高考小船渡河问题专题解析
小船渡河问题
小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v水（水冲船的运动），和船相对水的运动v船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v是合运动。
小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
1、v水
v船
时间最少 同前
位移最小
不论船的航向如何，总是被水冲向下游，即无论向哪个方向划船都不能使船头垂直于河，只能尽量使船头不那么斜。那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，
v水
θ
v
α
A
B
E
v船
设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据船头与河岸的夹角应为
，船沿河漂下的最短距离为：
此时渡河的最短位移：
典型例题
★某人以不变的速度垂直对岸游去，游到中间，水流速度加大，则此人渡河时间比预定时间
A．增加 B．减少 C．不变 D．无法确定
答案：C
★某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是( )
A．水速大时，路程长，时间长 B．水速大时，路程长，时间短
C．水速大时，路程长，时间不变 D．路程、时间与水速无关
答案: C
★如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）
A. A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用
B. B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游
C. A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游
D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游
答案：A
★★一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A、B，如图所示．已知河宽为80 m，河水流速为5 m/s，两个码头A、B沿水流的方向相距100 m．现有一只船，它在静水中的行驶速度为4 m/s，若使用这只船渡河，且沿直线运动，则( )
A．它可以正常来往于A、B两个码头
B．它只能从A驶向B，无法返回
C．它只能从B驶向A，无法返回
D．无法判断
答案：B
★在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A． B．0 C． D．
答案：C
★某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：A
★小船在s=200 m宽的河中横渡,水流速度是2 m/s,船在静水中的航行速度为4 m/s.求:
（1）小船渡河的最短时间.
（2）要使小船航程最短,应该如何航行?
答案 （1）50 s（2）船速与上游河岸成60°
★★一条河宽100米，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是5m/s，则（ ）
A．该船可能垂直河岸横渡到对岸
B．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短
C．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100米
D．当船横渡时到对岸时，船对岸的最小位移是100米
答案： B
★★河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：
(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?
(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
答案：（1）20s （2）小船的船头与上游河岸成600角时，最短航程为120m
★★小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（ ）
A、小船渡河的轨迹为曲线
B、小船到达离河岸处，船渡河的速度为
C、小船渡河时的轨迹为直线
D、小船到达离河岸处，船的渡河速度为
答案：A
★如图所示，小船从A码头出发，沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为d，划船的速度v船恒定. 河水的流速与到河岸的最短距离x成正比，即）其中k为常量。要使小船能够到达距A码头正对岸为已知距离s的B码头，则下列说法正确的是
A．由于河中各处水速不同，因此不能求出渡河的时间
B．由于河中各处水速不同，因此不能求出划船的速度v船
C．由于河中各处水速不同，因此小船不能到达B码头
D．由于河中各处水速不同，因此小船渡河时应做曲线运动
答案 D
★★小船从A码头出发，沿垂直于河岸的方向渡河，若河宽为d，渡河速度v船恒定，河水的流速与到河岸的距离成正比，即v水=kx
（x≤d/2，k为常量），要使小船能够到达距A正对岸为s的B码头，则
A．v船应为kd2/4s B.v船应为kd2/2s
C．渡河时间为4s/kd D.渡河时间为2s/kd
答案：AC
例 1。 一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若，怎样渡河位移最小？
（3）若，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图1所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当时，（最大）。所以，船头与河岸垂直。
图1
（2）如图2所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。
图2
因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图3所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据
图3
船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：
此时渡河的最短位移：
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
【模型要点】
处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：
（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。
【模型演练】
1.（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 小船渡河的轨迹为曲线
B. 小船到达离河岸处，船渡河的速度为
C. 小船渡河时的轨迹为直线
D. 小船到达离河岸处，船的渡河速度为
答案：A
2．(湖南长沙一中09～10学年高一下学期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不变的划速向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是( )
A．河水流动速度对人渡河无任何影响
B．人垂直对岸划水，其渡河位移是最短的
C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同
D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置向下游方向偏移
答案：D
3．(河北正定中学08～09学年高一下学期月考)某河水的流速与离河岸距离的变化关系如图所示．河宽300，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示．若要使船以最短时间渡河，则( )
A．船渡河的最短时间是75s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
答案：BD
4．有一小船欲从A处渡河，如图所示，已知河宽为400m，其下游300m处是暗礁浅滩的危险水域，水流速度恒为5m/s，欲使小船能安全到达对岸，求：船相对静水的最小速度应是多少？此时船头的指向与河岸的夹角又是多大？
答案：4m/s 37°
解析：小船要想在到达危险区域之前恰好到达对岸，则其合位移必为OA，如图所示，设水速为v1，小船速度为v2，由平行四边形和几何知识知v2⊥v时v2
有最小值，方向如图所示，由图知v2＝v1cosθ，cosθ＝＝0．8，即θ＝37°v1＝4m/s.
