河北省保定市高考数学一模试卷理科 Word含解析

河北省保定市高考数学一模试卷理科 Word含解析

‎2015年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=，n∈A}，则A∩B的子集个数是（　　）‎ ‎　 A． 2 B． ‎3 C． 4 D． 16‎ ‎　‎ ‎2．已知p：α是第一象限角，q：α＜，则p是q的（　　）‎ ‎　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎　‎ ‎3．已知i是虚数单位，则=（　　）‎ ‎　 A． 1 B． i C． ﹣i D． ﹣1‎ ‎　‎ ‎4．sin15°﹣cos15°=（　　）‎ ‎　 A． B． C． ﹣ D． ﹣‎ ‎　‎ ‎5．在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（　　）‎ ‎　 A． B． 1﹣ C． D． 1﹣‎ ‎　‎ ‎6．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（　　）‎ ‎　 A． 38 B． 38﹣‎2 C． 38+2 D． 12﹣π ‎　‎ ‎7．已知函数f（x+2）是R上的偶函数，当x＞2时，f（x）=x2+1，则当x＜2时，f（x）=（　　）‎ ‎　 A． x2+1 B． x2﹣8x+‎5 C． x2+4x+5 D． x2﹣8x+17‎ ‎　‎ ‎8．设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． C． 1 D． ‎ ‎　‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（　　）‎ ‎　 A． x B． s C． s D． x ‎　‎ ‎10．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（　　）‎ ‎　 A． （2，﹣2） B． （﹣4，0） C． （4，0） D． （7，3）‎ ‎　‎ ‎11．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（　　）‎ ‎　 A． 甲合适 B． 乙合适 ‎　 C． 油价先高后低甲合适 D． 油价先低后高甲合适 ‎　‎ ‎12．设等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（　　）‎ ‎　 A． 310 B． ‎212 C． 180 D． 121‎ ‎　‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎13．双曲线2x2﹣y2=1的离心率为　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎14．已知公比为q的等比数列{an}，满足a1+a2+a3=﹣8，a4+a5+a6=4，则=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎15．若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为，则k=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎16．由5个元素的构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，Mn，每一个Mi（i=1，2，…，31）中所有元素的积为mi（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m1+m2+…+m33=　　　　　　．‎ ‎　‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分0分）‎ ‎17．已知函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x ‎（1）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）已知△ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值．‎ ‎　‎ ‎18．小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答 ‎（1）求小明至少取到1道主观题的概率 ‎（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是，答对每道主观题的概率都是，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求x的分布列和数学期望．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连结BM ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为；‎ ‎（3）求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，过右焦点F的直线l交椭圆与P，Q两点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（+）•（﹣）=0？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；‎ ‎（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．‎ ‎　‎ ‎22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD∥EC；‎ ‎（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．‎ ‎　‎ ‎23．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程 ‎（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．‎ ‎　‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣a|+1，a∈R ‎（1）当a=4时，解不等式f（x）＜1+|2x+1|；‎ ‎（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥3+2．‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2015年河北省保定市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=，n∈A}，则A∩B的子集个数是（　　）‎ ‎　 A． 2 B． ‎3 C． 4 D． 16‎ 考点： 交集及其运算．‎ 专题： 集合．‎ 分析： 把A中元素代入B中计算确定出B，进而求出A与B的交集，找出交集的子集个数即可．‎ 解答： 解：把x=1，2，3，4分别代入得：B={1，，，2}，‎ ‎∵A={1，2，3，4}，‎ ‎∴A∩B={1，2}，‎ 则A∩B的子集个数是22=4．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．已知p：α是第一象限角，q：α＜，则p是q的（　　）‎ ‎　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 简易逻辑．‎ 分析： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 解答： 解：若α=，满足在第一象限，但α＜不成立，‎ 若α=0，满足α＜，但α在第一象限不成立，‎ 故p是q的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据角与象限之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．已知i是虚数单位，则=（　　）‎ ‎　 A． 1 B． i C． ﹣i D． ﹣1‎ 考点： 复数代数形式的乘除运算．‎ 专题： 数系的扩充和复数．‎ 分析： 利用复数的运算法则即可得出．‎ 解答： 解：==﹣1，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．sin15°﹣cos15°=（　　）‎ ‎　 A． B． C． ﹣ D． ﹣‎ 考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 利用两角和差的正弦公式，进行化简即可．‎ 解答： 解：sin15°﹣cos15°=sin（15°﹣45°）==﹣，‎ 故选：C．‎ 点评： 本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（　　）‎ ‎　 A． B． 1﹣ C． D． 1﹣‎ 考点： 几何概型．‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： 画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积．‎ 解答： 解：如图正方形的边长为4：‎ 图中白色区域是以AB为直径的半圆 当P落在半圆内时，∠APB＞90°；‎ 当P落在半圆上时，∠APB=90°；‎ 当P落在半圆外时，∠APB＜90°；‎ 故使∠AMB＞90°的概率P===．‎ 故选：A．‎ 点评： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．‎ ‎　‎ ‎6．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的表面积为（　　）‎ ‎　 A． 38 B． 38﹣‎2 C． 38+2 D． 12﹣π 考点： 由三视图求面积、体积．‎ 专题： 计算题；空间位置关系与距离．‎ 分析： 根据几何体的三视图，得出该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，求出它的表面积即可．‎ 解答： 解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是长方体的中间去掉一个圆柱的组合体，‎ 且长方体的长为4，宽为3，高为1，‎ 圆柱的底面圆半径为1，高为1；‎ 所以该组合体的表面积为 S长方体﹣2S底面圆+S圆柱侧面=2（4×3+4×1+3×1）﹣2×π×12+2×π×1×1=38．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了利用空间几何体的三视图求组合体的表面积的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x+2）是R上的偶函数，当x＞2时，f（x）=x2+1，则当x＜2时，f（x）=（　　）‎ ‎　 A． x2+1 B． x2﹣8x+‎5 C． x2+4x+5 D． x2﹣8x+17‎ 考点： 函数奇偶性的性质．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 先由函数f（x+2）是R上的偶函数，求出对称轴，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x＞2时，求解函数的解析式．‎ 解答： 解：∵函数f（x+2）是R上的偶函数，函数关于x=2对称，可得f（x）=f（4﹣x），‎ ‎∵x＞2时，f（x）=x2+1，‎ 由x＜2时，﹣x＞2，4﹣x＞6，可得∴f（4﹣x）=（4﹣x）2+1=x2﹣8x+17，‎ ‎∵f（x）=f（4﹣x）=x2﹣8x+17．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了函数奇偶性的性质，以及将未知转化为已知的转化化归思想，是个中档题．‎ ‎　‎ ‎8．设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（　　）‎ ‎　 A． 2 B． C． 1 D． ‎ 考点： 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|﹣t|2的最小值，开方可得．‎ 解答： 解：设向量，的夹角为θ，‎ ‎∵||=||=|+|=1，‎ ‎∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，‎ 解得cosθ=，∴θ=，‎ ‎∴|﹣t|2=+t2‎ ‎=t2+t+1=（t+）2+，‎ 当t=时，上式取到最小值，‎ ‎∴|﹣t|的最小值为 故选：D 点评： 本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（　　）‎ ‎　 A． x B． s C． s D． x 考点： 程序框图．