2020-2021学年高考数学（理）考点：等比数列及其前n项和

2020-2021学年高考数学（理）考点：等比数列及其前n项和

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：等比数列及其前n项和 ‎1．等比数列的有关概念 ‎(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．‎ ‎(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ ‎2．等比数列的有关公式 ‎(1)通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎(2)前n项和公式：‎ Sn＝ ‎3．等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎4．在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．‎ 概念方法微思考 ‎1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？‎ 提示　仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．‎ ‎2．任意两个实数都有等比中项吗？‎ 提示　不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．‎ ‎3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？‎ 提示　必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.‎ ‎1．（2020•新课标Ⅰ）设是等比数列，且，，则　　‎ A．12 B．24 C．30 D．32‎ ‎【答案】D ‎【解析】是等比数列，且，‎ 则，即，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎2．（2020•新课标Ⅱ）记为等比数列的前项和．若，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎3．（2019•全国）　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】数列3，，，，是首项为3，公比为的等比数列；‎ 且是第项；‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎4．（2019•浙江）设，，数列满足，，，则　　‎ A．当时， B．当时， ‎ C．当时， D．当时，‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于，令，得，‎ 取，，‎ 当时，，故错误；‎ 对于，令，得或，‎ 取，，，，‎ 当时，，故错误；‎ 对于，令，得，‎ 取，，，，‎ 当时，，故错误；‎ 对于，，，‎ ‎，‎ ‎，递增，‎ 当时，，‎ ‎，，．故正确．‎ 故选．‎ ‎5．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则　　‎ A．16 B．8 C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为，‎ 则由前4项和为15，且，有 ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•江苏）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．已知数列的前项和，则的值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为的前项和，‎ 因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，‎ 所以的通项公式，所以其前项和，‎ 当中，当公比时，其前项和，‎ 所以的前项和，显然没有出 现，所以，‎ 则的前项和为，‎ 所以，‎ 由两边对应项相等可得：解得：，，，，‎ 所以，‎ 故答案为：4．‎ ‎7．（2020•新课标Ⅰ）数列满足，前16项和为540，则__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由，‎ 当为奇数时，有，‎ 可得，‎ ‎，‎ 累加可得 ‎；‎ 当为偶数时，，‎ 可得，，，．‎ 可得．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，即．‎ 故答案为：7．‎ ‎8．（2019•上海）已知数列前项和为，且满足，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，①‎ 得，即，‎ 且，②‎ ‎①②得：．‎ 数列是等比数列，且．‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎9．（2019•新课标Ⅰ）设为等比数列的前项和．若，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】等比数列的前项和，，，‎ ‎，，‎ 整理可得，，‎ 解可得，，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎10．（2019•新课标Ⅰ）记为等比数列的前项和．若，，则　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在等比数列中，由，得，‎ 即，，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎11．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质：‎ ‎①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；‎ ‎②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．‎ ‎（Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列．‎ ‎【解析】（Ⅰ）不满足，理由：，不存在一项使得．‎ ‎（Ⅱ）数列同时满足性质①和性质②，‎ 理由：对于任意的和，满足，因为，且，所以，则必存在，此时，且满足，性质①成立，‎ 对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，‎ 所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质②成立．