高考数学第一轮复习试题不等式
2011届高考数学第一轮复习精品试题：不等式
必修5 第3章 不等式
§3.1-2不等关系、一元二次不等式
重难点：通过具体情境，能建立不等式模型；掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．
考纲要求：①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．
②会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
③通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
④会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
经典例题：某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车Sm和汽车车速km/h有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01km/h）.
当堂练习：
1. 方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ ）
A．(x+3)(x－1)>0 B．(x+4)(x－1)<0 C．x2－2x+3<0 D．2x2－3x－2>0
3. 不等式组的解集为（ ）
A．（－∞，－2］∪[3，4) B．（－∞，－2］∪（4，+∞）
C．（4，+∞） D．（－∞，－2］∪（4，+∞）
4. 若0
0的解集是（ ）
A．(a，) B．(，a)
C．(－∞，a)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+∞)
8. 若不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 己知关于x的方程(m+3)x 2－4mx +2m－1= 0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是( )
A．－3< m<0 B．0 0 D．m<0 或 m>3
10. 有如下几个命题：
①如果x1, x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根且x10,则的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1
4. 设的最小值是( )
A. 10 B. C. D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有 （ ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
11. 函数的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x, y为非零实数，代数式的值恒为正，对吗？答 .
15. 已知：, 求mx+ny的最大值.
16. 已知．若、, 试比较与的大小，并加以证明.
17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.
18. 设.证明不等式 对所有的正整数n都成立.
必修5 第3章 不等式
§3.5不等式单元测试
1．设，，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2． “”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．不等式的解集不可能是 （ ）
A． B． C． D．
4．不等式的解集是，则的值等于 （ ）
A．－14 B．14 C．－10 D．10
5．不等式的解集是 （ ）
A． B．
C．或 D．
6．若，则下列结论不正确的是 （ ）
A． B． C． D．
7．若，，则与的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．随x值变化而变化
8．下列各式中最小值是2的是 （ ）
A．＋ B． C．tanx＋cotx D．
9．下列各组不等式中，同解的一组是 （ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．如果对任意实数x总成立,则a的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
11．若，则与的大小关系是 .
12．函数的定义域是 .
13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨.
14. 已知, 则不等式的解集___ _ ____.
15．已知是奇函数，且在（－，０）上是增函数，，则不等式的解集是___ _ ____.
16．解不等式：
17．已知，解关于的不等式．
18．已知，求证：。
19．对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围。
20．如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
喷水器
喷水器
21．已知函数.
（1）若对任意的实数，都有，求的取值范围；
（2）当时，的最大值为M，求证：；
（3）若，求证：对于任意的，的充要条件是
必修5 必修5综合测试
1．如果，那么的最小值是（ ）
A．4 B． C．9 D．18
2、数列的通项为=，，其前项和为，则使>48成立的的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（ ）
A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9 C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =2
4、△ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
5、在首项为21，公比为的等比数列中，最接近1的项是（ ）
A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第六项
6、在等比数列中，=6，=5，则等于（ ）
A． B． C．或 D．﹣或﹣
7、△ABC中，已知，则A的度数等于（ ）
A． B． C． D．
8、数列中，=15，（），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（ ）
A． B． C． D．
9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）
A． B． C． D．
10、已知钝角△ABC的最长边为2，其余两边的长为、，则集合
所表示的平面图形面积等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
11、在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=
12．函数的定义域是
13．数列的前项和，则
14、设变量、满足约束条件，则的最大值为
15、《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的大小是
16、已知数列、都是等差数列，=，，用、分别表示数列、的前项和（是正整数），若+=0，则的值为
17、△ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且
（1）求∠B的大小；
（2）若=4，，求的值。
18、已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求通项公式
（2）设，求数列的前项和
19、已知：，当时，
；时，
（1）求的解析式
（2）c为何值时，的解集为R.
20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。
（1）若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
10米
10米
4米
4米
21、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为
（1）求的值及的表达式；
（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；
（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由。
参考答案
第3章 不等式
§3.1不等关系、一元二次不等式
经典例题：79.94km/h
当堂练习：
1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）; 12. ;
13. ; 14. 18;
15. ;
16. ; 17．半圆直径与矩形的高的比为2∶1 ; 18．.
§3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
经典例题：79.94km/h
当堂练习：
1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. （－8，8）; 12. ;
13. ; 14. 18;
15. ;
16. ; 17．半圆直径与矩形的高的比为2∶1 ; 18．.
§3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.
解法一：原不等式|x－2|+|y－2|≤2等价于
作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22的正方形，其面积为8.
解法二：∵|x－2|+|y－2|≤2是|x|+|y|≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，
∴|x－2|+|y－2|≤2表示的平面区域的面积等于|x|+|y|≤2表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|≤2的图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如下图所示的面积为2，故|x|+|y|≤2的面积为4×2=8.