‎ 专题： 算法和程序框图．‎ 分析： 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ 解答：解：当k=9，S=1时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=8；‎ 当k=8，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=7；‎ 当k=7，S=时，不满足输出条件，故S值应满足条件，执行循环体后：S=，k=6；‎ 当k=6，S=1时，满足输出条件，故S值应不满足条件，‎ 故判断框内可填入的条件是s，‎ 故选：B 点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（　　）‎ ‎　 A． （2，﹣2） B． （﹣4，0） C． （4，0） D． （7，3）‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．‎ 分析： 由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．‎ 解答： 解：由题意作出其平面区域，‎ 将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，‎ 则由平面区域可知，‎ 使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析（　　）‎ ‎　 A． 甲合适 B． 乙合适 ‎　 C． 油价先高后低甲合适 D． 油价先低后高甲合适 考点： 函数的最值及其几何意义．‎ 专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用．‎ 分析： 设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；两次加油的单价分别为a，b；从而可得司机甲两次加油的均价为；司机乙两次加油的均价为；作差比较大小即可．‎ 解答： 解：设司机甲每次加油x，司机乙每次加油化费为y；‎ 两次加油的单价分别为a，b；‎ 则司机甲两次加油的均价为=；‎ 司机乙两次加油的均价为=；‎ 且﹣=≥0，‎ 又∵a≠b，‎ ‎∴﹣＞0，‎ 即＞，‎ 故这两次加油的均价，司机乙的较低，‎ 故乙更合适，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（　　）‎ ‎　 A． 310 B． ‎212 C． 180 D． 121‎ 考点： 数列的函数特性；等差关系的确定．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an=1+（n﹣1）d，其前n项和为Sn=，由于数列{}也为等差数列，可得=+，解出d，可得=，利用数列的单调性即可得出．‎ 解答： 解：∵等差数列{an}满足a1=1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an=1+（n﹣1）d，‎ 其前n项和为Sn=，‎ ‎∴=，‎ ‎=1，=，=，‎ ‎∵数列{}也为等差数列，‎ ‎∴=+，‎ ‎∴=1+，‎ 解得d=2．‎ ‎∴Sn+10=（n+10）2，‎ ‎=（2n﹣1）2，‎ ‎∴==，‎ 由于为单调递减数列，‎ ‎∴≤=112=121，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了等差数列的通项公式公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）‎ ‎13．双曲线2x2﹣y2=1的离心率为　　．‎ 考点： 双曲线的简单性质．‎ 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ 分析： 直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率．‎ 解答： 解：由双曲线2x2﹣y2=1可知：a=，b=1，∴c==，‎ 双曲线的离心率为：．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．已知公比为q的等比数列{an}，满足a1+a2+a3=﹣8，a4+a5+a6=4，则=　﹣　．‎ 考点： 等比数列的通项公式．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 由题意和等差数列的求和公式可得（1﹣q3）=﹣8，q3（1﹣q3）=4，整体求解可得．‎ 解答： 解：由题意可得a1+a2+a3=（1﹣q3）=﹣8，①‎ a4+a5+a6=[（1﹣q6）﹣（1﹣q3）]=q3（1﹣q3）=4，②‎ 由①②可得q3=，代入①可得（1+）=﹣8，‎ ‎∴=﹣，‎ 故答案为：﹣‎ 点评： 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及整体代入的思想，属基础题．‎ ‎　‎ ‎15．若直线y=kx与曲线y=x2+x所围成的封闭图形的面积为，则k=　1+或1﹣　．‎ 考点： 定积分．‎ 专题： 导数的概念及应用．‎ 分析： 先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限和积分上限，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值 解答： 解：函数的导数为f′（x）=2x+1，则f′（0）=1，‎ 将y=kx代入y=x2+x得x=0或x=k﹣1，‎ 若k＞1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]|‎ ‎=[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=（k﹣1）3=，‎ 即（k﹣1）3=，即k﹣1==，即k=+1，‎ 若k＜1，则对应的面积S=（kx﹣x2﹣x）dx=[（k﹣1）x2﹣3]|‎ ‎=﹣[（k﹣1）3﹣（k﹣1）3]=﹣（k﹣1）3=，‎ 即（k﹣1）3=﹣，即k﹣1=﹣=﹣，即k=1﹣，‎ 综上k=1+或k=1﹣，‎ 故答案为：1+或1﹣‎ 点评： 本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题 ‎　‎ ‎16．