高考物理复习资料大全机械能守恒定律
第五章 机械能守恒定律
考纲要览
主题
内容
要求
说明
机械能
功和功率
动能和动能定理
重力做功与重力势能
功能关系 机械能守恒定律及其应用
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
实验与探究
实验五：探究动能定理
实验六：验证机械能守恒定律
考向预测
纵观近几年高考,对本章考查的热点包括功和功率、动能定理、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律.考查的特点是灵活性强、综合面大、能力要求高.涉及本章知识的命题不仅年年有、题型全、份量重,而且多年的高考压轴题均与本章的功和能知识有关.解题时需对物体或系统的运动过程进行详细分析、挖掘隐含条件,寻找临界点,综合使用动量守恒、机械能守恒或能的转化与守恒定律求解.
第1课时 追寻守恒量 功
基础知识回顾
1．追寻守恒量
(1) 能量:简称"能".物质运动的一般量度.任何物质都离不开运动,如引力运动、机械运动、分子热运动、电磁运动、化学运动、原子核与基本粒子运动......等.对运动所能作的最一般的量度就是能量,用数学的语言说,能量是物质运动状态的一个单值函数.相应于不同形式的运动,能量分为机械能、内能、电能、磁能、化学能、原子能等.当物质的运动形式发生转变时,能量形式同时发生转变.能量可以在物质之间发生传递,这种传递过程就是作功或传递热量.例如,河水冲击水力发电机作功的过程就是河水的机械能传递给发电机,并转变为电能.自然界一切过程都服从能量转化和守恒定律,物体要对外界作功,就必须消耗本身的能量或从别处得到能量的补充.因此.一个物体的能量愈大,它对外界就有可能做更多的功.
(2) 机械能:物质机械运动的量度.包括动能、重力势能和弹性势能.
(3) 动能:物体由于运动而具有的能量.
(4) 势能:相互作用的物体凭借其位置而具有的能量.
2．功的概念
（1）定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力做了功.
（2）做功的两个必要条件：a、力； b、物体在力的方向上发生位移.
（3）功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号J，其物理意义是：1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m的位移时所做的功.
（4）功是标量，只有大小，没有方向.
（5）功是过程量，即做功必定对应一个过程（位移）应明确是哪个力在哪个过程中对哪个物体做功.
3、功的计算
（1）功的一般计算公式： W=Flcosθ
（2）条件：适用于恆力所做的功
（3）字母意义：F——力
l——物体对地位移
θ——F、l正方向之间的夹角
4、正负功的意义
（1）根据功的计算公式W=Flcosθ可得到以下几种情况：
①当θ＝90o时，cosθ＝0，则W＝0即力对物体不做功；
②当00≤θ<90o时， cosθ>0，则W>0，即力对物体做正功；
③当90o<θ≤180o时，则cosθ<0，即力对物体做负功，也常说成物体克服这个力做功；
（2）功的正负既不表示方向，也不表示大小，它表示：正功是动力对物体做功，负功是阻力对物体做功.
5、作用力与反作用力的功
作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功也可能做负功；不要以为作用力与反作用力大小相等，方向相反，就一定有作用力、反作用力的功，数值相等，一正一负.
6、总功的求法
（1）先求外力的合力F合，再应用功的公式求出总功：W=F合lcosα
（2）先分别求出各外力对物体所做的功W1、W2、W3……，总功即这些功的代数和：W=W1+W2+W3+……
重点难点例析
一、判断力是否做功及其正负的方法：
1.看力F与l夹角α——常用于恒力做功的情形.
2.看力F与v方向夹角α——常用于曲线运动情形.
若α为锐角做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功.
θ
图5-1-1
θ
N
FN
G
【例1】如图5-1-1所示，小物体位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物体的作用力（ ）
A.垂直于接触面，做功为零；
B.垂直于接触面，做功不为零；
C.不垂直于接触面，做功为零；
D.不垂直于接触面，做功不为零.
