高考数学广东卷文科试题详细解析试卷分析

高考数学广东卷文科试题详细解析试卷分析

2013 广东文 普宁二中 杜林生 整理发布，仅供参考 1． 2{ | 2 0, }S x x x x R    ， 2{ | 2 0, }T x x x x R    ，则 S T  A．{0} B．{0,2} C．{ 2,0} D．{ 2,0,2} 2．函数 lg( 1)( ) 1 xf x x   的定义域是 A． ( 1, )  B．[ 1, )  C． ( 1,1) (1, )  D．[ 1,1) (1, )  3．若 ( ) 3 4i x yi i   ， ,x y R ，则复数 x yi 的模是 A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知 5 1sin( )2 5    ，那么 cos  A． 2 5  B． 1 5  C． 1 5 D． 2 5 5．执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是 A．1 B．2 C．4 D．7 6．某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的体积是 A． 1 6 B． 1 3 C． 2 3 D．1 7．垂直于直线 1y x  且与圆 2 2 1x y  相切于第一象限的直线方程是 A． 2 0x y   B． 1 0x y   C． 1 0x y   D． 2 0x y   8．设l 为直线， ,  是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若 //l  ， //l  ，则 //  B．若 l  ，l  ，则 //  C．若 l  ， //l  ，则 //  D．若  ， //l  ，则l  9．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 (1,0)F ，离心率等于 2 1 ，则 C 的方程是 A． 143 22  yx B． 1 34 22  yx C． 124 22  yx D． 134 22  yx 10．设  a 是已知的平面向量且  0   a ，关于向量  a 的分解，有如下命题，这四个命题中的向量  b ， c 和  a 在 同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是： ①给定向量  b ，总存在向量  c ，使     a b c ； ②给定向量  b 和  c ，总存在实数  和  ，使      a b c ； ③给定单位向量  b 和正数  ，总存在单位向量  c 和实数  ，使      a b c ； ④给定正数  和  ，总存在单位向量  b 和单位向量  c ，使      a b c ； A．1 B．2 C．3 D．4 11．设数列{ }na 是首项为1，公比为 2 的等比数列，则 1 2 3 4| | | |a a a a    12．若曲线 2 lny ax x  在点 (1, )a 处的切线平行于 x 轴，则 a  ． 13．已知变量 ,x y 满足约束条件       1 11 03 y x yx ，则 z x y  的最大值是 ． 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos  ．以极点为原点，极轴为 x 轴的 正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ． 15 ．（ 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ） 如 图 3 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， 3,AB  3BC  ， BE AC ，垂足为 E ，则 ED  ． 16．（12 分） ( ) 2 cos ,12f x x x R      ． (1) 求 3f      的值； (2) 若 3 3cos , ,25 2        ，求 6f     ． 17．（12 分）从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数（个） 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95) 的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85) 和[95,100) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在[80,85) 的有几个？ (3) 在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85) 和[95,100) 中各有 1 个的概率． 18．（14 分）如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， ,D E 分别是 ,AB AC 边上的点， AD AE ， F 是 BC 的中点， AF 与 DE 交于点G ，将 ABF 沿 AF 折起，得到如图 5 所示的三棱锥 A BCF ，其 中 2 2BC  ． (1) 证明： DE //平面 BCF ； (2) 证明：CF  平面 ABF ； (3) 当 2 3AD  时，求三棱锥 F DEG 的体积 F DEGV  ． 19．（14 分）设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 14 4 1, ,n nS a n n N      且 2 5 14, ,a a a 构成等比数列． (1) 证明： 2 14 5a a  ； (2) 求数列 na 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 n ，有 1 2 2 3 1 1 1 1 1 2n na a a a a a      ． 20．（14 分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点   0, 0F c c  到直线 : 2 0l x y   的距离为 3 2 2 ． 设 P 为直线l 上的点，过点 P 作抛物线C 的两条切线 ,PA PB ，其中 ,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程； (2) 当点  0 0,P x y 为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程； (3) 当点 P 在直线l 上移动时，求 AF BF 的最小值． 21．（14 分）设函数 xkxxxf  23)(  Rk  ． (1) 当 1k 时,求函数 )(xf 的单调区间； (2) 当 0k 时,求函数 )(xf 在 kk , 上的最小值 m 和最大值 M ． 