高考理科数学试题及详细答案广东卷

高考理科数学试题及详细答案广东卷

绝密★启用前 试卷类型：B ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。‎ 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 ‎２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，‎ Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２‎ ‎３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎４．巳知等比数列满足，且，则当时，‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎5．给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④‎ ‎6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为 Ａ．６ Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．‎ ‎7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 Ａ．36种 Ｂ．12种 Ｃ．18种 Ｄ．48种 ‎8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A．在时刻，甲车在乙车前面 B．时刻后，甲车在乙车后面 C．在时刻，两车的位置相同 D．时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（９～１２题）‎ ‎９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的 ，s表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）‎ ‎10．若平面向量满足，平行于轴，，则 ．‎ ‎11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．‎ ‎12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．‎ ‎（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 ．‎ ‎14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ．‎ ‎15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且，则圆的面积等于 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，‎ ‎16．(本小题满分12分）‎ 已知向量互相垂直，其中．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知 ‎）‎ ‎18．（本小题满分１４分）‎ 如图６，已知正方体的棱长为２，点Ｅ是正方形的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱的中点．设点分别是点Ｅ、Ｇ在平面内的正投影．‎ ‎（１）求以Ｅ为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（２）证明：直线；‎ ‎（３）求异面直线所成角的正弦值 ‎19．（本小题满分１４分）‎ 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎（１）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（２）若曲线与点有公共点，试求的最小值．‎ ‎20．（本小题满分１４分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．‎ ‎21．（本小题满分１４分）‎ 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（１）求数列的通项公式；‎ ‎（２）证明：‎ 参考答案：‎ ‎ ‎ ‎1．B ‎2．C ‎3．B.‎ ‎4．C ‎5．D ‎6. D.‎ ‎7． A.‎ ‎8． A 二、‎ ‎9．【解析】(或写成),平均数.‎ ‎10．或.‎ ‎11． .‎ ‎12解得,.‎ ‎(二)选做题:第13、14、15题为选做题,考生只能选做其中的两题．‎ ‎13．【解析】;直线:, 直线:,因为,故 ‎.‎ ‎14．【解析】;且,解得且.‎ ‎15．【解析】;设圆的半径为,由正弦定理的,故圆 的面积为.‎ 三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．【解析】（Ⅰ）,‎ 即, 又,‎ ‎ , 而,. ‎ ‎ （Ⅱ）,‎ 将,代入整理得 ‎ ,结合,,‎ 可得.‎ ‎17．【解析】（Ⅰ）依题意, ‎ ‎ 解得 ‎ （Ⅱ）良好的天数为(天); ‎ 轻微污染的天数(天)‎ ‎（Ⅲ）良好或轻微污染的概率为, ‎ 设事件:某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染,则 ‎.‎ E1‎ G1‎ ‎.‎ A G A1‎ D1‎ C1‎ C B D F E B1‎ 图6‎ ‎.‎ ‎18．【解析】（Ⅰ）点分别为棱的中点,‎ 题意即求四棱锥的体积,‎ 又, ‎ 点到面的距离为,‎ 故. ‎ ‎（Ⅱ）在正方形中,,‎ ‎,故 ‎ 又面,面,从而, ‎ ‎∵, ∴面.‎ ‎（Ⅲ）∵,, ‎ ‎∴, ∴为异面直线所成角(或其补角),‎ ‎ 在中,, ‎ 所以 ‎ ∴异面直线所成角的正弦值为.‎ A B l P Q ‎.‎ x y O M ‎.‎ ‎19．【解析】联立,可得,,‎ 故线段的中点,设中点,‎ ‎ 从而有,‎ 解得, 因点在曲线上,‎ ‎ ∴,整理得,又,‎ ‎∴即 ‎ ∴线段的中点的轨迹方程为.‎ ‎ （Ⅱ）曲线(圆):, 圆心在直线上,要使最小,只需圆位于直线的上方,且与直线相切,由点到直线的距离公式有,解得(其中舍去).‎ ‎∴要使曲线与有公共点,则的最小值为.‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）设，则,‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎,解得,又在取极小值, ‎ ‎∴ ,‎ ‎ , , ,‎ 设, 则 ‎ ， ；‎ ‎ （Ⅱ）由, 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，函数有两个零点 ‎；‎ 若，，函数有两个零点 ‎；‎ ‎ 当时,方程有一解,,‎ ‎ 函数有一零点 ‎21．【解析】曲线是圆心为,半径为的圆, 切线:‎ ‎ （Ⅰ）依题意有,解得,又,‎ ‎ 联立可解得,.‎ ‎ （Ⅱ）,‎ ‎ 先证:, ‎ 证法一：利用数学归纳法 ‎ 当时, ,命题成立;‎ ‎ 假设时,命题成立,即,‎ ‎ 则当时,‎ ‎ ∵,‎ 故 ‎ ∴当时,命题成立 ‎ 故成立.‎ 证法二：，，‎ 下证 ‎ 不妨设,令,‎ 则在上恒成立，‎ 故在上单调递减,‎ 从而,即.‎ 综上, 成立.‎