【解析】由于斜面是光滑的，斜面对物体的作用力只有支持力N，方向一定垂直于斜面.若斜面固定不动，物体沿斜面运动时，支持力N与物体位移方向垂直，不做功，但当斜面不固定时，物体沿斜面下滑的同时，在N的反作用力作用下，斜面要向后退，如图5-1-1所示，物体参与了两个分运动：沿斜面的下滑；随斜面的后移，物体的合位移l与支持力N的夹角α大于90°，故支持力N对物体做负功，做功不为零.选项B正确.
【答案】B
【点拨】恒力是否做功及做功的正负关见看力F与l夹角α, 若α为锐角做正功，若α为直角则不做功，若α为钝角则做负功.
● 拓展
下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功 B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
【解析】：A引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功.C杠铃在此时间内位移为零.D木块的支持力与位移方向垂直，所以，支持力不做功.故A、C、D是正确的.
【答案】ACD
二、求变力的功:
1.化变力为恒力：
(1) 分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功.
(2)用转换研究对象的方法求变力所做的功.
2. 若F是位移l的线性函数时，先求平均值，由求其功.
例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
解：
∴
3. 作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功.
s
F
0
图5-1-2
Kd+d′
d+d′
kd
d
C
A
B
D
在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功.对于方向不变，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功,上述例题也可用图象法来求解.因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F=kd，其图象为图5-1-2所示.
铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，
即
解得
【例2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h，空气的阻力大小恒为F
，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）
A．0 B．－Fh
C．－2Fh D．－4Fh
【解析】从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，
即
【答案】C
【点拨】空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做功时，不可简单地套用功的计算公式得出W=0的错误结论.从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程小球路程的乘积.
● 拓展
F
β
B
A
α
H
图5-1-3
如图5-1-3在光滑的水平面上，物块在恒力F＝100Ｎ的作用下从A点运动到B点，不计滑轮的大小，不计绳与滑轮的质量及绳、滑轮间的摩擦，Ｈ＝2.4 ｍ，α＝37°，β＝53°，求绳的拉力对物体所做的功.
【解析】绳的拉力对物体来说是个变力（大小不变，方向改变），但分析发现，人拉绳却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子做的功来求绳对物体所做的功W=F·l=F()=100 J
【答案】W=F·l=F()=100J
三、分析摩擦力做功:
不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功.力做功是要看哪个力对哪个物体在哪个过程中做的功，而不是由力的性质来决定的.力做正功还是做负功要看这个力是动力还是阻力.摩擦力可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直.
☆ 易错门诊
图5-1-4
【例3】物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图5-1-4所示，再把物块放到P点自由滑下则（ ）
A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边
C.物块将会落在Q点的右边
D.物块有可能落不到地面上
【错解】因为皮带轮转动起来以后，物块在皮带轮上的时间长，相对皮带位移量大，摩擦力做功将比皮带轮不转动时多，物块在皮带右端的速度将小于皮带轮不动时，所以落在Q点左边，应选B选项.【错因】学生的错误主要是对物体的运动过程中的受力分析不准确.实质上当皮带轮逆时针转动时，无论物块以多大的速度滑下来，传送带给物块施的摩擦力都是相同的，且与传送带静止时一样，由运动学公式知位移相同.从传送带上做平抛运动的初速度相同，水平位移相同，落点相同.
【正解】物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动.离开传送带时做平抛运动.当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反. 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q点，所以A选项正确.
【点悟】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了.
（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边.
（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边.
（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边.
