天津市河西区高三高考模拟数学试卷解析版解析

天津市河西区高三高考模拟数学试卷解析版解析

‎2016年天津市河西区高考数学模拟试卷 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（　　）‎ A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}‎ ‎　‎ ‎2．函数f（x）=的最小正周期为（　　）‎ A． B．π C．2π D．4π ‎　‎ ‎3．已知复数z1=3﹣i，z2=1+i，是z1的共轭复数，则=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i ‎　‎ ‎4．已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎　‎ ‎5．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥‎0”‎的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x﹣3＜0 D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≤0‎ ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，若公比q=4，S3=21，则该数列的通项公式an=（　　）‎ A．4n﹣1 B．4n C．3n D．3n﹣1‎ ‎　‎ ‎7．椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（0，5）和（0，﹣5） B．（，0）和（﹣，0） C．（0，）和（0，﹣） D．（5，0）和（﹣5，0）‎ ‎　‎ ‎8．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x ‎　‎ ‎9．若抛物线x2=2py的焦点为F（0，2），则p的值为（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．﹣4 D．4‎ ‎　‎ ‎10．下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的是（　　）‎ A．f（x）=（x﹣1）2 B．f（x）=ex C．f（x）= D．f（x）=ln（x+1）‎ ‎　‎ ‎11．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．1或﹣1 D．3‎ ‎　‎ ‎12．已知函数y=f（x）图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来2倍，然后再将整个图象沿x轴左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx，则y=f（x）的表达式为（　　）‎ A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1‎ C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=sin（x+）+1‎ ‎　‎ ‎13．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，在f（﹣8）=（　　）‎ A．3 B． C．﹣ D．﹣3‎ ‎　‎ ‎15．从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x﹣5|+|y﹣3|≤4的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎16．从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎17．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎　‎ ‎18．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎　‎ ‎19．如图，正棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎20．给出下列四个命题：‎ ‎①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；‎ ‎②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；‎ ‎③一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则样本的标准差为2；‎ ‎④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=a+bx中，b=2， =1， =3，则a=1．其中真命题为（　　）‎ A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．‎ ‎21．已知=（1，2），=（4，2），设，的夹角为θ，则cosθ=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎22．函数的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎23．已知实数x、y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎24．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值等于　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在离地面高‎200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为　　　　　　 m．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎26．已知在递增等差数列{an}中，a3=1，a4是a3和a7的等比中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，求该数列的前10项的和S10的值．‎ ‎　‎ ‎27．已知sinα=，α∈（，π）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；‎ ‎（Ⅱ）求tan2α的值．‎ ‎　‎ ‎28．已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎29．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2016年天津市河西区高考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁U（M∪N）=（　　）‎ A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．‎ ‎【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，‎ ‎∴M∪N={1，3，5，6，7}，‎ ‎∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，‎ ‎∴∁U（M∪N）={2，4，8}‎ 故选C ‎【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．函数f（x）=的最小正周期为（　　）‎ A． B．π C．2π D．4π ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎3．已知复数z1=3﹣i，z2=1+i，是z1的共轭复数，则=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】由已知求出，代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：∵z1=3﹣i，z2=1+i，‎ ‎∴=3+i，‎ 则=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎4．已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据向量的坐标运算先求出，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求||．‎ ‎【解答】解∵，，‎ ‎∴2=（3，x），由⇒3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或x=，‎ ‎∴或，∴||=，或||=．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，若，，则⇔x1x2+y1y2=0．‎ ‎　‎ ‎5．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥‎0”‎的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣2x﹣3≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0‎ C．∃x∈R，x2﹣2x﹣3＜0 D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≤0‎ ‎【考点】特称命题；命题的否定．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】直接依据全称命题的否定写出其否定．‎ ‎【解答】解：命题p：∀x∈A，p（x）是个全称命题．‎ 它的否定是¬p：∃x∈A，¬p（x），‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．‎ ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，若公比q=4，S3=21，则该数列的通项公式an=（　　）‎ A．4n﹣1 B．4n C．3n D．3n﹣1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设出等比数列的首项，结合已知列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1，由公比q=4，S3=21，‎ 得，∴a1=1．‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．椭圆的焦点坐标为（　　）‎ A．