高考数学专题复习空间角的计算

高考数学专题复习空间角的计算

高考数学专题复习 空间角的计算 一、 高考要求 空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合．‎ 二、 两点解读 重点：①求异面直线所成的角；②求直线与平面所成的角；③求二面角．‎ 难点：二面角的作法与求法．‎ 三、 课前训练 ‎1．正六棱柱ABCDEF—A1B‎1C1D1E‎1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 （ B ）‎ ‎（A）90° （B）60° （C）45° （D）30°‎ ‎2． A1B‎1C1-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A‎1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 （ A ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3． 已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的所有棱长都相等,则与平面所成角的余弦值为 ‎4． 已知正四棱锥的体积为12，底面的对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于()‎ 四、 典型例题 例1 是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是 （ C ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 例2如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为___45° ___‎ 例3若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于（结果用反三角函数值表示）．‎ 例4在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=‎ ‎（Ⅰ）证明：SC⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）．‎ 解：（Ⅰ）略 ‎（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，‎ ‎∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．‎ 在Rt△SCB中，由BC=，SB=，得 SC=== 4．‎ 在Rt△SAC中，由AC=2，SC=4，得cos∠SCA=．‎ ‎∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°．‎ 图9—65‎ ‎（Ⅲ）解：过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角．如图9—65．‎ 又四边形ABCD是平行四边形，‎ DC=AB=，‎ SA=，‎ SD==5．‎ 在△SCD中，cosSCD=‎ ‎∴SC与AB所成的角的大小为arccos．‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ 例5已知如图斜三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA1⊥A‎1C，AA1＝A‎1C．‎ ‎（Ⅰ）求侧棱A‎1A与底面ABC所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离．‎ 解：（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC ‎∴∠A1AD为A‎1A与面ABC所成的角．‎ ‎∵AA1⊥A‎1C，AA1＝A‎1C，‎ ‎∴∠A1AD＝45°为所求．‎ ‎（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．‎ ‎∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．‎ 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2，‎ ‎∴DE＝1，AD＝A1D＝，tanA1ED＝＝．‎ 故∠A1ED＝60°为所求．‎ ‎（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．‎ ‎∵B1B∥面A1ACC1，‎ ‎∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．‎ 在Rt△ABC中，AB＝，‎ ‎∴BF＝为所求．‎ 评述：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．‎