课堂自主训练
图5-1-5
1.如图5-1-5所示，木块A放在木块B的左上端，用恒力F将A拉至B的右端．第一次将B
固定在地面上，F做的功为 W1；第二次让B可以在光滑的地面上自由滑动，F做的功为W2．比较两次做功，应有( )
A． B．
C． D．无法比较．
【解析】根据功的定义，力F做的功只与力的大小及力的方向上发生的位移大小的乘积有关，位移的大小与参考系的选择有关，在没有指定参考系时，一般是以地球为参考系，A物相对于B的位移在两种情况下是一样的，但在第一种情况中，B相对于地面是静止的，故第二次A对地的位移大于第一次A对地的位移，即第二次做功多一些．正确选项为A．
【答案】A
【点悟】功的计算公式中的位移l一般均是以地球为参考系
2．如图5-1-6所示，一个质量为m的木块，放在倾角为α的斜面体上，当斜面与木块保持相对静止沿水平方向向右匀速移动距离s的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？合力的功是多少？
【解析】木块发生水平位移的过程中，作用在木块上共有三个力，重力mg，支持力F1，静摩擦力F2，根据木块的平衡条件，由这三个力的大小，物体的位移及力与位移的夹角．即可由功的计算公式算出它们的功．
沿斜面建立直角坐标将重力正交分解，由于物体相对斜面静止而在水平面上做匀速运动，根据力的平衡条件可得：
斜面对木块的支持力 F1=mgcosа；斜面对木块的静摩擦力 F2=mgsinа
支持力F1与位移S间的夹角为900+а，则支持力做的功为 W1= F1Scos(900+а)=－mgScosаsinа
摩擦力与位移s的夹角为α，则摩擦力做功为
重力与位移的夹角为90°，则重力做的功为
合力做的功等于各个力做功的代数和，即
课后创新演练
1．关于功是否为矢量，下列说法正确的是（ B ）
A．因为功有正功和负功，所以功是矢量
B．.因为功没有方向性，所以功是标量
C．力和位移都是矢量，功也一定是矢量
D．力是矢量，功也是矢量
2．物体在两个相互垂直的力作用下运动，力F1对物体做功6J，物体克服力F2做功8J，则F1、F2的合力对物体做功为（ D ）
图5-1-6
A．14J B．10J C．2J D．－2J
3．一个水平方向的恒力F先后作用于甲、乙两个物体，先使甲物体沿着粗糙的水平面运动距离s，做功的数值为W1；再使乙物体沿光滑的斜面向上滑过距离s，做功的数值为W2，则（ A ）
A．W1=W2 B．W1>W2
C．W1
W2>W3 D. W1＝W2v2'
B.v20,机械能增加.
WF<0,机械能减少.
重点难点例析
一、应用机械能守恒定律解题的步骤：
1.根据题意选取研究对象（物体或系统）；
2.分析研究对象在运动过程中的受力情况以及各力做功的情况，判断机械能是否守恒；
3.确定运动的始末状态，选取零势能面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；
4.根据机械能守恒定律列出方程进行求解
注意：列式时，要养成这样的习惯，等式作左边是初状态的机械能而等式右边是末状态的机械能，这样有助于分析的条理性.
图5-5-1
【例1】如图5-5-1所示，光滑的倾斜轨道与半径为R的圆形轨道相连接，质量为m的小球在倾斜轨道上由静止释放，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点，小球释放点离圆形轨道最低点多高？通过轨道点最低点时球对轨道压力多大？
【解析】 小球在运动过程中，受到重力和轨道支持力，轨道支持力对小球不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．取轨道最低点为零重力势能面．
因小球恰能通过圆轨道的最高点C，说明此时，轨道对小球作用力为零，只有重力提供向心力，根据牛顿第二定律可列 得
在圆轨道最高点小球机械能:
在释放点，小球机械能为:
根据机械能守恒定律 列等式： 解得
同理，小球在最低点机械能
小球在B点受到轨道支持力F和重力根据牛顿第二定律，以向上为正，可列
据牛顿第三定律，小球对轨道压力为6mg．方向竖直向下．
● 拓展
图5-5-2
如图5-5-2长l=80cm的细绳上端固定，下端系一个质量m＝100g的小球.将小球拉起至细绳与竖立方向成60°角的位置，然后无初速释放.不计各处阻力，求小球通过最低点时，细绳对小球拉力多大？取g=10m/s2.
【解析】小球运动过程中，重力势能的变化量，此过程中动能的变化量.机械能守恒定律还可以表达为
即
整理得 又在最低点时，有
在最低点时绳对小球的拉力大小
通过以上各例题，总结应用机械能守恒定律解决问题的基本方法.
二、机械能守恒定律在多个物体组成系统中的应用
对单个物体能用机械能守恒定律解的题一般都能用动能定理解决．而且省去了确定是否守恒和选定零势能面的麻烦，反过来，能用动能定理来解决的题却不一定都能用机械能守恒定律来解决，在这个意义上讲，动能定理比机械能守恒定律应用更广泛更普遍。故机械能守恒定律主要应用在多个物体组成的系统中.