‎ ‎（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，‎ 反证法：假设这个递增数列先负后正，‎ 那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，‎ 如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时 与前提矛盾，‎ 如有两项与 同时取得绝对值最小值，那么必有，‎ 此时，与前提条件矛盾，‎ 所以数列必然恒正或恒负，‎ 在数列恒正的情况下，由②知，存在，且，‎ 因为是递增数列，，使得，‎ 即，所以，此时，，成等比数列，‎ 数学归纳法：‎ ‎（1）已证时，满足是等比数列，公比，‎ ‎（2）假设时，也满足是等比数列，公比，‎ 那么由①知等于数列的某一项，证明这一项为即可，‎ 反证法：‎ 假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，‎ 那么，由等比数列得，‎ 由性质②得，同时，所以，‎ 所以，分别是等比数列中两项，即，，‎ 原式变为，‎ 所以，又因为，，，不存在这组解，所以矛盾，‎ 所以知，为等比数列，‎ 由数学归纳法知，是等比数列得证，‎ 同理，数列恒负，也是等比数列．‎ ‎12．（2020•天津）已知为等差数列，为等比数列，，，．‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记的前项和为，求证：；‎ ‎（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 由，，则，可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）证明：法一：由（Ⅰ）可得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎；‎ 法二：数列为等差数列，且，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ），当为奇数时，，‎ 当为偶数时，，‎ 对任意的正整数，有，‎ 和，①，‎ 由①可得，②，‎ ‎①②得，‎ ‎，‎ 因此．‎ 数列的前项和．‎ ‎13．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，‎ 则，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎14．（2020•新课标Ⅰ）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．‎ ‎（1）求的公比；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）设是公比不为1的等比数列，‎ 为，的等差中项，可得，‎ 即，‎ 即为，‎ 解得舍去），‎ 所以的公比为；‎ ‎（2）若，则，‎ ‎，‎ 则数列的前项和为，‎ ‎，‎ 两式相减可得 ‎，‎ 化简可得，‎ 所以数列的前项和为．‎ ‎15．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ 解得或（舍去），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）记为在区间，中的项的个数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，，‎ 可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，‎ 由，‎ 可知，．‎ 数列的前100项和．‎ ‎16．（2020•新课标Ⅲ）设等比数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记为数列的前项和．若，求．‎ ‎【解析】（1）设公比为，则由，‎ 可得，，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）有，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 解得，或（舍去），‎ 所以．‎ ‎17．（2020•浙江）已知数列，，满足，，，．‎ ‎（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，，，‎ ‎，，‎ 整理，得，‎ 解得（舍去），或，‎ ‎，‎ 数列是以1为首项，4为公比的等比数列，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 各项相加，可得 ‎．‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意，由，可得 ‎，‎ 两边同时乘以，可得 ‎，‎ ‎，‎ 数列是一个常数列，且此常数为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故得证．‎ ‎18．（2020•上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．‎ ‎（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．‎ ‎【解析】（1）数列为公差为的等差数列，，，‎ 可得，解得，‎ 则；‎ ‎（2）数列为公比为的等比数列，，，‎ 可得，即，‎ 则，，‎ ‎，即为，‎ 即，可得，即的最小值为7．‎ ‎19．（2019•全国）数列中，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求满足的的最大值．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎，又，‎ 数列是以3为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 的最大值为9．‎ ‎20．（2019•浙江）设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，证明：，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，‎ 由题意得，‎ 解得，，‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 数列满足：对每个，，，成等比数列．‎ ‎，‎ 解得，‎ 解得，．