（0，5）和（0，﹣5） B．（，0）和（﹣，0） C．（0，）和（0，﹣） D．（5，0）和（﹣5，0）‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】直接利用椭圆方程求出长轴、短轴的长，然后求解焦距即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，a2=16，b2=9，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=16﹣9=7，‎ ‎∴c=，‎ ‎∴椭圆的焦点为（，0）和（﹣，0）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线，‎ 其渐近线方程，‎ 整理得y=±．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“‎1”‎为“‎0”‎即可求出渐近线方程．‎ ‎　‎ ‎9．若抛物线x2=2py的焦点为F（0，2），则p的值为（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．﹣4 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】抛物线x2=2py的焦点为F（0，），由此利用已知条件，能求出p．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x2=2py的焦点为F（0，2），‎ ‎∴=2，‎ 解得p=4，‎ ‎∴p的值为4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法及应用，是基础题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．‎ ‎　‎ ‎10．下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”的是（　　）‎ A．f（x）=（x﹣1）2 B．f（x）=ex C．f（x）= D．f（x）=ln（x+1）‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由减函数的定义便知，f（x）满足的条件为：在（0，+∞）上单调递减，从而根据二次函数、指数函数、反比例函数，以及对数函数的单调性便可判断每个选项的函数在（0，+∞）上的单调性，从而找出正确选项．‎ ‎【解答】解：根据条件知，f（x）需满足在（0，+∞）上单调递减；‎ A．f（x）=（x﹣1）2在（1，+∞）上单调递增，∴该函数不满足条件；‎ B．f（x）=ex在（0，+∞）上单调递增，不满足条件；‎ C．反比例函数在（0，+∞）上单调递减，满足条件，即该选项正确；‎ D．f（x）=ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，不满足条件．‎ 故选C．‎ ‎【点评】考查减函数的定义，以及二次函数、指数函数、反比例函数和对数函数的单调性的判断．‎ ‎　‎ ‎11．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．1或﹣1 D．3‎ ‎【考点】两条直线平行的判定．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可．‎ ‎【解答】解：因为两条直线平行，所以：‎ 解得 m=1‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数y=f（x）图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来2倍，然后再将整个图象沿x轴左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=sinx，则y=f（x）的表达式为（　　）‎ A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1‎ C．y=sin（2x﹣）+1 D．y=sin（x+）+1‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得，把函数y=sinx的图象沿y轴向上平移1个单位，可得y=sinx+1的图象；‎ 再将整个图象沿x轴向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）+1 的图象；‎ 再把横坐标变为原来的倍，可得f（x）=sin（2x﹣）+1的图象，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，‎ 又∵正视图是腰长为2的等腰三角形 ‎∴r=1，h=‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，在f（﹣8）=（　　）‎ A．3 B． C．﹣ D．﹣3‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】转化思想；试验法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性即可得出．‎ ‎【解答】解：当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，‎ ‎∴f（8）=log28=3．‎ ‎∵f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴f（﹣8）=﹣f（8）=﹣3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数的奇偶性、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x﹣5|+|y﹣3|≤4的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论结论．‎ ‎【解答】解：不等式|x﹣5|+|y﹣3|≤4对应的平面区域是图中阴影部分：‎ ‎∵0≤x≤10，0≤y≤6，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率为，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，作出不等式对应的平面区域是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【专题】概率与统计．‎ ‎【分析】用列举法求出基本事件数是多少，计算出对应的概率即可．‎ ‎【解答】解：从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，不同的取法种数是 ‎12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56共15种；‎ 其中这2张纸片数字之积为6的取法种数是23、16；‎ ‎∴对应的概率是P=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了利用列举法求基本事件数以及计算古典概型的概率问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎17．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系 ‎【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，‎ ‎∴a＞b＞20=1．‎ 再由c=2log52=log54＜log55=1，‎ 可得 a＞b＞c，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【专题】阅读型；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B；‎ 由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D．‎ ‎【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；‎ 对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，‎ m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；‎ 对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；‎ 对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．‎ ‎　‎ ‎19．如图，正棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解．如图，连接BC1，A‎1C1，‎ ‎∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，‎ 设AB=a，AA1=‎2a，∴A1B=C1B=a，A‎1C1=a，‎ ‎∠A1BC1的余弦值为，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．给出下列四个命题：‎ ‎①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；‎ ‎②一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同；‎ ‎③一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均值为1，则样本的标准差为2；‎ ‎④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为=a+bx中，b=2， =1， =3，则a=1．其中真命题为（　　）‎ A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数；系统抽样方法．‎ ‎【专题】证明题；对应思想；分析法；概率与统计．‎ ‎【分析】在①中，由系统抽样的原理知样本另一位同学的编号为20；在②中，求出数据的平均数、中位数、众数能判断对错；在③中，求出样本的平均值、样本的方差、标准差，能判断对错；在④中，把（1，3）代入回归直线方程，能判断对错．