A
B
O
图5-5-3
A
【例2】如图5-5-3所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴.AO、BO的长分别为2L和L.开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方.让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm.
【解析】以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒.
A
B
O
v
v/2
图5-5-4
(1)过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加， A的即时速度总是B的2倍, 如图5-5-4所示.
由系统机械能守恒有:
O
A
B
α
α
图5-5-5
，解得
⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角.如图5-5-5所示,
由系统机械能守恒有:
2mg2Lcosα=3mgL(1+sinα)，此式可化简为
4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得
sin(53°-α)=sin37°，α=16°
B
O
θ
A
θ
A
图5-5-6
⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG.设OA从开始转过θ角时B球速度最大，如图5-5-6所示.
=2mg2Lsinθ-3mgL(1-cosθ)
=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgL，
解得
● 拓展
如图5-5-7所示，在质量不计长为L的不能弯曲的图5-5-7
轻直杆的一端和中点分别固定两个质量均为m的小球A、B，杆的另一端固定在水平轴O处，杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状态，从静止开始释放，当杆转到竖直位置时，两球速度vA、vB分别为多少？
【解析】
AB两球和地球组成的系统由于只有重力势能跟动能的相互转化，所以机械能守恒.初、末态分别选在水平位置、竖直位置，零势面选在竖直位置时，A球所在的水平面，由机械能守恒定律得：
…………①
由于两球转动时的角速度相同
……………②
由可解得：
三、机械能守恒定律在多个过程系统中的应用
多物体多过程系统的机械能守恒问题要特别注意机械能守恒定律成立的条件,守恒条件的表达很简单,但在一些具体问题中来判断还是有一定难度的,例如:一般情况下碰撞过程中的系统的机械能是不守恒的(弹性碰撞例外).此处常常容易出错.
☆ 易错门诊
图5-5-8
【例3】质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图5-5-8所示.物块从钢板正对距离为3 x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动.已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O点的距离.
【错解】物块m从A处自由落下，则机械能守恒
设钢板初位置重力势能为0，则
(1)
之后物块与钢板一起以v0向下运动，然后返回O点，此时速度为0，运动过程中因为只有重力和弹簧弹力做功，故机械能守恒.
(2)
2m的物块仍从A处落下到钢板初位置应有相同的速度v0,与钢板一起向下运动又返回机械能也守恒.返回到O点速度不为零，设为v则：
(3)
因为m物块与2m物块在与钢板接触时，弹性势能之比EP：E/P=1：1
2m物块与钢板一起过O点时，弹簧弹力为0，两者有相同的加速度g.之后，钢板由于被弹簧牵制，则加速度大于g，两者分离，2m物块从此位置以v为初速竖直上抛上升距离
(5)
由(1)～(4)式解得v代入（5）解得
【错因】这是一道综合性很强的题.错解中由于没有考虑物块与钢板碰撞之后速度改变这一过程，而导致错误.另外在分析物块与钢板接触位置处，弹簧的弹性势能时，也有相当多的人出错，两个错误都出时，会发现无解.这样有些人就返回用两次势能相等的结果，但并未清楚相等的含义.
【正解】物块从3x0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒.则有
(1)
v0为物块与钢板碰撞时的的速度.因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒.设v1为两者碰撞后共同速
mv0=2mv1 (2)
两者以vl向下运动恰返回O点，说明此位置速度为零。运动过程中机械能守恒。设接触位置弹性势能为Ep，则
(3)
同理2m物块与m物块有相同的物理过程
碰撞中动量守恒2mv0=3mv2 (4)
所不同2m与钢板碰撞返回O点速度不为零，设为v则
(5)
因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化
Ep=E’p (6)
由于2m物块与钢板过O点时弹力为零.两者加速度相同为g，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g，所以与物块分离，物块以v竖直上抛.上升距离为:
(7)
由(1)～(6)式解得v代入（7）解得
【点拨】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化的.守恒等多个知识点.是一个多运动过程的问题。关键问题是分清楚每一个过程.建立过程的物理模型，找到相应解决问题的规律.弹簧类问题，画好位置草图至关重要.