∴所求面积为8.
当堂练习：
1.C; 2.B; 3. ; 4. 甲地运往B地300t，乙地运往A地200t，运往B地150t，运往C地400t，5650元;
5. 思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出
直线x－y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），
代入x－y+5.∵0－0+5=5＞0，∴原点在x－y表示的
平面区域内，即x－y+5≥0表示直线x－y+5=0上及右
下方的点的集合，同理可得x+y≥0表示直线x+y=0
上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.
6. 思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.
解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得
而利润P=（3×400－240）x+（5×100－80）y
=960x+420y（目标函数），
可联立得交点B（1.5，0.5）.
故当x=1.5，y=0.5时，
Pmax=960×1.5+420×0.5=1650，
即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大.
7. 思路分析：可以把a、b分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x－y的最大值和最小值.
解：问题转化为在约束条件下，目标函数z=9a－b的取值范围.
画出可行域如下图所示的四边形ABCD及其内部.
由，解得得点A（0，1）.
当直线9a－b=t通过与可行域的公共点A（0，1）时，
使目标函数z=9a－b取得最小值为zmin=9×0－1=－1.
由解得得点C（3，7）.
当直线9a－b=t通过与可行域的公共点C（3，7）时，
使目标函数z=9a－b取得最大值为zmax=9×3－7=20.
∴9a－b的取值范围是［－1，20］.
8. 思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.
解：直线z=ax+y（a＞0）是斜率为－a，y轴上的截距为z的直线族，从题图可以看出，当－a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（1，4）；当－a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解是（5，2）；
只有当－a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC的斜率为-，所以a=时，z的最大值为×1+4=.
9. 思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144≤0所表示的平面区域.
解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为144>0，因此9x2-16y2+144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线-=1的含有焦点的区域.
(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P与双曲线的顶点(0，±4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16.
(3)取Q(2，0)，则直线PQ的斜率为k=，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由Δ=0得k=±，
由图可知k≥或k≤-.
故所求的取值范围是(-∞，- ］∪［，+∞).
§3.4基本不等式
经典例题：
【 解析】 证法一 假设，，同时大于，
∵ 1－a>0，b>0，∴ ≥，
同理，.三个不等式相加得，不可能，
∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于.
证法二 假设，，同时成立，
∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，
即. （*） 又∵ ≤，
同理≤，≤，
∴≤与（*）式矛盾，
故不可能同时大于.
当堂练习：
1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;
13. ; 14. 对;
15．
16. 【 解析】 ．
∵ 、， ∴ ．
当且仅当＝时，取“＝”号．
当时，有．
∴ ．．
即．
当时，有．
即
17. (1) (2)
18．【 解析】 证明 由于不等式
对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到
又因 以及
因此不等式对所有的正整数n都成立.
§3.5不等式单元测试
1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A;11. ; 12.; 13. 20 ; 14. ;15．;
16．解：原不等式等价于：
或
∴原不等式的解集为
17．解：不等式可化为．
∵，∴，则原不等式可化为，
故当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
18．证明：法一（综合法）
，
展开并移项得：
法二（分析法）
要证，，故只要证
即证，
也就是证，
而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立。
法三：，
法四： ，
∴由三式相加得：
两边同时加上得：
， ∴
19．解：设，
则的图象为一直线，在上恒大于0，故有
，即，解得：或
∴的取值范围是
20．解：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界。依题意得：，（）
问题转化为在，的条件下，求的最大值。
法一：，
由和及得：
法二：∵，，
=
∴当，即，
由可解得：。
答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求。
21． 解：（1）对任意的，都有
对任意的，
∴.
（2）证明：∵∴，即
。
（3）证明：由得，∴在上是减函数，在上是增函数。
∴当时,在时取得最小值，在时取得最大值.
故对任意的，
必修5综合测试
1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.C; 9.D; 10.B;11. ; 12.; 13. 48 ; 14.18; 15.10; 16.5;
17、⑴由
⑵
18、⑴由题意知
所以
⑵当时，数列是首项为、公比为8的等比数列
所以
当时，所以
综上，所以或
19、⑴由时，；时，
知：是是方程的两根
⑵由，知二次函数的图象开口向下
要使的解集为R，只需
即
∴当时的解集为R.
20、⑴由，知
⑵
当且仅当时取等号
∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米.
21、⑴
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
当时，取值为1，2，3，…，共有个格点
∴
⑵
当时，
当时，
∴时，
时，
时，
∴中的最大值为
要使对于一切的正整数恒成立，只需∴
⑶
将代入，化简得，（﹡）
若时，显然
若时（﹡）式化简为不可能成立
综上，存在正整数使成立.