由5个元素的构成的集合M={4，3，﹣1，0，1}，记M的所有非空子集为M1，M2，…，Mn，每一个Mi（i=1，2，…，31）中所有元素的积为mi（若集合中只有一个元素时，规定其积等于该元素本身），则m1+m2+…+m33=　﹣1　．‎ 考点： 集合中元素个数的最值．‎ 专题： 计算题；集合；二项式定理．‎ 分析： 方法一：若非空子集中含有元素0，则其所有元素的积为0；从而转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，再一一列举求和即可；‎ 方法二：由二项式的推导思想可知，m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1=﹣1．‎ 解答： 解：方法一：若非空子集中含有元素0，‎ 则其所有元素的积为0，‎ 所以可转化为集合{4，3，﹣1，1}的所有非空子集中所有元素的积的和，‎ ‎①当子集中有1个元素时，‎ ‎4+3+1﹣1=7，‎ ‎②当子集中有2个元素时，‎ ‎4×3+4×（﹣1）+4×1+3×（﹣1）+3×1+（﹣1）×1=11，‎ ‎③当子集中有3个元素时，‎ ‎+++=﹣7，‎ ‎④当子集中有4个元素时，‎ ‎4×（﹣1）×3×1=﹣12；‎ 故m1+m2+…+m31=7+11﹣7﹣12=﹣1；‎ 方法二：由题可得，‎ m1+m2+…+m31=（1+4）（1+3）（1﹣0）（1﹣1）（1+1）﹣1‎ ‎=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点评： 本题考查了集合的子集的求法及二项式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分0分）‎ ‎17．已知函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x ‎（1）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）已知△ABC的面积为，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=5，求a的值．‎ 考点： 余弦定理；三角函数的最值．‎ 专题： 解三角形．‎ 分析： （1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2x+）+，从而求得函数的最大值．‎ ‎（2）根据f（A）=，求得A的值，再根据△ABC的面积为，求得bc=4，结合b+c=5求得b、c的值，再利用余弦定理求得a的值．‎ 解答： 解：（1）函数f（x）=sinxcos（x﹣）+cos2x=sinx（cosx+sinx）+（2cos2x﹣1）‎ sinxcosx+cos2x=（sinxcosx+cos2x）+=sin（2x+）+，‎ 故函数的最大值为+=．‎ ‎（2）由题意可得f（A）==sin（‎2A+）+，∴sin（‎2A+）=．‎ 再根据‎2A+∈（，），可得‎2A+=，A=．‎ 根据△ABC的面积为bc•sinA=，∴bc=4，又∵b+c=5，∴b=4、c=1，或b=1、c=4．‎ 利用余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=13∴a=．‎ 点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的值域，余弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答 ‎（1）求小明至少取到1道主观题的概率 ‎（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是，答对每道主观题的概率都是，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求x的分布列和数学期望．‎ 考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ 专题： 概率与统计．‎ 分析： （1）确定事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有=“小明所取的3道题都是客观题”利用对立事件求解即可．‎ ‎（2）根据题意X的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求解相应的概率，求出分布列，运用数学期望公式求解即可．‎ 解答： 解：（1）设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”‎ 则有=“小明所取的3道题都是客观题”‎ 因为P（）==‎ P（A）=1﹣P（）=．‎ ‎（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3．‎ P（X=0）=（）2=．‎ P（X=1）=•（）1•（）1+（）2=．‎ P（X=2）=（）2+•（）1•（）1=，‎ P（X=3）=（）2=‎ ‎∴X的分布列为 ‎ X 0 1 2 3‎ ‎ P ‎ ‎∴E（X）=0×=2．‎ 点评： 本题综合考查了离散型的概率分布问题，数学期望，需要直线阅读题意，准确求解概率，计算能力要求较高，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连结BM ‎（1）求证：AD⊥BM；‎ ‎（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为；‎ ‎（3）求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．‎ 考点： 二面角的平面角及求法．‎ 专题： 空间位置关系与距离；空间角．‎ 分析： （1）根据线面垂直的性质即可证明AD⊥BM；‎ ‎（2）建立空间坐标系结合三棱锥M﹣ADE的体积为，建立方程关系即可；‎ ‎（3）求出平面的法向量，结合坐标系即可求二面角A﹣DM﹣C的正弦值．