课堂自主训练
零势面
v
图5-5-9
零势面
v
图5-5-9
1.如图5-5-9所示,总长L的光滑匀质铁链跨过一个光滑轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，其一端下落，刚铁链刚脱离滑轮的瞬间速度为多少？
【解析】取底面为零势面，下落过程只有重力做功，机械能守恒，初态时：
末态时：
由 有
v1
v2
图5-5-10
2.如图5-5-10所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H，木块的倾角为θ，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度.
【解析】此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度v1和木块的速度v2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即:v1cosθ=v2sinθ
由机械能守恒定律可得：
mgH=mv12/2+mv22/2
由上述二式可求得：
v1=sinθ, v2=cosθ.
3.质量为m的小球，沿光滑环形轨道由静止滑下（如图5-5-11所示），滑下时的高度足够大.则小球在最低点时对环的压力跟小球在最高点时对环的压力之差是小球重力的多少倍？
H
A
B
R
图5-5-11
【解析】以小球和地球为研究对象，系统机械能守恒，即
………………………①
…………②
小球做变速圆周运动时，向心力由轨道弹力和重力的合力提供
在最高点A：…………③
在最高点B： ………④
由①③解得：
由②④解得：
课后创新演练
B
图5-5-12
A
1.如图5-5-12所示，两质量相同的小球A、B，分别用线悬线在等高的O1、O2点，A球的悬线比B
比球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，则经过最低点时（悬点为零势能）（ABD ）
A．A球的速度大于B球的速度
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
图5-5-13
D．A球的机械能等于B球的机械能
2．如图5-5-13所示，
小球自高为H的A点
由静止开始沿光滑曲
面下滑，到曲面底B
点飞离曲面，B点处曲
面的切线沿水平方
向．若其他条件不变，
只改变h，则小球的水平射程s的变化情况是 (ABCD )
A．h增大，s可能增大
B．h增大，s可能减小
C．h减小，s可能增大
D．h减小，s可能减小
3．人站在h高处的平台上，水平抛出一个质量为m的物体，物体落地时的速度为v，以地面为重力势能的零点，不计空气阻力，则有（ BC ）
A．人对小球做的功是
B．人对小球做的功是
C．小球落地时的机械能是
D．小球落地时的机械能是
4．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是（ B ）
Ａ．用细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速率圆周运动
Ｂ．细杆栓着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速率圆周运动
Ｃ．物体沿光滑的曲面自由下滑
Ｄ．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动
图5-5-14
5．如图5-5-14所示，长为L1的橡皮条与长为L2的细绳的一端都固定
在O点，另一端分
别系两球A和B，A
和B的质量相等，
现将两绳都拉至水
平位置，由静止释
放放，摆至最低点
时，橡皮条和细绳
长度恰好相等，若
不计橡皮条和细绳
的质量，两球经最低点速度相比 ( B )
A．A球大
B．B球大
m
M
A
B
C
图5-5-15
C．两球一样大
D．条件不足，无法比较
6.如图5-5-15所示，一
轻绳的两端各系一小
球（可视为质点），质
量分别为M和m
（M>m），跨放在一个
光滑的半圆柱体上.两球由水平直径AB的两端由静止释放，当m刚好到达圆柱体的最高点C时，恰好脱离圆柱体.则两小球的质量之比为多少？
【解析】经分析可知，A、B运动时系统内只有动能和重力势能的相互转化，所以系统的机械能守恒，由机械能守恒有
又m在最高点C时作圆周运动，恰好脱离圆柱体，由牛顿第二定律有
由可解得
A
B
h
θ
图5-5-16
7.如图5-5-16所示，跨过同一高度的滑轮的细线连着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆高h=0.2m，开始时让连A的细线与水平杆夹角θ=530，由静止释放，在以后的过程中A能获得的最大速度是多少？（Sin530 = 0.8 , Cos530 = 0.6 , g取10m/s2）
【解析】分析可知：当与A连接的细线运动到竖直方向时，A的速度最大，此时B的速度为零.由于两个物体的运动过程中只有重力做功,系统机械能守恒.由机械能守恒得
所以=1m/s
8.如图5-5-17
所示，光滑水平面AB与竖直面的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，把物块释放，在弹力的作用下获得一个向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：
（1）弹簧对物块的弹力做的功；
（2）物块从B至C克服阻力所做的功；
A
B
C
R
图5-5-17
（3）物块离开C点后落回水平面时动能的大小.
