高中高考复习专项练习之数列的题型与方法理科
专题二：数列的题型与方法
一、 考点回顾
1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.
2．判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
③中项公式法：验证都成立。
3.在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当,d＜0时，满足的项数m使得取最大值.
(2)当,d＞0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。
5.数列的综合应用：
⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。
⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。
6．注意事项：
⑴证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明或而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
⑷注意一些特殊数列的求和方法。
⑸注意与之间关系的转化。如：
=，=．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
７．知识网络
一、 经典例题剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质
例题1. （2007年5月上海市十一所实验示范校）（1）数列{an}和{bn}满足 （n=1，2，3…），
（1）求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。
（2）数列{an}和{cn}满足，探究为等差数列的充分必要条件。[提示：设数列{bn}为
分析：本题第（1）问的充要条件的解决可以分别设出等比、等差数列的通项；对探究问题我们通常采用的是先假设再论证。
证明：（1）必要性 若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d
则
∵ ∴{an}为是公差为的等差数列
充分性 若{an}为等差数列，设首项a1，公差d
则
∴
当n=1时，b1=a1也适合
∵bn+1－bn=2d， ∴{bn}是公差为2d的等差数列
（2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1
其中 （n=1，2，3…）
点评：本题考查了等差、等比数列的基本知识，但解决起来有一定的难度，同时还需要对问题进一步深入下去。
例题2. （2007年5月上海市宝山区）已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；
（3）当a>0时，求数列的最小项。
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。
解：（1）∵
∴
(n≥2)
由得，，
∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，
∴3a+4=0，即 。
（3）由（1）知当时，，
所以，
所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……
显然最小项是前三项中的一项。
当时，最小项为8a-1；
当时，最小项为4a或8a-1；
当时，最小项为4a；
当时，最小项为4a或2a+1；
当时，最小项为2a+1。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。
考点二：求数列的通项与求和
例题3. （2007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：
12、1122、111222、……、 ……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
（2）求这个数列前n项之和Sn .
分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。
解：（1）
个
记：A = , 则A=为整数
= A (A+1) ， 得证
(2)
点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
例题4. (2007年5月深圳市) 已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。
解：（Ⅰ），，
又，数列是首项为，公比为的等比数列．
， 即.
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ），
．
当时，则
．
， 对任意的，．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。
考点三：数列与不等式的联系
例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且，
函数，数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式；
⑵ 求证：；
⑶ 求证：
分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。
解：⑴ 又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶
∴
∴
∵, , 又∵
∴ ∴
∴
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。
例题6.（2007年5月江苏省淮安市）已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；
（Ⅲ）证明：
分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。
解：（1），
故数列是首项为2，公比为2的等比数列。
，
（2），
①
②
②—①得，即③
④
④—③得，即
所以数列是等差数列
（3）
设，则
点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。
例题7.（2007年5月2007浙江省五校） 已知函数,数列满足,
; 数列满足, .求证:
（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅲ）若则当n≥2时,.
分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。
解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0
g(0)=0.
因为,所以,即>0,从而
(Ⅲ) 因为 ,所以, ,
所以 ————① ,
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因为, n≥2,
所以 <<=————② .
由①② 两式可知: .
点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。
考点四：数列与函数、向量等的联系
例题8.（2007年5月徐州市）已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．
(1)写出、的值;
(2)试比较与的大小，并说明理由；
(3)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．
分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。
解：(1)，因为所以
（2）因为所以
,
因为所以与同号，
因为，…，即
（3）当时，
，
所以，
所以
点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。
例题9.（2007年5月江苏卷）在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中
，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的
线上
（1）试用a与n表示；
（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。
分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。
解：（1）
又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，
（2）∵二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线
又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，
∴对称轴
点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。
例题10.（2007年5月重庆市高三联合诊断）已知，若数列{an}
成等差数列.
（1）求{an}的通项an;
（2）设 若{bn }的前n项和是Sn，且
分析：观察数列特征，利用等差数列基本条件，得出通项公式，进而求解.
解：解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),……，f(an),2n+4的公差为d，则
2n+4=2+(n+2－1)dd=2,
（2），
点评：本题考查等差、等比数列的性质，数列的求和，不等式的放缩，有一定的综合性。
例题11.（2007年5月湖南省长沙雅礼中学）数列和数列（）由下列条件确定：
（1），；
（2）当时，与满足如下条件：当时，，；当时，，.
解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若已知当时，，求.
（Ⅲ）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.
分析：利用条件及第（Ⅰ）小题的结论提示，找出的关系，是入手的关键之处.
解：（Ⅰ）当时，，
当时，，
所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，
，所以
所以，，
又当时，，故.
（Ⅲ）当时，，由（2）知不成立，故，从而对于，有，，于是，故，
若，则，
，所以，这与是满足的最大整数矛盾.