‎ 解答： （1）证明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，∴AM=BM=，‎ ‎∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．‎ 再由平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，∴BM⊥平面ADM，‎ 结合AD⊂平面ADM，可得AD⊥BM．‎ ‎（2）分别取AM，AB的中点O和N，则ON∥BM，‎ 在（1）中证明BM⊥平面ADM，‎ ‎∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，‎ ‎∵AD=DM，∴DO⊥AM，‎ 建立空间直角坐标系如图：‎ 则D（0，0，），A（，0，0），B（﹣，，0），‎ ‎∴=（﹣，，﹣），‎ ‎∵E是线段DB上的一个动点，‎ ‎∴==（﹣λ，，﹣λ），‎ 则E（﹣λ，，﹣λ），‎ ‎∴=（﹣λ﹣，，﹣λ），‎ 显然=（0，1，0）是平面ADM的一个法向量．‎ 点E到平面ADM的距离d==，‎ 则=，‎ 解得λ=，则E为BD的中点．‎ ‎（3）D（0，0，），M（﹣，0，0），C（﹣，，0），‎ 则=（﹣，0，﹣），=（﹣，，0），‎ 设=（x，y，z）是平面CDM的法向量，‎ 则，‎ 令x=1，则y=1，z=﹣1，即=（1，1，﹣1），‎ 易知=（0，1，0）是平面ADM的法向量，‎ 则cos＜＞==．‎ 点评： 本题主要考查空间直线的垂直的判断，空间三棱锥的体积的计算，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1，（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为，过右焦点F的直线l交椭圆与P，Q两点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得（+）•（﹣）=0？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．‎ 考点： 直线与圆锥曲线的关系．‎ 专题： 直线与圆．‎ 分析： （1）根据题意可以求出b，根据离心率求出a，即可就出椭圆方程；‎ ‎（2）先假设线段OF上存在M满足条件，先考虑两种特殊情况：l⊥x轴、l与x轴重合，在考虑一般情况：l的斜率存在且不为0，设出l的方程与椭圆方程联立，利用坐标来表示向量的数量积，从而得出答案．‎ 解答： （本小题满分12分）‎ 解：（1）由椭圆短轴长为2得b=1，又e==，∴a=，‎ 所求椭圆方程为…（3分）‎ ‎（2）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0≤m≤1），使得（+）•（﹣）=0成立，即或||=||‎ ‎①当l⊥x轴时，显然线段OF上的点都满足条件，此时0≤m≤1…（5分）‎ ‎②当l与x轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m=0…（6分）‎ ‎③法1：当l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．‎ 由 可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，根据根与系数的关系得，…（8分）‎ 设，其中x2﹣x1≠0‎ ‎∵（+）•（﹣）=0∴（x1+x2﹣‎2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0⇒（x1+x2﹣‎2m）+k（y1+y2）=0‎ ‎⇒2k2﹣（2+4k2）m=0⇒m=（k≠0）．‎ ‎∴0＜m＜．‎ ‎∴综上所述：①当l⊥x轴时，存在0≤m≤1适合题意 ‎②当l与x轴重合时，存在m=0适合题意 ‎③当l的斜率存在且不为零时存在0＜m＜适合题意…（12分）‎ 点评： 本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系，本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键，同时考查了学生分情况讨论的思想．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；‎ ‎（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．‎ 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ 专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．‎ 分析： （1）通过函数f（x），得f′（x），然后结合f′（x）与0的关系对a的正负进行讨论即可；‎ ‎（2）对a的正负进行讨论：当a＜0时，f（x）≥b不可能恒成立；当a=0时，此时ab=0； 当a＞0时，由题结合（1）得ab≤‎2a2﹣a2lna，设g（a）=‎2a2﹣a2lna（a＞0），问题转化为求g（a）的最大值，利用导函数即可．‎ 解答： 解：（1）由函数f（x）=ex﹣ax+a，可知f′（x）=ex﹣a，‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；‎ ‎②当a＞0时，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，‎ 故当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；‎ 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．‎ 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在单调递增区间为（﹣∞，+∞）；‎ 当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；‎ ‎（2）由（1）知，当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增且当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，∴f（x）≥b不可能恒成立；‎ 当a=0时，此时ab=0；‎ 当a＞0时，由函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，可得b≤fmin（x），‎ ‎∵fmin（x）=‎2a﹣alna，∴b≤‎2a﹣alna，∴ab≤‎2a2﹣a2lna，‎ 设g（a）=‎2a2﹣a2lna （a＞0），则g′（a）=‎4a﹣（2alna+a）=‎3a﹣2alna，‎ 由于a＞0，令g′（a）=0，得，故，‎ 当时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；‎ 当时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．