江苏专用2019高考数学二轮复习专题七选矩阵与变换坐标系与参数方程不等式选讲学案理
矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)已知矩阵A＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标.
解 (1)因为A＝，det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，
所以A可逆，从而A－1＝.
(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，
因此， 点P的坐标为(3，－1).
2.(2017·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
解 (1)AB＝＝.
(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为＝，
所以即因为P(x1，y1)在曲线C1上，所以＋＝1，
从而x2＋y2＝8，即为曲线C2的方程.
3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
∴当s＝时，d有最小值＝.
5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.
解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值为4.
6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
证明 由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换
2.二阶矩阵的特征值和特征向量
(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解)，它即为M的属于λ的一个特征向量.
3.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
4.(1)直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
(2)圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
5.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)－a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2
的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2(a＞0)，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为
ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.
热点三 参数方程
[考法1] 参数方程与普通方程的互化
【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)，若直线l被圆C截得的弦长为4，求r的值.
解 直线l的普通方程为4x＋3y－15＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝r2.
因为圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝3，
又直线l被圆C截得的弦长为4，所以r＝＝.
探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.
[考法2] 直线的参数方程
【例3－2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PA＋PB.
解 法一 (1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝5，
即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
法二 (1)同法一.
(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0.解得： 或
不妨设A(1，2＋)，B(2，1＋)，又点P的坐标为(3，).
故PA＋PB＝＋＝3.
探究提高 过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.
热点四 绝对值不等式
【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
②若f(x)≤1，求a的取值范围.
(2)(2018·镇江期末)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)①当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
②f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2或x＝－a时等号成立(最小值能取到).
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(2)因为对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，所以f(x)min＞a2－3.
又|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－(x＋a)|＝|2a|，所以|2a|＞a2－3，①
法一 (将|a|作为整体)即|a|2－2|a|－3＜0，解得－1＜|a|＜3.
所以－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a＞a2－3，②
或2a＜－a2＋3，③
由②得－1＜a＜3，
由③得－3＜a＜1，
所以，－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.
【训练4】 已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
由f(x)≥1可得
①当x≤－1时显然不满足题意；
②当－10，b>0，且a3＋b3＝2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)∵a>0，b>0且a3＋b3＝2.
由柯西不等式，得(a＋b)(a5＋b5)≥(＋)2＝(a3＋b3)2＝4.
当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时等号成立.因此(a＋b)(a5＋b5)≥4.
(2)∵a3＋b3＝2，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，即(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2.
所以(a＋b)3－2＝3ab(a＋b)，又ab≤＝，
∴(a＋b)3－2≤(a＋b)3，则(a＋b)3≤2.
从而a＋b≤2当且仅当a＝b＝1时等号成立.
1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.
2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；
(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解；
(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.
1.(2013·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
解 设矩阵A的逆矩阵为，则＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.
2.(2015·江苏卷)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.
解 由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，
则即所以矩阵A＝.
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，
所以矩阵A的另一个特征值为1.
3.(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
5.(2016·江苏卷)设a＞0，＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
证明 由a＞0，|x－1|＜可得|2x－2|＜，又|y－2|＜，
∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a.
则|2x＋y－4|＜a成立.
6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，
因此a＋b的最小值为5.
● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生
● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰
● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达•芬奇
● 人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 ──雷锋
● 人的天职在勇于探索真理。 ──哥白尼
● 人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。──高尔基
● 人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思想、幻想就在其中。 ──雨果
● 人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ──罗曼.罗兰
● 人生不是一种享乐，而是一桩十分沉重的工作。 ──列夫•托尔斯泰
● 人生应该如蜡烛一样，从顶燃到底，一直都是光明的。 ──萧楚女
● 人需要真理，就像瞎子需要明快的引路人一样。 ──高尔基
● 任何问题都有解决的办法，无法可想的事是没有的。 ──爱迪生
● 如果你希望成功，当以恒心为良友，以经验为参谋，以当心为兄弟，以希望为哨兵。 ──爱迪生
● 如果是玫瑰，它总会开花的。 ──歌德
● 如果我比笛卡尔看得远些，那是因为我站在巨人们的肩上的缘故。 ──牛顿
● 善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来。 ──华罗庚
● 少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；老而好学，如炳烛之明。 ──刘向
● 生活便是寻求新的知识。 ──门捷列夫
● 生活得最有意义的人，并不就是年岁活得最大的人，而是对生活最有感受的人。 ─卢梭
● 生活的理想，就是为了理想的生活。 ──张闻天
● 生活的情况越艰难，我越感到自己更坚强，甚而也更聪明。 ──高尔基
● 生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。 ──左拉
● 生活最沉重的负担不是工作，而是无聊。 ──罗曼•罗兰
● 生命的意义在于付出，在于给予，而不是在于接受，也不是在于争取。 ──巴金
● 生命多少用时间计算，生命的价值用贡献计算。 ──裴多菲
● 时间，就象海棉里的水，只要愿挤，总还是有的。 ──鲁迅
● 时间是伟大的作者，她能写出未来的结局。 ──卓别林
● 时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也最偏私，给任何人都不是二十四小时。
──赫胥黎
● 世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最易被忽视而又最令人后悔的就是时间。 ──高尔基
● 世有伯乐，然后有千里马。 ──韩愈
● 书读得越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；而当你读书而思考得越多的时候，你就会越清楚地看到，你知道得还很少。 ──伏尔泰
● 书籍使我变成了一个幸福的人，使我的生活变成轻松而舒适的诗。 ──高尔基
● 书是人类进步的阶梯。 ──高尔基
● 谁虚度年华，青春就会褪色，生命就会抛弃他们。 ──雨果
● 谁要是不再有好奇心也不再有惊讶的感觉，谁就无异于行尸走肉，其眼睛是迷糊不清的。
──爱因斯坦
● 谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，永远是一个奴隶。 ──歌德
● 我从来不认为半小时是微不足道的很小的一段时间。 ──达尔文
● 我的成就，当归功于精力的思索。 ──牛顿
● 我的人生哲学是工作，我要揭示大自然的奥秘，并以此为人类服务。我们在世的短暂的一生中，我不知道还有什么比这种服务更好的了。 ──爱迪生
● 我平生从来没有做过一次偶然的发明。我的一切发明都是经过深思熟虑，严格试验的结果。──爱迪生
● 我认为再没有比那些只顾自己鼻子尖底下一点事情的人更可悲的了。 ──卢瑟福
● 我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。 ──达尔文
● 我喜欢离开人们通行的小路，而走荆棘丛生的崎岖山路。 ──伦琴
● 我要扼住命运的咽喉，它休想使我屈服。 ──贝多芬
● 我一贯力求思想不受束缚。 ──达尔文
● 信仰，是人们所必须的。什么也不信的人不会有幸福。 ──雨果
● 幸福永远存在于人类不安的追求中，而不存在于和谐与稳定之中。 ──鲁迅
● 幸运并非没有许多的恐惧与烦恼；厄运也并非没有许多的安慰与希望。 ──培根
● 许多伟大的真理开始的时候都被认为是亵渎的行为。 ──肖伯纳
● 学而不思则惘，思而不学则殆。 ──孔子
● 学习──永远不晚。 ──高尔基
● 要是没有独立思考和独立判断的有创造能力的个人，社会的向上发展就不可想象。
──爱因斯坦
● 要想一下子全知道，就意味着什么也不会知道。 ──巴甫洛夫
● 要迎着晨光实干，不要面对晚霞幻想。 ──卡莱尔
● 一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。 ──卡耐基
● 一个能思考的人，才真是一个力量无边的人。 ──巴尔扎克
● 一个人的价值，应当看他贡献了什么，而不应当看他取得了什么。 ──爱因斯坦
● 一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。 ──雨果
● 一个人对社会的价值首先取决于他的感情、思想和行动对增进人类利益有多大的作用。
──爱因斯坦
● 一个人就好象是一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母愈大则分数的值愈小。 ──托尔斯泰
● 一个人要先经过困难，然后踏入顺境，才觉得受用，舒服。 ──爱迪生
● 一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。 ──高尔基
● 一切假知识比无知更危险。 ──肖伯纳
● 一切真正的和伟大的东西，都是纯朴而谦逊的。 ──别林斯基
● 应该让别人的生活因为有了你的生存而更加美好。 ──茨巴尔