‎ ‎（Ⅱ）证明：，，‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，不等式成立；‎ ‎②假设，时不等式成立，即，‎ 则当时，‎ ‎，‎ 即时，不等式也成立．‎ 由①②得，．‎ ‎21．（2019•新课标Ⅱ）已知数列和满足，，，．‎ ‎（1）证明：是等比数列，是等差数列；‎ ‎（2）求和的通项公式．‎ ‎【解析】（1）证明：，；‎ ‎，；‎ 即，；‎ 又，，‎ 是首项为1，公比为的等比数列，‎ 是首项为1，公差为2的等差数列；‎ ‎（2）由（1）可得：，‎ ‎；‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎22．（2019•新课标Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为，‎ 由，，得，‎ 即，解得（舍或．‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ 数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ 则数列的前项和．‎ ‎23．（2019•上海）已知数列，，前项和为．‎ ‎（1）若为等差数列，且，求；‎ ‎（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎；‎ ‎（2），存在，，‎ 存在，且，，‎ ‎，，或，‎ 公比的取值范围为，，．‎ ‎1．（2020•兴庆区校级四模）等比数列中，，则与的等比中项是　　‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎．‎ 又．‎ 与的等比中项是．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•德阳模拟）已知等比数列中，，，则的值为　　‎ A．30 B．25 C．15 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，等比数列中，设其公比为，‎ 若，，则，则，‎ 则；‎ 故选．‎ ‎3．（2020•南岗区校级模拟）已知数列是等比数列，，，则　　‎ A． B．48 C．192 D．768‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为，‎ 由于，可得：，①‎ 由于，可得：，可得，‎ 代入①可得：，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•九龙坡区模拟）已知实数，，，，成等比数列，则　　‎ A． B．8 C． D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，实数，，，，成等比数列，‎ 则有，则，‎ 又由，则，‎ 则；‎ 故选．‎ ‎5．（2020•南岗区校级四模）在等比数列中，，，则　　‎ A．16 B． C．或 D．16或1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，设等比数列的公比为，‎ 若，，则有，解可得或，‎ 若，则，‎ 若，则，‎ 故或1；‎ 故选．‎ ‎6．（2020•鼓楼区校级模拟）已知正项等比数列的首项和公比相等，数列满足，且，则　　‎ A．4 B．32 C．108 D．256‎ ‎【答案】D ‎【解析】正项等比数列的首项和公比相等，‎ 故；‎ 由题可得：；‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎7．（2020•碑林区校级模拟）在等比数列中，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在等比数列中，，，‎ ‎，解得，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•榆林四模）已知数列为等比数列，若，，则　　‎ A． B．25 C． D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为，，，‎ ‎，解得．‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•香坊区校级一模）设为正项递增等比数列的前项和，且，，则的值为　　‎ A．63 B．64 C．127 D．128‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，正项递增等比数列中，，即，则，‎ 又由，则，解可得或，‎ 又由数列为正项递增等比数列，则；‎ 又由，则，‎ 则；‎ 故选．‎ ‎10．（2020•安徽模拟）等差数列的首项为5．公差不等于零．若，，成等比数列，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列的首项为5，公差不等于零，‎ 若，，成等比数列，则，‎ 即为，‎ 解得，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•道里区校级模拟）设公比为3的等比数列的前项和为，若，则　　‎ A．3 B．9 C．27 D．81‎ ‎【答案】C ‎【解析】公比为3的等比数列的前项和为，，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎12．（2020•靖远县模拟）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是　　‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在等差数列中，由，得，即，‎ ‎，‎ 在等比数列中，由，得，即，‎ ‎．‎ 则．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•道里区校级模拟）设公比为3的等比数列前项和为，且，则　　‎ A．3 B．9 C．27 D．81‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，等比数列公比为3，且，即，‎ 则；‎ 故选．‎ ‎14．（2020•永康市模拟）已知数列满足，，，则数列的前10项和为　　‎ A．48 B．49 C．50 D．61‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，，当时，，‎ 可得，，，，，‎ ‎，，，‎ 则 ‎．‎ 故选．‎ ‎15．（2020•全国四模）在等比数列中，，，则数列前7项的和　　‎ A．253 B．254 C．255 D．256‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质可知，，‎ 故，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎16．（2020•吉林四模）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，则 ‎．‎ 故选．‎ ‎17．（2020•吉林模拟）已知等比数列，，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为，则，‎ 解得，所以．‎ ‎（2）数列是首项为，公差为的等差数列，所以，‎ 得到，，‎ 数列的前项和．‎ ‎18．（2020•武汉模拟）已知等比数列是递增的数列，且前项和为，，又，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求．‎ ‎【解析】（1）设公比为的等比数列是递增的数列，且前项和为，，又，，成等差数列．‎ 所以，解得，‎ 由于数列是递增的数列，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 当时，，‎ 所以．‎ 当时，．‎ 故．‎ ‎19．（2020•道里区校级一模）已知数列的前项和为，，且，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式与前项和．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ 又，‎ 数列是首项、公比均为的等比数列，且；‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，‎ 两式相减得：，‎ ‎．‎ ‎20．（2020•镜湖区校级模拟）已知正项等比数列的前项和为，且满足关于的不等式的解集为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为．‎ 因为关于的不等式的解集为，‎ 所以，‎ 又易知，得，‎ 所以，解得或（舍．‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由（1）可得，．‎ 因为，所以，‎ 所以数列的前项和 ‎．‎ ‎21．（2020•东湖区校级三模）已知数列，满足，对任意均有，，‎ ‎（1）证明：数列和数列均为等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）证明：由，可得，，‎ 对任意均有，，‎ 可得，，‎ 则数列是首项和公比均为2的等比数列；‎ 数列为首项为1，公比为2的等比数列；‎ ‎（2），‎ 可得，‎ ‎，‎ 上面两式相减可得 ‎，‎ 化简可得．‎ ‎22．（2020•天津二模）已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求；‎ ‎（3）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）等差数列的公差设为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以，；‎ 对数列，当时，；‎ 当时，，‎ 上式对也成立．‎ 所以，；‎ ‎（2），‎ 所以．‎ ‎（3）．‎ 因为，所以，‎ 而，‎ 设数列的前项和为，数列的前项和为，‎ 则，‎ ‎，‎ 上面两式相减可得 ‎，‎ 化简可得．‎ 当为偶数时，‎ ‎；‎ 当为奇数时，；‎ 综上可得．‎ 所以数列的前项和为．‎ ‎23．（2020•唐山二模）已知等比数列的各项均为正，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为，‎ 依题意有，（3分）‎ 两式相比，整理得，解得或．（5分）‎ 因为的各项均为正，所以，，‎ 所以．（6分）‎ ‎（2），，（8分）‎ 所以．（12分）‎ ‎24．（2020•内江三模）已知数列是等差数列，且满足，是与的等比中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，由题设可得：‎ ‎，解得：，‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）知：，．‎ ‎①，‎ ‎②，‎ 由①②可得：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎25．（2020•运城模拟）已知数列满足，，前项和为．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 两式相减得，所以，‎ 所以数列是等差数列，中令，得，又，‎ 所以数列的公差，，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ 所以 ‎．‎ ‎26．（2020•梅河口市校级模拟）已知正项数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）正项数列的前项和为，且．①‎ 当时，，解得．‎ 当时，②，‎ ‎①②得，‎ 由于，‎ 所以（常数）．‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ 所以．‎ ‎（2）数列满足．‎ 所以．‎ ‎27．（2020•武汉模拟）若等比数列的前项和为，满足，．‎ ‎（1）求数列的首项和公比；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1），．显然公比，‎ ‎，解可得，，‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎，即，‎ 解可得，．‎ ‎28．（2020•南京模拟）设首项为的正项数列的前项和为，为非零常数，已知对任意正整数，，总成立．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）若不等的正整数，，成等差数列，试比较与的大小；‎ ‎（Ⅲ）若不等的正整数，，成等比数列，试比较与的大小．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为对任意正整数，，总成立，‎ 令，得，则 令，得（1），从而（2），‎ ‎（2）（1）得，‎ 综上得，所以数列是等比数列 ‎（Ⅱ）正整数，，成等差数列，‎ 则，‎ 所以，‎ 则 ‎①当时，‎ ‎②当时，‎ ‎③当时，‎ ‎（Ⅲ）正整数，，成等比数列，则，则，‎ 所以，‎ ‎①当，即时，‎ ‎②当，即时，‎ ‎③当，即时，．‎ ‎29．