因此是满足的最小整数.
而，
因而，是满足的最小整数.
点评：本题难度较大，但试题分为三个小问，降低了坡度，是的入手较为容易，而且步步深入，前一问题的结论为后一问题做铺垫，考生在解题中要充分注意这种“便利条件”.
例题12. (2007年5月宁波市三中) 已知数列中，，．
（1）求；
（2）求数列的通项；
（3）设数列满足，求证：
分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑an＝Sn－Sn－1(n≥2)
解：（1）
（2） ①
②
①—②得
即：，
所以
所以
（3）由（2）得：，
所以是单调递增数列，故要证：只需证
若，则显然成立
若，则
所以
因此：
所以
所以
点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中
这种拆分方法是数学中较高要求的变形.
一、 方法总结与2008年高考预测
（一）方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
（二）2008年高考预测
1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
强化训练
（一） 选择题
1．在等差数列中，，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对
【答案】A解析：，，。
2．在等比数列中， 和 是二次方程 的两个根，则
的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A解析：根据韦达定理，有，又因为，则，所以。
３．设为等差数列的前项和。已知。则
等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B解析：， ，
４．在数列中，已知，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D解析：，，。
5. 数列的通项公式，
则该数列的前（ ）项之和等于。
A． B． C． D．
【答案】B
6. 已知等差数列项和为
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7. 设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为（ ）
A．95 B．97 C．105 D．192
【答案】B
f（n+1）－f（n）=
相加得f（20）－f（1）=（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．
8. 由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4， a2+a5， a3+a6…是（ ）
A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列 D．非等差数列
考查等差数列的性质．
【答案】B （a2+a5）－（a1+a4）=（a2－a1）+（a5－a4）=2d．（a3+a6）－（a2+a5）=（a3－a2）+（a6－a5）=2d．依次类推．
9. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 设三边为则，即
得，即
10. 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,
是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上都不对
【答案】B
，都是锐角
11．弹子跳棋共有颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有 （ ）
（A）颗 （B）4颗 （C）颗 （D）颗
【答案】B解析：最上面一层放1个，设最上一层是第一层，由上而下共有层，第层弹子数为，总弹子数为
，
由得，故时剩余最小，且剩余颗。
12．三个数成等比数列，且，则的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D解析：设，则有。当时，，而，；当时，，即，而，则，故。
（一） 填空题
13. 已知数列中，，，则数列通项___________。
【答案】 是以为首项，以为
公差的等差数列，
14. 数列…的一个通项公式是______________________。
【答案】
15. 等比数列前项的和为，则数列前项的和为______________。
【答案】
（一） 解答题
17．已知函数
（1）求的反函数，并指出其定义域；
（2）若数列{an}的前n项和Sn对所有的大于1的自然数n都有，且a1 =1，求数列{an}的通项公式；
（3）令
18．已知数列{an}满足
（1）求证：{an}为等比数列；
（2）记为数列{bn}的前n项和，那么：
①当a=2时，求Tn；
②当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.
19．函数的最小值为且数列的前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；
（Ⅲ）若，求数列的最大项．
20．已知数列中，，．
（1）求；
（2）求数列的通项；
（3）设数列满足，求证：
21．已知数列满足递推式，其中
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前n项和.
22．已知等差数列，公差d大于0，且是方程的两个根，数列的前n项和为。
（1）求数列、的通项公式；
（2）记
解答题答案
18．解：1）当n≥2时， 整理得
所以{an}是公比为a的等比数列.（4分）
（2）
①当a=2时，
两式相减，得
（9分）
②因为－1＜a＜0，所以：当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.
当
所以
所以当
当
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有
19．解：（Ⅰ）由
，，
由题意知：的两根，
（Ⅱ），
为等差数列，，，
经检验时，是等差数列，
（Ⅲ）
20．解：（1）
（2）
—得
即：，
所以
所以
（3）由（2）得：，
所以是单调递增数列，故要证：只需证
若，则显然成立
若，则
所以
因此：
所以
所以
21．解：（1）由知
解得：同理得
（2）由知
构成以为首项以2为公比的等比数列；
；
为所求通项公式
（3）
22．解：（1）设的公差为d，由题意得：
（2）
（一） 创新试题
1. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项， 为公差的等差数列.
⑴求点的坐标；
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.
解：（1）
（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：
把代入上式，得，的方程为：。
，
=
2. 设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式 3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…)
(1)求证 数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；
(3)求和 b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t ∴a2=
又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t， ①
3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t ②
①－②得3tan－(2t+3)an－1=0 ∴,n=2,3,4…,
所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列；
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn－1
可见{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列 于是bn=1+(n－1)=;
(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，
于是b2n=,
∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=－ (b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－ (2n2+3n)
一、 复习建议
1．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果
2．归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义．
3．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
4．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．
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