‎ ‎【解答】解：在①中，由系统抽样的原理知抽样的间隔为52÷4=13，‎ 故抽取的样本的编号分别为7，7+13，7+13×2，7+13×3，‎ 即7号、20号、33号、46号，故①是假命题；‎ 在②中，数据1，2，3，3，4，5的平均数为（1+2+3+4+5）=3，‎ 中位数为3，众数为3，都相同，故②是真命题；‎ 在③中，由题可知样本的平均值为1，所以a+0+1+2+3=5，解得a=﹣1，‎ 故样本的方差为： [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2，标准差为，故③是假命题；‎ 在④中，回归直线方程为=bx+2的直线过点（，），‎ 把（1，3）代入回归直线方程=bx+2，得b=1，故④是真命题；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样、频率分布直方图、众数、中位数、平均数、线性回归方程等知识点的合理运用．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．‎ ‎21．已知=（1，2），=（4，2），设，的夹角为θ，则cosθ=　　．‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】由题意可得向量的数量积和模长，代入夹角公式计算可得．‎ ‎【解答】解：∵ =（1，2），=（4，2），，的夹角为θ，‎ ‎∴=1×4+2×2=8，||==，||==2，‎ ‎∴cosθ===‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查向量的夹角公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎22．函数的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】将f（x）=x+改写成f（x）=（x﹣2）++2，然后利用基本不等式可求出函数f（x）的最小值，注意等号成立的条件．‎ ‎【解答】解：∵x＞2，‎ ‎∴x﹣2＞0，‎ ‎∴f（x）=x+=（x﹣2）++2≥2+2=4，‎ 当且仅当x﹣2=1，即x=3时取等号 ‎∴函数f（x）的最小值为f（3）=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．已知实数x、y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为　6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（2，2），‎ 化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，‎ 由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×2+2=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎24．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值等于　11　．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，m的值，当m=5时，不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得 n=5，m=1，S=1‎ 满足条件m＜5，S=2，m=2‎ 满足条件m＜5，S=4，m=3‎ 满足条件m＜5，S=7，m=4‎ 满足条件m＜5，S=11，m=5‎ 不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11．‎ 故答案为：11．‎ ‎【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，依次写出每次循环得到的S，m的值是解题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在离地面高‎200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为　‎300　 ‎m．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【专题】计算题；解三角形．‎ ‎【分析】首先在Rt△AMD中，算出AM==‎200‎m，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC=‎200‎m，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．‎ ‎【解答】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，‎ ‎∴AM==200．‎ ‎∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°﹣45°﹣60°=75°，‎ ‎∴∠MCA=180°﹣∠AMC﹣∠MAC=45°，‎ 由正弦定理，得==200，‎ 在Rt△ABC中，BC=ACsin∠BAC=200×=‎300m．‎ 故答案为：300‎ ‎【点评】本题给出实际应用问题，求山的高度BC．着重考查了三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎26．已知在递增等差数列{an}中，a3=1，a4是a3和a7的等比中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，求该数列的前10项的和S10的值．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意设出等差数列的公差，再由已知列式求得首项和公差，则数列{an}的通项公式可求；‎ ‎（Ⅱ）直接由等差数列的前n项和公式得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在递增等差数列{an}中，设公差d＞0，‎ 由题意，，解得，‎ 数列{an}的通项公式为an=2n﹣5；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎27．已知sinα=，α∈（，π）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α﹣）的值；‎ ‎（Ⅱ）求tan2α的值．‎ ‎【考点】二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式求得要求式子的值．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tanα的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：因为sinα=，α∈（，π），所以cosα=﹣，‎ 所以siin（α﹣）=sinα•﹣cosα•=，‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得tanα=﹣，∴tanα==．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎28．已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）过点（1，）的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；‎ ‎（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，‎ 所以圆C的方程为x2+y2=4；‎ ‎（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），‎ ‎∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，‎ 则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，‎ 则有，‎ 解得：k=﹣，‎ 则直线l的方程为y=﹣x．‎ 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．‎ 直线l的方程：x=1或y=﹣x．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．‎ ‎　‎ ‎29．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】转化思想；构造法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；‎ ‎（Ⅱ）求出当a=3时f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；‎ ‎（Ⅲ）设点A（t，﹣ t3+t2﹣2t）是函数f（x）图象上的切点，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入点（0，﹣），可得方程有三个不同的实数解，设g（t）=t3﹣at2+，求出导数，求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣x3+x2﹣2x的导数为f′（x）=﹣x2+ax﹣2，‎ 因为函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，‎ 所以﹣4+‎2a﹣2=﹣4，解得a=1；‎ ‎（Ⅱ）当a=3时，f′（x）=﹣x2+3x﹣2=﹣（x﹣1）（x﹣2），‎ 当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；‎ 当x＜1或x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），‎ 单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）；‎ ‎（Ⅲ）设点A（t，﹣ t3+t2﹣2t）是函数f（x）图象上的切点，‎ 则过点A的切线斜率k=﹣t2+at﹣2，‎ 所以过点A的切线方程为y+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（x﹣t），‎ 因为点（0，﹣）在该切线上，‎ 所以﹣+t3﹣t2+2t=（﹣t2+at﹣2）（0﹣t），‎ 即t3﹣at2+=0，‎ 若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，‎ 则方程t3﹣at2+=0三个不同的实数根，‎ 令g（t）=t3﹣at2+=0，‎ 则函数y=g（t）的图象与x轴有三个不同的交点，‎ g′（t）=2t2﹣at=0，解得t=0或t=，‎ 因为g（0）=，g（）=﹣a3+，‎ 所以令g（）=﹣a3+＜0，即a＞2，‎ 所以实数a的取值范围是（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