【解析】(1)在B点对物块有：
解得：
由功能关系有：
（2）在C点对物块有：
解得：
在由B到C过程由功能关系有：
（3）在由C到落回地面的过程由机械能守恒有：
第6课时 功能关系 能量守恒定律
基础知识回顾
1．能量的概念
如果一个物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量.因此能量是物体所具有的做功本领。能量具有不同的形式，不同形式的能量之间可以相互转化，但在转化的过程中，能的总量保持不变.
2．功和能的区别和联系
(1)相同点：功和能都是标量，单位均为焦耳.
(2)不同点：功是过程量，能是状态量.
(3)关系：①能的形式多种多样，如机械能、分子势能、电能、光能、内能、风能、原子能.
②各种形式的能可以相互转化.
③做功的过程就是能量由一种形式转化为另一种形式的过程.
④在量值关系上，做了多少功，就有多少能量发生了转化.
综上所述，功是能量转化的量度.做功的过程就是能量转化的过程，能量的转化是通过做功来实现的，力做功与能量的转化有对应关系，因此我们利用功和能的关系分析问题时，一定要搞清楚有哪些力做功，分别伴随着哪几种形式的能之间的转化，什么形式的能增加了，什么形式的能减少了.
3.能量守恒定律
(1)内容:能量既不会消灭,也不会创生,它只会从一种形式转化为其他形式,或者从一个物体转移到另一个物体,而在转化和转移的过程中,能量的总量保持不变.
(2)导致能量守恒定律最后确立的两类重要事实是:确认了永动机的不可能性和发现了各种自然现象之间的相互关系与转化.
(3)建立能量转化与守恒定律工作最有成效的三位科学家是:迈尔、焦耳、亥姆霍兹.
(4) 能量守恒定律的建立,是人类认识自然的一次重大飞跃,是哲学和自然科学长期发展和进步的结果.它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一,而且是大自然普遍和谐性的表现形式.
4.能源和能量耗散
(1)能源是人类社会活动的物质基础.人类对能源的利用大致经历了三个时期,即柴薪时期、煤炭时期、石油时期.煤炭和石油资源是有限的.大量煤炭和石油产品在燃烧时排出的有害气体污染了空气,改变了大气的成分.能源短缺和环境恶化已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题.
(2)散失到周围环境中的内能再也不会自动聚集起来供人类重新利用,这种现象叫做能量耗散.
(3)能量耗散表明,在能源的利用过程中,即在能量的转化过程中,能量在数量上并未减少,但在可利用的品质上降低了,从便于利用的变成了不便于利用的了.这是能源危机更深层次的含意,也是“自然界的能量虽然守恒,但还要节约能源”的根本原因.
(4)能量耗散从能量转化的角度反映出自然界中宏观过程的方向性.
重点难点例析
一.做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度.
需要强调的是：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应.两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”.
复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系.突出：“功是能量转化的量度”这一基本观念.
⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理.
⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG= -ΔEP，这就是势能定理.
⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其=ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理.
⑷当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒.
⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能:f d=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）.
C
A
B
D
图5-6-1
【例1】一质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，如图5-6-1所示，今在最低点C施加一竖直向下的力，将绳索拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置将 （ ）
A .升高 B.降低
C.先降低后升高
D.始终不变
【解析】物体的重心不一定在物体上，对于一些不规则的物体要确定重心是比较困难的，本题绳子的重心是不容易标出的，因此，要确定重心的变化，只有通过别的途径确定.当用力将物体缓慢地从C点拉到D点，外力在不断的做功，而物体的动能不增加，因此外力做功必定使物体的重力势能增加，故物体的重心将升高.
【答案】A
● 拓展
A
B
C
D
图5-6-2
D
A
B
C
如图5-6-2所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球.小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零.小球下降阶段下列说法中正确的是( )
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球动能最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
【解析】小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确.从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确.A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确.选B、C、D.
【答案】BCD
二.能量守恒定律是自然界最基本的定律之一
在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色.本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的.
B
L
L
A
C
D
图5-6-3
【例2】一传送带装置示意图如图5-6-3所示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，末画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h.稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L.每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）.已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N.这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦.求电动机的平均输出功率P.
