高考真题——理科数学新课标II精校版含答案 2014高考

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高考真题——理科数学新课标II精校版含答案 2014高考

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)‎ 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合M={0,1,2},N=,则=( )‎ A. {1}‎ B. {2}‎ C. {0,1}‎ D. {1,2}‎ ‎2.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则( )‎ A. - 5‎ B. 5 ‎ C. - 4+ i D. - 4 - i ‎3.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab = ( )‎ A. 1‎ B. 2‎ C. 3‎ D. 5‎ ‎4.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC= ,则AC=( )‎ A. 5‎ B. ‎ C. 2‎ D. 1‎ ‎5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )‎ A. 0.8‎‎ B. ‎0.75 C. 0.6 D. 0.45‎ ‎6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示‎1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为‎3cm,高为‎6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.执行右图程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S= ( )‎ ‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7 ‎ ‎8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ‎ A. 0 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ ‎9.设x,y满足约束条件,则的最大值为( )‎ A. 10 B. ‎8 C. 3 D. 2‎ ‎10.设F为抛物线C:的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A‎1C1的中点,BC=CA=CC1,‎ 则BM与AN所成的角的余弦值为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二.填空题 ‎13.的展开式中,的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)‎ ‎14.函数的最大值为_________.‎ ‎15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是__________.‎ ‎16.设点M(,1),若在圆O:上存在点N,使得∠OMN=45°,则的取值范围是________.‎ ‎ ‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列满足=1,.‎ ‎(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;‎ ‎(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:‎ ‎,‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 设,分别是椭圆的左右焦点,M是C上一点且与x轴垂直,直线与C的另一个交点为N.‎ ‎(Ⅰ)若直线MN的斜率为,求C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2,且,求a,b.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数=‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)设,当时,,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)已知,估计ln2的近似值(精确到0.001)‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题号.‎ ‎22.(本小题满分10)选修4—1:几何证明选讲 如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:‎ ‎(Ⅰ)BE=EC;‎ ‎(Ⅱ)ADDE=2‎ ‎23. (本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为,.‎ ‎(Ⅰ)求C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ ‎24. (本小题满分10)选修4-5:不等式选讲 设函数=‎ ‎(Ⅰ)证明:2;‎ ‎(Ⅱ)若,求的取值范围.‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题 ‎(1)D (2)A (3)A (4)B (5)A (6)C ‎(7)D (8)D (9)B (10)D (11)C (12)C 二、填空题 ‎ (13) (14)1 (15) (16)‎ 三、解答题 ‎(17)解:‎ ‎(Ⅰ)由得 ‎ 又,所以是首项为,公比为3的等比数列。‎ ‎,因此的通项公式为。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 因为当时,,所以 于是 ‎ 所以 .‎ ‎(18) 解:‎ ‎(Ⅰ)连结BD交AC于点O,连结EO.‎ 因为ABCD为矩形,所以Q为BD的终点.‎ 又E为PD的终点,所以EO//PB.‎ EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC.‎ ‎(Ⅱ)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直。‎ 如图,以A为坐标原点,的方向为轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系A-,则 设则 设为平面ACE的法向量,‎ 则 即 ‎ 可取 又为平面DAE的法向量。‎ 由题设,即 ‎,解得 ‎ ‎ 因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为。三棱锥E-ACD的体积 ‎ ‎ ‎(19)解:‎ ‎ (Ⅰ)由所给数据计算得 ‎ ‎ ‎ =9+4+1+0+1+4+9=28‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =(3)×(1.4)+(2)×(1)+(1)×(0.7)+0×0.1+1×0.5‎ ‎ +2×0.9+3×1.6‎ ‎ =14.‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ 所求回归方程为 ‎ .‎ ‎(Ⅱ) 由(I)知,b=0.5﹥0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元。‎ ‎ 将2015年的年份代号t=9带入(I)中的回归方程,得 ‎ ‎ 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.‎ ‎(20)‎ 解:(I)根据及题设知 ‎ 将代入,解得(舍去)‎ ‎ 故C的离心率为.‎ ‎ (Ⅱ)由题意,原点为的中点,∥轴,所以直线与轴的交点 是线段的中点,故,即 ‎ ①‎ 由得。‎ 设,由题意知,则 ‎,即 代入C的方程,得。‎ 将①及代入②得 解得,‎ 故.‎ ‎(21)解:(I)=,等号仅当时成立。‎ 所以在 ‎(Ⅱ)=‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ (i)当时,≥0,等号仅当时成立,所以在单调递增。而=0,所以对任意; ‎ ‎(ii)当时,若满足,即时 ‎<0.而=0,因此当时,<0.‎ 综上,b的最大值为2.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)知,.‎ ‎ 当b=2时,>0;>>0.6928;‎ ‎ 当时,,‎ ‎ =<0,‎ ‎ <<0.6934‎ ‎ 所以的近似值为0.693.‎ ‎(22)解:‎ (I) 连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.‎ 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA ‎∠PAD=∠BAD+∠PAB ‎∠DCA=∠PAB,‎ ‎ 所以∠DAC=∠BAD,从而。‎ 因此BE=EC.‎ ‎ (Ⅱ)由切割线定理得。‎ ‎ 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB。‎ 由相交弦定理得,‎ 所以.‎ ‎(23)解:(I)C的普通方程为.‎ 可得C的参数方程为 ‎(t为参数,)‎ ‎ (Ⅱ)设D.由(I)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆。‎ 因为C在点D处的切线与t垂直,所以直线GD与t的斜率相同,‎ ‎ .‎ ‎ 故D的直角坐标为,即。‎ ‎(24)解:‎ ‎(I)由,有.‎ ‎ 所以≥2.‎ ‎(Ⅱ)‎ 当时a>3时, ,由<5得3<a<。‎ 当0<a≤3时,=,由<5得<a≤3.‎ ‎ 综上,a的取值范围是(,).‎
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