（2019•安徽二模）已知等比数列，公比，，5为，的等差中项 ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）若，且，求的值 ‎【解析】（1）等比数列，公比，，5为，的等差中项，‎ ‎，解得，，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ 令，‎ 则，‎ ‎，‎ 相减，得：，‎ 解得．‎ ‎30．（2019•怀柔区一模）设是首项为1，公比为3的等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式及前项和；‎ ‎（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，，求．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可得，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎31．（2019•广西二模）已知数列中，，，．‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ ‎，‎ 数列是以2为公比的等比数列，‎ ‎（2）由（1）知，数列是等比数列，且，首项为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 数列的前项和．‎ ‎32．（2018•邯郸二模）已知数列的前项和为，且满足，2，，．‎ ‎（1）求证：为等比数列；‎ ‎（2）数列中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】（1），时，可得：，‎ 化为：，，‎ 时，，，‎ 为等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎（2）解：由（1）可得：，可得．‎ 可知：数列单调递增．‎ 假设数列中存在不同的三项，，，，，，，．‎ 适当排列顺序后构成一个等差数列，必然是，，是等差数列．‎ ‎，‎ ‎，‎ 化为：．‎ 而左边为偶数，右边为奇数．‎ 因此不成立，故假设不成立．‎ 因此数列中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列．‎ ‎33．（2018•鄂伦春自治旗二模）设为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）证明：为等比数列；‎ ‎（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？‎ ‎【解析】（1），，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 是首项为2公比为2的等比数列．‎ ‎（2）解：由（1）知，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 即，，成等差数列．‎ ‎34．（2018•广西二模）已知公差不为0的等差数列的前项和，，，成等差数列，且、，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求及此等比数列的公比．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为．‎ ‎，，成等差数列，且、，成等比数列，‎ ‎，，‎ 即，，．‎ 可得，．‎ ‎．‎ ‎（2）由（1）可得：，，．‎ ‎，，成等比数列，，，‎ 化为：，解得．此等比数列的公比．‎ ‎35．（2018•亭湖区校级模拟）已知数列中，．‎ ‎（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数．‎ ‎【解析】（1）设，‎ 因为分 若数列是等比数列，则必须（常数），‎ 即，即分 此时，‎ 所以存在实数，使数列是等比数列分 ‎（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，‎ 故，即分 由得，分 所以，‎ 分 显然，当时，单调递减，‎ 又当时，，当时，，所以当时，；‎ ‎．‎ 同理，当且仅当时，，‎ 综上，满足满足的所有正整数为1和分 ‎36．（2017•双流县校级一模）已知数列的前项和满足．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）设函数，求．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以， ‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，所以． ‎ 所以数列为首项为，公比为的等比数列．‎ ‎（2）因为，‎ 所以 因为，‎ 所以．‎ ‎37．（2017•淮安二模）设数列的前项和为，且满足：‎ ‎①；‎ ‎②，其中，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）数列能否是等比数列？请说明理由；‎ ‎（3）求证：当时，数列是等差数列．‎ ‎【解析】（1）时，，其中，，且．又．‎ ‎，解得．‎ ‎（2）设，，，，‎ 化为：，．联立解得，（不合题意），舍去，因此数列不是等比数列．‎ ‎（3）证明：时，，，，．‎ 化为：，，．假设数列的前项成等差数列，公差为．‎ 则，化为，‎ 因此第项也满足等差数列的通项公式，‎ 综上可得：数列成等差数列．‎ ‎38．（2017•包头一模）已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）设，证明数列为等比数列，并求通项公式．‎ ‎【解析】（1）数列的前项和为，且．‎ 时，由，解得，‎ 时，由，得，‎ 时，由，得．‎ ‎（2），，‎ 两式相减，得，‎ 把及，代入式，‎ 得，，且，‎ 数列是以6为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎39．（2016•湖北校级三模）已知数列的前项和，，，数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正实数，使得为等比数列？并说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得到，‎ ‎，‎ ‎，‎ 数列为等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）由题设，，‎ 两式相除可得，‎ 即和都是以4为公比的等比数列．‎ 因为，‎ 所以，由及，可得，‎ 又，所以．‎ 所以，‎ 即，则，‎ 因此存在，使得数列为等比数列．‎