【解析】以地面为参考系(下同),设传送带的运动速度为v0,在水平段运输的过程中,小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动.设这段路程为s,所用时间为t,加速度为a,则对小箱有
①
v0 =at ②
在这段时间内，传送带运动的路程为
S0= v0t ③
由以上可得
S0=2S ④
用表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱为
⑤
传送带克服小箱对它的摩擦力做功
⑥
两者之差就是克服摩擦力做功产生的热量
⑦
可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。
T时间内，电动机输出的功为
W=PT ⑧
此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即
⑨
已知相邻两个小箱的距离为L，所以
⑩
联立⑦⑧⑨⑩，得
【点拨】电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能.摩擦生热也可以由Q=f d求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程.本题中设传送带速度一直是v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv2/2.因此有W=mv2+mgh.
● 拓展
如图5-6-4所示,质量为图5-6-4
B
C
v
2v
A
B
m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ.
⑴试分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？
(2)为使B、C不相撞，A木板至少多长？
【解析】(1)B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止.这段时间为
B刚好相对于A 静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度为
这段加速经历的时间为
最终A将以做匀速运动
(2)全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热为
由能量守恒定律列式：
解得:
这就是A木板应该具有的最小长度.
【点拨】本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B、C与A摩擦生热之比：第一阶段B对A的位移就是对地的位移：sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍,因此C对A的位移是其3倍：sC=3v2/2μg；第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/= 4v2/9μg，相对于A位移是v2/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是dB= v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系统摩擦生热为μmg(dB+ dC)=7mv2/3，dB∶dC=3∶11
三.摩擦生热
一对摩擦力对系统所做的总功等于系统机械能的减少,也等于系统转化为内能的能量.其大小可用公式:Q=fd来计算.要特别注意:d是物体的相对位移.也可用能量守恒定律求解.还可用动能定理分别对物体列方程求解.
☆ 易错门诊
【例3】如图5-6-5所示，质量为M的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以速度v0射入木块中.设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f，且子弹未射穿木块.若子弹射入木块的深度为D，则图5-6-5
木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？
【错解】（1）以木块和子弹组成的系统为研究对象.系统沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒.设子弹和木块共同速度为v.据动量守恒有
mv0=（M＋m）v
解得v = mv0/(M+m)
子弹射入木块过程中，摩擦力对子弹做负功
①
摩擦力对木块做正功
②
将式①求得代入②解得:
（2）系统损失的机械能即为子弹损失的功能
【错因】错解(1)中错误原因是对摩擦力对子弹做功的位移确定错误.子弹对地的位移并不是D，而D打入深度是相对位移.而求解功中的位移都要用对地位移.错解(2)的错误是对这一物理过程中能量的转换不清楚.子弹打入木块过程中，子弹动能减少并不等于系统机械能减少量.因为子弹减少的功能有一部分转移为木块的动能，有一部转化为焦耳热.
【正解】以子弹、木块组成系统为研究对象.画出运算草图，如图5-6-6所示.系统水平方向不受外力，
图5-6-6
故水平方向动量守恒.据动量守恒定律有
mv0= (M+m)v (设v0方向为正)
解得:
子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：
对子弹 ①
对木块 ②
由运动草图可S木=S子－D ③图5-6-6
由①②③解得
①+②有
即
【点拨】子弹和木块相互作用过程中，子弹的速度由V0减为V，同时木块的速度由0增加到V.对于这样的一个过程，因为其间的相互作用力为恒力，所以我们可以从牛顿运动定律（即f使子弹和木块产生加速度，使它们速度发生变化）、能量观点、或动量观点三条不同的思路进行研究和分析.类似这样的问题都可以采用同样的思路.一般都要首先画好运动草图.
课堂自主训练
1.下列说法中，正确的是（ ）
A. 能就是功，功就是能
B. 做功越多，物体的能就越大
C. 外力对物体不做功，这个物体就没有能
D .能量转化的多少可以用功来量度
【解析】本题考查功和能的概念，功是能量转化的量度，做了多少功，就有多少能量发生了转化，做功多，即转化的能量多，但物体具有的能量并不一定.
