山东高考数学试卷理科及答案详解

山东高考数学试卷理科及答案详解

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 参考公式：如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B独立，那么。‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、复数满组（为虚数单位），则的共轭复数为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2、已知集合，则集合中元素的个数是 ‎(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9‎ ‎ 3、已知函数为奇函数，且当时，则 ‎(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2‎ ‎4、已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6、在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 的斜率的最小值为 ‎ ‎ (A) 2 (B) 1 (C) (D) ‎ ‎7、给定两个命题 若是的必要不充分条件，则是的 ‎ (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎ 8、函数的图象大致为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ 9、过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ‎(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279‎ ‎11、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 是 结 束 输出 否 开 始 输入 ‎12、设正实数满足则当取得最大值时，的最大值为 ‎(A) 0 (B) 1 (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。‎ ‎13、执行右图所示的程序框图，若输入的值为0.25，‎ 则输出的的值为 _______.‎ ‎14、在区间上随机取一个数，‎ 使得成立的概率为______.‎ ‎15、已知向量与的夹角为，‎ 且若，‎ 且，则实数的值为____________.‎ ‎ 16、定义“正对数”： 现有四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则.‎ 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎ ‎ ‎ 17、（本小题满分12分）‎ ‎ 设的内角所对的边分别为，且.‎ F P H E G A C B Q D ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的值.‎ ‎ 18、（本小题满分12分）‎ ‎ 如图所示，在三棱锥中，，‎ ‎，分别是 的中点，，与交于点，‎ 与交于点，连接.‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ ‎ 甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。‎ ‎ （Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；‎ ‎ （Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分的分布列和数学期望。 ‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ ‎ 设等差数列的前项和为，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列的前项和为，且（为常数）。令，求数列的前项和。‎ ‎21、（本小题满分13分）‎ ‎ 设函数（是自然对数的底数，）‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间、最大值；‎ ‎ （Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。‎ ‎ ‎ ‎22、（本小题满分13分）‎ ‎ 椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴 的直线被椭圆截得的线段长为1.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交 的长轴于点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.‎ 理科数学试题参考答案 一、选择题DCABB CADAB DB 二、填空题3 ①③④‎ 三、解答题 ‎ 17、（Ⅰ）由余弦定理 ， 得 ，‎ ‎ 又，所以 ，解得 .‎ ‎ （Ⅱ）在 中， ，‎ ‎ 由正弦定理得 ，‎ ‎ 因为 ， 所以 为锐角.所以，‎ ‎ 因此 ‎ ‎18、（Ⅰ）证明：因为 分别是的中点，‎ ‎ 所以 ，所以 ，‎ 又 ，所以 ，‎ 又 ，所以，‎ 又 ，所以.‎ F P H E G A C B Q D ‎ （Ⅱ）解法一：在中， ‎ ‎ 所以 ，即，‎ ‎ 因为， 所以 ，‎ ‎ 又 ，所以 .‎ 由（Ⅰ）知，所以 ‎ 又 ，所以 ， ‎ 同理可得 所以为二面角 的平面角.‎ 设 ，连接，‎ 在 中，由勾股定理得，在 中，由勾股定理得.‎ 又为 的重心，所以 ，同理 .‎ 在中，由余弦定理得，‎ 即二面角的余弦值为.‎ F P H E G A C B Q D 解法二：在中，，所以.‎ 又 ，所以 两两垂直.‎ 以 为坐标原点，分别以所在直线为 轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，‎ 则 ,‎ 所以 ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由， 得 取 ，得.‎ 设平面的一个法向量为，由， ‎ 得 取 ，得.‎ 所以 ,‎ 因为 二面角为钝角，所以 二面角的余弦值为.‎ ‎19、（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件 ，‎ ‎ 由题意，各局比赛结果相互独立，‎ ‎ 故， ，.‎ ‎ 所以，甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为，以3：2胜利的概率为.‎ ‎ （Ⅱ）记“乙队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 由题意，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎ 又 ，‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以的分布列为 因此 ‎ ‎ 20、（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为. 由得 ‎ ‎ ‎ 解得 因此 .‎ ‎ （Ⅱ）由题意知：，‎ ‎ 所以时，‎ ‎ 故，‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ 则 ，‎ ‎ 两式相减得 ‎ 整理得 ‎ 所以 数列的前项和 ‎ 21、解：（Ⅰ），由 ，解得，‎ ‎ 当 时，，单调递增；‎ ‎ 当 时，，单调递减.‎ ‎ 所以，函数 的单调递增区间是，单调递减区间是，‎ 最大值为.‎ ‎ （Ⅱ）令.‎ ‎ （1） 当 时， ，则，‎ ‎ 所以 . 因为 ， 所以 ‎ 因此 在上单调递增.‎ ‎（2）当 时， ，则，‎ 所以 .因为，所以.‎ 又，所以，即，因此 在上单调递减.‎ 综合（1）（2）可知 当 时，.‎ 当，即时，没有零点，‎ 故关于的方程的根的个数为0；‎ 当，即时，只有一个零点，‎ 故关于的方程的根的个数为1；当，即时，‎ ‎① 当时，由（Ⅰ）知 ，‎ ‎ 要使，只需使，即 ；‎ ‎② 当时，由（Ⅰ）知 ‎ ，‎ ‎ 要使，只需使，即 ；‎ 所以 时，有两个零点，故关于的方程的根的个数为2.‎ 综上所述，‎ 当时，关于的方程的根的个数为0；‎ 当时，关于的方程的根的个数为1；‎ 当时，关于的方程的根的个数为2.‎ ‎ 22、解:（Ⅰ）由于，将代入椭圆方程，得，‎ ‎ 由题意知，即.又，所以.椭圆的方程为 ‎ （Ⅱ）解法一：设.又 ，‎ 所以直线的方程分别为:‎ 由题意知 ，‎ 由于点在椭圆上，所以所以 因为，‎ 可得.所以.因此.‎ 解法二：设，当时，‎ ① 当时，直线的斜率不存在，易知或.‎ 若，则直线的方程为.由题意得，‎ 因为，所以.若,同理可得.‎ ② 当时，设直线的方程分别为 ，‎ 由题意知 ，所以 ，‎ 因为 并且 ，‎ 所以 ，‎ 即 .‎ 因为 所以 .‎ 整理得 ，故 .‎ 综合①②可得 .当时，同理可得 .‎ 综上所述，的取值范围是 .‎ ‎（Ⅲ）设，则直线的方程为， 联立 ‎ 整理得 ‎ 由题意 ，即 ‎ ‎ 又 所以 故 ，‎ 由（Ⅱ）知 ， 所以 ，‎ ‎ 因此 为定值，这个定值为.‎