习 命题及其关系充分条件与必要条件素能提升演练 理含解析
【优化指导】2015高考数学总复习 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课时跟踪检测 理（含解析）新人教版
1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：选D 将原命题的条件和结论调换位置可得D成立．
2．(2014·滨州模拟)若a，b是两个非零向量，则“|a＋b|＝|a－b|”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C |a＋b|＝|a－b|⇔|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2⇔a·b＝0⇔a⊥b.
3．(2014·吉林实验中学模拟)设a，b为实数，则“0
0，不能判断出01或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：选D x2<1的否定为：x2≥1；－10}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，
∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．
6．(2014·南昌模拟)下列说法中，不正确的是( )
A．点为函数f(x)＝tan的一个对称中心
B．设回归直线方程为＝2－2.5x，当变量x增加一个单位时，y大约减少2.5个单位
C．命题“在△ABC中，若sin A＝sin B，则△ABC为等腰三角形”的逆否命题为真命题
D．对于命题p：≥0，则¬p：<0
解析：选D 由y＝tan x的对称中心为(k∈Z)知A正确．由回归直线方程知B正确．在△ABC中，
若sin A＝sin B，则A＝B，故C正确．故选D.
7．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析：选C 命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.
8．(2014·湖北省重点中学联考)下列判断正确的是( )
A．若x，y是实数，则x2≠y2⇔x≠y或x≠－y
B．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数”
C．若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题
D．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，必有a>0且Δ≤0
解析：选C 对于实数x，y，易知x2≠y2⇔x≠y且x≠－y，故A不正确；“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题应是“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”，故B不正确；若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，则“非p且非q”是真命题，故C正确；若a＝b＝0，c＝1，则ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，但是不满足a>0且Δ≤0，故D不正确．故选C.
9．(2014·郑州外国语学校检测)下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：选D 若“x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，即A错误；若x2
－5x－6＝0，则x＝6或x＝－1，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，所以B错误；“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，所以C错误；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，所以“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题也为真命题，所以选D.
10．设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．(－∞，0]∪ D．(－∞，0)∪
解析：选A 由|4x－3|≤1，得≤x≤1，¬p为x<或x>1；
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，¬q为xa＋1.
若¬p是¬q的必要不充分条件，应有a≤且a＋1≥1，两者不能同时取等号，所以0≤a≤，故选A.
11．(2014·南通调研)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的______．(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)
解析：否命题 命题p的逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”；
命题p的否命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”；
命题p的逆否命题：“若a的平方等于0，则a不是正数”；
命题p的否定：“至少有一个正数的平方等于0”；
所以p是q的否命题．
12．(2014·阜宁中学调研)“log3M >log3N”是“M >N”成立的______条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)
解析：充分不必要 由log3M >log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以M >N；当M >N，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义，故不能推出log3M >log3N，所以log3M >log3N“是M >N”成立的充分不必要条件．
13．(2014·河北模拟)设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______．
解析： 设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}．解|4x－3|≤1，得≤x≤1，故A＝；
解x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，故B＝{x|a≤x≤a＋1}．
所以¬p所对应的集合为∁RA＝，¬q所对应的集合为∁RB＝{x|xa＋1}．
由¬p是¬q的必要不充分条件，知∁RB∁RA，所以解得0≤a≤.
故所求实数a的取值范围是.
14．下列说法：
①“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”；
②函数y＝sinsin的最小正周期是π；
③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；
④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x>0时的解析式是f(x)＝2x，则x<0时的解析式为f(x)＝－2－x.其中正确的说法是______．(写出所有正确结论的序号)
解析：①④ 对于①，“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”，因此①正确；对于②，注意到sin＝
cos，因此函数y＝sinsin＝sin·cos＝sin，则其最小正周期是＝，②不正确；对于③，注意到命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是“若函数f(x)在x＝x0处无极值，则f′(x0)≠0”，容易知该命题不正确，如取f(x)＝x3，当x0＝0时，③不正确；对于④，依题意知，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－2－x，因此④正确．综上所述，其中正确的说法是①、④.
1．已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题
D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题
解析：选D 函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数等价于f′(x)＝ex－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，而ex>1，故m≤1，所以命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．故选D.
2．已知集合A，B，全集U，给出下列四个命题：
(1)若A⊆B，则A∪B＝B；
(2)若A∪B＝B，则A∩B＝B；
(3)若a∈(A∩∁UB)，则a∈A；
(4)若a∈∁U(A∩B)，则a∈(A∪B)．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B (1)正确；(2)不正确，由A∪B＝B可得A⊆B，所以A∩B＝A；(3)正确；(4)不正确．综上(1)、(3)正确，故选B.
3．已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 依题意，由a⊥α， b⊂α，c⊂α，得a⊥b，a⊥c；反过来，由a⊥b，a⊥c不能得出a⊥α，因为直线b，c可能是平面α内的两条平行直线．综上所述，“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的充分不必要条件，选A.
4．“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )
A．－13
解析：选C “直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点”等价于<，也就是k∈(－1,3)．四个选项中只有(0,3)是(－1,3)的真子集，故充分不必要条件可以是0an＋1，于是an>an·q，当an>0时可得q<1；当an<0时可得q>1，故不满足必要性．故选D.
6．(2014·金陵中学调研)若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )
A．t≤－1 B．t>－1
C．t≥3 D．t>3
解析：选D P＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)3，选D.
7．下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
其中所有正确结论的序号为______．
解析：选①④ 由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．综上①、④正确．
8．(2014·济南质检)下列四个命题：
①命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a＝0，则ab≠0”；
②若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；
③命题“若01，∴a<，∴1＋a<＋1，
∴loga(1＋a)>loga，∴③错．故填②.