【答案】D
F
G
v
a
图5-6-7
2.质量为m的物体在竖直向上的恒力F
作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有
A.物体的重力势能增加了mgH
B.物体的动能减少了FH
C.物体的机械能增加了FH
D.物体重力势能的增加小于动能的减少
【解析】根据题意可画草图如图5-6-7
所示,由势能理可知A正确.由动能定理
可知B错误.由机械能定理可知C正确.由机械能定理可知机械能增加,故D错误.正确答案是A、C.
【答案】AC
M
m
v
图5-6-8
3.如图5-6-8所示质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失.动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端.到最终相对静止为止，摩擦生热多少？
【解析】车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当ML2，现由图示位置内静止释放，则在a下降过程中（ ）
A杆对a不做功 B杆对b不做功
C 杆对a做负功 D杆对b做负功
4．某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5m，在着地过程中地面对他双脚的平均作用力是（ ）
A自身重力的2倍
B自身重力的5倍
C自身重力的8倍
D自身重力的10倍
5．在滑冰场上，甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上，原来静止不动，在相互猛推一下后分别向相反方向运动。假定两板与冰面间的摩擦因数相同。已知甲在冰上滑行的距离比乙远，这是由于（ ）
A在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力
B在推的过程中，甲推乙的时间小于乙推甲的时间
C在刚分开时，甲的初速度大于乙的初速度
D在分开后，甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小
二、填空题
6．一条传送带始终水平匀速运动，将一个质量为m＝20Kg的货物无初速地放到传送带上，货物从放上到跟传送带一起匀速运动经过的时间是0.8s，滑行的距离是1.2m
，则货物与传送带间的动摩擦因数μ= ；这个过程中，动力对传送带多做的功是 J
7．如图所示为重物系一纸带通过打点计时器做自由落体运动时得到的实际点迹，测得A、B、C、D、E、F五个点与第一个点O之间的距离分别是19.50、23.59、28.07、32.94、38.20、（单位cm）。已知当地的重力加速度的值为g=9.8m/s2，交流电的频率f=50Hz
（1）从O点开始计时，则D点是打点计时器打下的第 个点（不含O点）
（2）以D点为例，从O点到D点重物的重力势能减少了 J，动能增加了
J，可得出的结论是
. .
B
A
C
D
E
O
三、计算题
8．一列火车在机车牵引下沿水平轨道行驶，经过时间t，其速度由O增加到Vo，已知列车总质量为m，机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力，求这段时间内列车通过的路程.
O
A
B
9．一杂技运动员骑摩托车沿一竖直圆轨道如图所示做特技表演，若车的速度的大小恒为20m/s2，人与车质量之和为200kg，轮胎与轨道间的动摩擦因数为μ= 0.1，车通过最低点A时，发动机功率为12KW，求车通过最高点B时发动机的功率(g取10m/s2)
A
B
C
O
R
60o
10．半径R=0.50m的光滑圆环固定在竖直平面内，如图所示，轻质弹簧的一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m = 0.20kg的小球，小球套在圆环上，已知弹簧的原长Lo = 0.50m，劲度系数K = 4.8N/m，将小球从图示位置的B点由静止释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C，在C点时弹簧的弹性势能，g取10m/s2。求：
（1）小球经过C点时的速度的大小VC .
（2）小球经过C点时对环的作用力的大小和方向.
单元滚动训练参考答案
一、选择题
1.D 2.B 3.C 4.B 5.C
二、填空题
6 0.375 180
7 (1) 13 (2) 3.23m 3.21m 在实验误差允许的范围内,机械能守恒.
三、计算题
8.解析:设这段时间内列车通过的路程为s,由动能定理有:
解得:
9. 解析: 车通过最低点A时,设牵引力为F,由得
由牛顿定律有:(R为圆的半径) 由速度不变有:可解得:
R=20m. 车通过最高点B时, 设牵引力为F’,由牛顿定律有:可解得:
N’=2×103N, 由速度不变有:得:F’=2×102N,故W
10. 解析: (1)由机械能守恒定律有:可解得:
=3m/s.
(2)由牛顿定律有: 又因为
所以.即小球经过C点时对环的作用力的大小为0.5N,方向竖直向上.
