备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题48 圆锥曲线的几何性质

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题48 圆锥曲线的几何性质

专题48 圆锥曲线的几何性质 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线的几何性质有关问题的解法与技巧，离心率问题在下一专题讲述.‎ ‎（一）椭圆：‎ ‎1、定义和标准方程：‎ ‎（1）平面上到两个定点的距离和为定值（定值大于）的点的轨迹称为椭圆，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距 ‎（2）标准方程：‎ ‎①焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中 ‎②焦点在轴上的椭圆：设椭圆上一点，，设距离和，则椭圆的标准方程为：，其中 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 ‎2、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：‎ 21‎ ‎（1）：与长轴的顶点有关：，称为长轴长 ‎ ：与短轴的顶点有关：，称为短轴长 ‎ ：与焦点有关：，称为焦距 ‎（2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称 ‎（3）椭圆上点的坐标范围：设，则 ‎（4）通径：焦点弦长的最小值 ‎① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 ‎② 过焦点且与长轴垂直的弦 说明：假设过，且与长轴垂直，则，所以，可得.则 ‎（5）离心率：，因为，所以 ‎ ‎（6）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径 ‎① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）‎ ‎② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为 ‎（7）焦点三角形面积：（其中）‎ 证明：‎ 且 ‎ ‎ 21‎ 因为，所以，由此得到的推论：‎ ‎① 的大小与之间可相互求出 ‎② 的最大值：最大最大最大为短轴顶点 ‎（二）双曲线：‎ ‎1、定义：平面上到两个定点距离差的绝对值为一个常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，其中称为椭圆的焦点，称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支 ‎2、标准方程：‎ ‎① 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中 ‎② 焦点在轴：设双曲线上一点，，设距离差的绝对值，则双曲线标准方程为：，其中 焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数 ‎ ‎2、双曲线的性质：以焦点在轴的双曲线为例：‎ ‎（1）：与实轴的顶点有关：，称为实轴长 ‎ ：与虚轴的顶点有关：，称为虚轴长 ‎ ：与焦点有关：，称为焦距 ‎（2）对称性：双曲线关于轴，轴对称，且关于原点中心对称 ‎（3）双曲线上点坐标的范围：设，则有或， ‎ ‎（4）离心率：，因为 ，所以 ‎ 21‎ ‎（5）渐近线：当或时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线.‎ ‎① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出关于的直线即可.例如在中，求渐近线即解：，变形为，所以即为双曲线的渐近线 ‎② 渐近线的几何特点：直线所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线 ‎③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现的关系.‎ ‎（6）通径：‎ ‎① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段 ‎②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴， ‎ ‎（7）焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则 ‎① （可记为“左加右减”）‎ ‎② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为 ‎ ‎（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）‎ ‎（三）抛物线：‎ ‎1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线 ‎2、抛物线的标准方程及焦点位置：‎ ‎（1）焦点在轴正半轴：，焦点坐标 ‎（2）焦点在轴负半轴：，焦点坐标 ‎（3）焦点在轴正半轴：，焦点坐标 ‎（4）焦点在轴负半轴：，焦点坐标 21‎ 小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：，则焦点在轴上，且坐标为 ‎3、焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则 ‎4、焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 则双曲线 的方程为 .‎ 故选B. ‎ 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 21‎ ‎，再由条件求出λ的值即可.‎ 例2.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ 点睛：1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.‎ ‎2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．‎ 例3.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】先从常系数方程入手，抛物线的焦点为，即双曲线中的，所以，从而双曲线方程为：，其渐近线方程：，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择，右焦点，所以 ‎ 答案：A 21‎ 点睛：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素.‎ 例4.【2019届湖南省湘潭市四模】已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 所以 ‎ 例5.【2019届重庆市第三次抽测】直线过抛物线的焦点F且与抛物线交于A,B两点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：是焦半径，故可用焦半径公式把转化为，联立直线方程和抛物线方程后再利用韦达定理可求此值.‎ 21‎ 点睛：圆锥曲线中的定值问题，需要把目标代数式转化为关于（或）的代数式（为直线与圆锥曲线的两个交点），通过联立方程组消元后利用韦达定理求定值.‎ 例6.【2019届天津市部分区质量调查（二）】设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．‎ 详解：∵为圆上的点， ‎ 21‎ ‎ 例7.【2019届河南省郑州市第三次预测】已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．