2013 广东文参考答案 1A 2C 3D 4C 5C 6B 7A 8B 9D 10C 6B 解：由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 2，则 1 1 1= 1 1 2=3 2 3V     7A 解：圆心到直线的距离等于 1r  ，排除 B、C；相切于第一象限排除 D，选 A.直接法可设所求的直线 方程为：  0y x k k    ，再利用圆心到直线的距离等于 1r  ，求得 2k  . 10B 解：考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则.利用向量加法的三角形法则，易的①是对的； 利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以 a 的终点作长度为  的圆，这个圆必须和向量 b 有交点， 这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须 = +    b c a ，所以④是假命题. 11. 15 12. 1 2 考查切线方程、方程的思想.依题意 ' ' 1 1 12 , 2 1 0, 2xy ax y a ax        13. 5 画出可行域如图，最优解为 1,4 14 解： 1 cos ( )sin 为参数      x y ，本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清 楚.先化成直角坐标方程 2 21 1x y   ，再化成参数方程 15 解： 21 2 由 3,AB  3BC  ，可知 60BAC   ，从而 3 , 302AE CAD    ， 2 2 212 cos30 2DE AE AD AE AD      . 16 解：(1) 2 cos 2 cos 13 3 12 4f                       （2） 3 3cos , ,25 2        ， 2 4sin 1 cos 5       ， 1= 2 cos 2 cos cos sin sin6 4 4 4 5f                             ． 【注意】两角差的余弦公式不要记错了. 17 解：（1）苹果的重量在 95,90 的频率为 20 =0.450 ； （2）重量在 85,80 的有 54 =15+15  个； （3）设这 4 个苹果中 85,80 分段的为 1， 100,95 分段的为 2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共 6 种；设任取 2 个，重量在 85,80 和 100,95 中各有 1 个的事件为 A，则事件 A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共 3 种，所以 3 1(A) 6 2P   . 【注意】注意格式！ 18 解：（1）在等边三角形 ABC 中， AD AE AD AE DB EC   ,在折叠后的三棱锥 A BCF 中也成立， / /DE BC , DE  平面 BCF ， BC  平面 BCF ， / /DE 平面 BCF ； （2）在等边三角形 ABC 中， F 是 BC 的中点，所以 AF BC ①， 1 2BF CF  .  在三棱锥 A BCF 中， 2 2BC  ， 2 2 2BC BF CF CF BF     ② BF CF F CF ABF    平面 ； （3）由（1）可知 / /GE CF ，结合（2）可得GE DFG 平面 . 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 2 3 2 3 3 2 3 324F DEG E DFGV V DG FG GF                    【品题】考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容. 19 解：（1）当 1n  时， 2 2 1 2 2 14 5, 4 5a a a a    ， 2 10 4 5na a a    （2）当 2n  时，  2 14 4 1 1n nS a n     ， 2 2 1 14 4 4 4n n n n na S S a a       22 2 1 4 4 2n n n na a a a      , 10 2n n na a a    当 2n  时， na 是公差 2d  的等差数列. 2 5 14, ,a a a 构成等比数列， 2 5 2 14a a a   ，   2 2 2 28 24a a a    ，解得 2 3a  , 由（1）可知， 2 1 2 14 5=4, 1a a a    2 1 3 1 2a a      na 是首项 1 1a  ,公差 2d  的等差数列. 数列 na 的通项公式为 2 1na n  . （3）   1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1n na a a a a a n n              1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 5 7 2 1 2 1 1 1 11 .2 2 1 2 n n n                                          【品题】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知 nS 求 na ， na 是等差数列，第（3）问只需裂项求和 即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成 1n  ， 2n  来 做后，不会求 1a ，没有证明 1a 也满足通项公式. 