高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

等差数列与等比数列综合题 例 已知等差数列满足：，，的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ‎，解得，‎ 所以；==。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，‎ 所以==，‎ 即数列的前n项和=。‎ ‎【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。‎ 例 设为数列的前项和，，，其中是常数．‎ ‎ （I） 求及；‎ ‎ （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．‎ 解（Ⅰ）当，‎ ‎（）‎ ‎ 经验，（）式成立， ‎ ‎（Ⅱ）成等比数列，，‎ 即，整理得：，‎ 对任意的成立， ‎ 例 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 ‎（1）求{}的公比q；‎ ‎（2）求－＝3，求 ‎ 解：（Ⅰ）依题意有 ‎ ‎ 由于 ，故 ‎ ‎ ‎ 又，从而 5分 ‎ （Ⅱ）由已知可得 ‎ 故 ‎ 从而 10分 例 已知数列满足， .‎ 令，证明：是等比数列；‎ ‎ (Ⅱ)求的通项公式。‎ ‎（1）证 当时，‎ 所以是以1为首项，为公比的等比数列。‎ ‎（2）解由（1）知 当时，‎ 当时，。‎ 所以。‎ 例 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解 由题意知，且 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 ‎ ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 例 在数列中，, ‎ ‎（I）设，求数列的通项公式; ‎ ‎（II）求数列的前项和 解：（I）由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ 例 已知数列的前项和为，，且（为正整数）‎ ‎（Ⅰ）求出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.‎ 解：（Ⅰ）， ① 当时，. ② ‎ ‎ 由 ① - ②，得. . ‎ ‎ 又 ，，解得 . ‎ ‎ 数列是首项为1，公比为的等比数列.‎ ‎ （为正整数） ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎ 由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.‎ ‎ 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， ‎ ‎ 必有，即实数的最大值为1 ‎ 例 各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有 ；‎ ‎⑴求常数的值； ⑵求数列的通项公式；‎ ‎⑶记，求数列的前项和。‎ 解：（1）由及，得： ‎ ‎ （2）由 ①‎ ‎ 得 ②‎ ‎ 由②—①，得 ‎ ‎ 即：‎ ‎ ‎ ‎ 由于数列各项均为正数， 即 ‎ ‎ 数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎ 数列的通项公式是 ‎ ‎ （3）由，得： ‎ ‎ ‎ 例 在数列 ‎（1）‎ ‎（2）设 ‎（3）求数列 解（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）对于任意 ‎ ‎ ‎ =，‎ ‎ 数列是首项为，公差为1的等差数列.‎ ‎ （3）由（2）得，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 即 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 两式相减得，‎ ‎ ‎ ‎ 整理得， ‎ ‎ 从而 例 已知数列的首项，前n项和.‎ ‎（Ⅰ）求证：;‎ ‎（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.‎ 解：（1）由①，得②，‎ ‎②-①得：. ‎ ‎（2）由求得. ‎ ‎∴， ‎ ‎∴. ‎ 例 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 ‎（1）求{}的公比q；‎ ‎（2）求－＝3，求 ‎ 解：（Ⅰ）依题意有 ‎ ‎ 由于 ，故 ‎ 又，从而 ‎ ‎ （Ⅱ）由已知可得 故 ‎ 从而 ‎ 例 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.‎ ‎（1）求q的值；‎ ‎（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？说明理由.‎ ‎ ‎ 解：（1）依题意，得2am+2 = am+1 + am ‎∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1‎ 在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，‎ ‎∴2q2 = q +1，解得q = 1或. ‎ ‎ （2）若q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(‎2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 ‎ ‎∵a1≠0，∴2Sm+2≠S m + Sm+1 ‎ 若q =，Sm + 1 =‎ Sm + Sm+1 = =‎ ‎∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 ‎ 故当q = 1时，Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；‎ 当q =时，Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. ‎ 例6 已知数列中，，且对时 有．‎ ‎（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前n项和 ‎（Ⅰ） 证明：由条件，得，‎ 则．‎ 即，所以，．‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列． ‎ ‎，所以．‎ 两边同除以，可得．‎ 于是为以首项，－为公差的等差数列．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ），令，则．‎ 而．‎ ‎∴． ‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 令Tn＝， ①‎ 则2Tn＝． ②‎ ‎①－②，得Tn＝，Tn＝．‎ ‎∴．‎ 例7 已知数列满足，且当，时，有 ‎(1)求证：数列为等差数列；‎ ‎(2)试问是否为数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由. ‎ 证明：（1）由得 即 ‎ 上式两边同时除以得 ‎ ‎ ‎ 又，是首项为5，公差为4的等差数列 ‎ ‎（2）又（1）知 ，即 ‎ ， ‎ 令， 解得 ‎ 所以 是数列的第11项 ‎ 例8 设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．‎ ‎（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得 ‎．‎ 又．‎ 所以．‎ 由此得 由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组 ‎ 消去解得． ‎ 下面验证当时，数列为等比数列．‎ ‎ ，‎ ‎，从而是公比为的等比数列．‎ 同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得 ‎，．‎ ‎（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；‎ ‎ 令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为．‎ ‎ 由第（Ⅱ）问得，．‎ ‎ ．‎ ‎ 由于数列的公比，则．‎ ‎ ，由于，则，‎ 于是，所以 例9 数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；‎ ‎(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项. ‎ ‎（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立 ‎∴ （n ≥ 2）② ‎ ‎①--②得 ‎∴‎ ‎∵均为正数，∴ （n ≥ 2） ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列 ‎ 又n=1时，， 解得=1‎ ‎∴.() ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤. ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)解：由已知 ， ‎ ‎ ‎ ‎ 易得　‎ ‎ 猜想 n≥2 时，是递减数列. ‎ 令 ‎∵当 ‎∴在内为单调递减函数.‎ 由.‎ ‎∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.‎ 又 , ∴数列中的最大项为. ‎ 例10 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和； ‎ ‎（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 ‎ 解：（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,‎ ‎(2) （方法一）=,设， ‎ 则=, 所以为8的约数 ‎（方法二）因为为数列中的项，‎ 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。 ‎ 例12 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式。‎ 解：（I），，，因为，，成等比数列，‎ 所以，解得或．‎ 当时，，不符合题意舍去，故．‎ ‎（II）当时，由于，，‎ ，所以。‎ 又，，故．当n=1时，上式也成立，所以 例13 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．‎ ‎ （1）求数列的通项公式．‎ ‎ （2）若，求数列的前项和．‎ ‎ （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.‎ 解：（1）点都在函数的图像上，,‎ 当时， 当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为 ‎ （2）由求导可得 过点的切线的斜率为，.‎ .‎ ①‎ 由①×4，得 ②‎ ‎①-②得： ‎ ‎ （3）,.‎ 又，其中是中的最小数，.‎ 是公差是4的倍数，.‎ 又，,解得ｍ＝27.‎ 所以，‎ 设等差数列的公差为，则 ，所以的通项公式为 例14 已知是数列的前项和，，且，其中. ‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求 .‎ 解：① ‎　　　　　 ‎ 又也满足上式，（）‎ 数列是公比为2，首项为的等比数列 ‎ ‎ ‎② ‎② ‎　 ‎　　 ‎