‎ 所以，即当，时，ab的最大值为．‎ 点评： 本题考查函数的单调性及最值，利用导函数来研究函数的单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD∥EC；‎ ‎（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．‎ 考点： 圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．‎ 专题： 计算题；证明题．‎ 分析： （I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；‎ ‎（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．‎ 解答： 解：（I）证明：连接AB，‎ ‎∵AC是⊙O1的切线，‎ ‎∴∠BAC=∠D，‎ 又∵∠BAC=∠E，‎ ‎∴∠D=∠E，‎ ‎∴AD∥EC．‎ ‎（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，‎ ‎∴PA2=PB•PD，‎ ‎∴62=PB•（PB+9）‎ ‎∴PB=3，‎ 在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，‎ ‎∴PE=4，‎ ‎∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，‎ ‎∴AD2=DB•DE=9×16，‎ ‎∴AD=12‎ 点评： 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．‎ ‎　‎ ‎23．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（其中坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程 ‎（2）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，设P（4，2），求|PM|+|PN|的取值范围．‎ 考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ 专题： 坐标系和参数方程．‎ 分析： （1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，利用即可得出直角坐标方程．‎ ‎（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，，利用根与系数的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4，即可得出．‎ 解答： 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x即为直角坐标方程．‎ ‎（2）把直线l的参数方程代入x2+y2=4x，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，‎ 由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴，‎ ‎∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．‎ ‎∴t1＜0，t2＜0．‎ ‎∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4，‎ 由，可得∈，∴≤1，‎ ‎∴|PM|+|PN|的取值范围是．‎ 点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎24．设函数f（x）=|x﹣a|+1，a∈R ‎（1）当a=4时，解不等式f（x）＜1+|2x+1|；‎ ‎（2）若f（x）≤2的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥3+2．‎ 考点： 绝对值不等式的解法；不等式的证明．‎ 专题： 综合题；不等式．‎ 分析： 对第（1）问，将a=3代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；‎ 对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．‎ 解答： （1）解：当a=4时，不等式f（x）＜1+|2x+1|即为|x﹣4|＜|2x+1|‎ ‎|①当x≥4时，原不等式化为x﹣4＜2x+1，得x＞﹣5，故x≥4；‎ ‎②当﹣≤x＜4时，原不等式化为4﹣x＜2x+1，得x＞1，故1＜x＜4；‎ ‎③当x＜﹣时，原不等式化为4﹣x＜﹣2x﹣1，得x＜﹣5，故x＜﹣5．‎ 综合①、②、③知，原不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）；‎ ‎（2）证明：由f（x）≤2得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，‎ ‎∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，‎ ‎∴得a=1，∴+═a=1．‎ 又m＞0，n＞0，‎ ‎∴m+2n=（m+2n）（+=）=3+（+）≥3+2，‎ 当且仅当m=1+，n=1+时，取等号，故m+2n≥3+2，得证 点评： 1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．‎ ‎2．本题中，“‎1”‎的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．‎ ‎　‎