‎ 详解：如图，由题意设，则，‎ ‎∴，‎ 21‎ 故选C．‎ 例8.【2019届河北省唐山市三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：可设点的坐标为，由圆方程得圆心坐标，求出的最小值，根据圆的几何性质即可得到的最小值.‎ 详解：设点的坐标为，由圆的方程可得圆心坐标，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 是圆上任意一点，‎ 的最小值为，故选D.‎ 例9.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】5‎ 21‎ 点睛：该题考查的是抛物线上的动点到抛物线内一个定点到焦点的距离和的最小值问题，在解题的过程中，利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离，结合图形，可以断定当三点共线时满足条件，最小值为定点到准线的距离，利用公式求得结果.‎ 例10.【2019届山东省威海市二模】抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.‎ 21‎ ‎∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，‎ ‎∴θ≤，‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019届山西省大同市与阳泉市第二次监测】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 21‎ 由直线与圆相交的弦长为，‎ 可得，解得，‎ 则椭圆方程为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎2．【2019届江西省南昌市二模】已知双曲线的两焦点分别是，双曲线在第一象限部分有一点，满足，若圆与三边都相切，则圆的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A 21‎ ‎3．【2019届河南省洛阳市三统】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）‎ A. B. 3 C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，之后利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，之后应用点到直线的距离公式求得结果.‎ 详解：因为抛物线的焦点坐标为，‎ 依题意，，所以，‎ 所以双曲线的方程为，‎ 所以其渐近线方程为，‎ 所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，故选A.‎ ‎4．【2019届山西省大同市与阳泉市第二次监测】已知双曲线 的离心率为，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则实数的值为（ ）‎ A. 3 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值．‎ 21‎ 详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选：D．‎ ‎5．【2019届重庆市三诊】已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A 所以，‎ 从而求得四边形的面积为.‎ 点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN和PQ关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点M的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.‎ ‎6．【2019届重庆市巴蜀中学月考九】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，若中点的坐标为，则原点到直线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 21‎ ‎，故选D.‎ ‎7．【2019届四川省冲刺演练（一）】为椭圆：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于，两点，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用椭圆的定义以及已知条件转化求解即可 详解：∵|PF1|+|PF2|=2a=2，|PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=|QF1|=2．‎ 动点Q的轨迹为Ω，为以F1为圆心半径为的圆，‎ ‎∵|BF1|=|BF2|=．|F1F2|=2，∴BF1⊥BF2，‎ 则|MN|=2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎8.如图，抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ 21‎ ‎【解析】分析：设抛物线的焦点为F，易得：|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理可知|CD|=x2，从而求出•．‎ 同理|CD|=x2，‎ ‎∴•=||•||•cos＜＞=x1x2=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎9．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作，为垂足，如果直线的斜率为，那么________________‎ ‎【答案】.‎ 21‎ 由可得A点坐标为 ‎∵PA⊥l，A为垂足，‎ ‎∴P点纵坐标为,代入抛物线方程,得P点坐标为(6,)，‎ ‎∴.‎ 故答案为8.‎ ‎10．【2019届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．‎ 详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．‎ 设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点．‎ 21‎ 即，解得．‎ ‎11．【2019届湖南省长郡中学一模】已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为__________．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】分析：可由得出，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此的边上的高易得.‎ 详解：不妨设抛物线方程为，，，∴准线方程为，到直线的距离为6，∴.‎ 故答案为36.‎ 点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为.‎ ‎12.【2019届广东省湛江市二模】平面直角坐标系 中，椭圆（ ）的离心率，，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在 21‎ 轴的上方交椭圆于点.则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意首先设出椭圆方程，结合几何关系确定直线的斜率，然后由弦长公式求得弦长，最后求解的值即可.‎ 详解：如图所示，设，‎ 即，‎ 由弦长公式可得：，‎ 在中，，‎ 故.‎ 21‎ 21‎