20 解：（1）依题意 0 2 3 2 22 cd    ，解得 1c  （负根舍去） 抛物线C 的方程为 2 4x y ； （2）设点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ， ),( 00 yxP ， 由 2 4x y ,即 21 4y x , 得 y  1 2 x . ∴抛物线C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 )(2 1 1 1 xxxyy  ， 即 2 11 1 2 1 2 xyxxy  . ∵ 2 11 4 1 xy  ， ∴ 1 1 2 yxxy  . ∵点 ),( 00 yxP 在切线 1l 上, ∴ 10 1 0 2 yxxy  . ① 同理， 20 2 0 2 yxxy  . ② 综合①、②得，点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 的坐标都满足方程 yxxy  00 2 . ∵经过 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线 AB 的方程为 yxxy  00 2 ，即 0 02 2 0x x y y   ； （3）由抛物线的定义可知 1 21, 1AF y BF y    ， 所以   1 2 1 2 1 21 1 1AF BF y y y y y y        联立 2 0 0 4 2 2 0 x y x x y y       ，消去 x 得  2 2 2 0 0 02 0y y x y y    ， 2 2 1 2 0 0 1 2 02 ,y y x y y y y     0 0 2 0x y    22 2 2 0 0 0 0 0 02 1= 2 2 1AF BF y y x y y y          2 2 0 0 0 1 9=2 2 +5=2 +2 2y y y     当 0 1 2y   时， AF BF 取得最小值为 9 2 21 解：  ' 23 2 1f x x kx   (1)当 1k  时  ' 23 2 1, 4 12 8 0f x x x          ' 0f x  ,  f x 在 R 上单调递增. （2）当 0k  时，  ' 23 2 1f x x kx   ，其开口向上，对称轴 3 kx  ，且过  0 1， （i）当   24 12 4 3 3 0k k k       ，即 3 0k   时，  ' 0f x  ，  f x 在 ,k k 上单调递增， 从而当 x k 时，  f x 取得最小值  m f k k  , 当 x k  时，  f x 取得最大值   3 3 32M f k k k k k k         . （ii）当   24 12 4 3 3 0k k k       ，即 3k   时，令  ' 23 2 1 0f x x kx    解得： 2 2 1 2 3 3,3 3 k k k kx x     ,注意到 2 1 0k x x   , (注：可用韦达定理判断 1 2 1 3x x  ， 1 2 2 3 kx x k   ,从而 2 1 0k x x   ；或者由对称结合图像判断) -kk 3 kx           1 2min , , max ,m f k f x M f k f x          3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0f x f k x kx x k x k x          f x 的最小值  m f k k  ,          23 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2= [ 1] 0f x f k x kx x k k k k x k x k k                f x 的最大值   32M f k k k     综上所述，当 0k  时，  f x 的最小值  m f k k  ,最大值   32M f k k k     解法 2（2）当 0k  时，对  ,x k k   ，都有 3 2 3 3 2( ) ( ) ( 1)( ) 0f x f k x kx x k k k x x k           ，故    f x f k 3 2 3 3 2 2 2 2( ) ( ) ( )( 2 2 1) ( )[( ) 1] 0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k                   故    f x f k  ，而 ( ) 0f k k  ， 3( ) 2 0f k k k     所以 3 max( ) ( ) 2f x f k k k     ， min( ) ( )f x f k k  【品题】常规解法完成后，结合图像感知 x k 时最小， x k  时最大，只需证      f k f x f k   即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了 2012 年高 考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”. 2013年广东高考数学试卷遵循《2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学大纲》的规定:贯彻 了有利于中学数学教学与有利于高校选拔人才相结合的原则,贯彻了“总体保持稳定,深化能力立意,积极 改革创新”的指导思想.试卷立足现行高中教材,在注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了 对数学思想、数学核心能力的综合考查.试卷具有以下鲜明特点: 1.题型稳定,保持风格 2013年高考数学试卷和2012年高考数学试卷犹如双胞胎,其考查的知识内容、题型和整体难易程度与2012 年基本一致, 打破了试题难度大小年的规律。 今年的数学试题在题型结构、题量、各题型分值与内容分布等方面与往年相比稳中有变. 前三道大题都不 难，故要在日常教学中强调表达规范完整。后三道大题强调代数运算能力，训练学生严谨细致的思维品质。 2.注重基础,重视教材 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,无偏题、怪题,这对中学数 学教学有很好的导向作用,让战斗在高三第一线的师生从满天飞舞的资料与题海中解脱出来,做到求真务 实,抓纲务本. 整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.很多题目考查的都是现行高中教材中最基本且重要的数学 知识,所用到的方法也是通性通法,这样考查既体现了高考的公平、公正,也对中学数学教学和复习回归课 本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用,这对引导中学数学教学用好教材有一定的助推作用. 3.突出重点,考查全面 2013 年数学试卷所考查知识点的大致分布如下表.《考试说明》所指出的三角函数、平面向量、圆锥曲线、 立体几何、概率与统计、数列、函数与导数等是中学数学的主干知识,其中的核心模块概率与统计、三角 函数、立体几何、圆锥曲线、数列、函数与导数在今年试卷的解答题部分均得到较高的体现. 试卷强调数 学语言的理解，尤其是在集合语言上。 4. 突出能力,稳中求变 通览今年的数学试卷,数学思想贯穿始终.整套试卷对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化 归与转化思想以及思维能力、运算能力、空间想象能力都进行了全方位的考查. 总之,2013年高考数学试卷从数学基础知识、数学思维方法和学科能力出发,多层次、多角度、多视点地考 查了考生的数学素养和学习潜能,是一份难得的好试卷.