2015高考数学（文）（不等式的证明及著名不等式）一轮专题练习题
不等式的证明及著名不等式
1．基本不等式
(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么____，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．
(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，
①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值；
②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值．
2．三个正数的算术—几何平均不等式
(1)定理 如果a，b，c均为正数，那么____，当且仅当________时，等号成立．
即三个正数的算术平均________它们的几何平均．
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即____，
当且仅当______________时，等号成立．
3．柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
4．证明不等式的方法
(1)比较法
①求差比较法
知道a>b⇔a－b>0，a
b，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．
②求商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．
(2)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
(3)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．
(4)反证法的证明步骤
第一步：作出与所证不等式______的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．
(5)放缩法
所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．
(6)数学归纳法
设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．
1．已知a<0，b<0，且>，则a，b的大小关系为______．
2．已知a、b、m均为正数，且a0，b>0，则P＝lg(1＋)，Q＝[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]的大小关系为________．
5．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________.
题型一 柯西不等式的应用
例1 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.
思维升华 使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，二维形式的柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为______．
题型二 用综合法或分析法证明不等式
例2 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
求证：(1)(－1)·(－1)·(－1)≥8；
(2)＋＋≤.
思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：(1)a＋b＋c≥；
(2) ＋ ＋ ≥(＋＋)．
题型三 放缩法或数学归纳法
例3 若n∈N*，Sn＝＋＋…＋，求证：，<，>.上面不等式中k∈N*，k>1.
求证：－<1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)．
利用算术—几何平均不等式求最值
典例：(5分)已知a，b，c均为正数，则a2＋b2＋c2＋2的最小值为________．
思维启迪 (1)a2＋b2＋c2，＋＋分别用算术—几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术—几何平均不等式的条件．
解析 因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，
所以2≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式取得最小值6.
答案 6
温馨提醒 (1)利用算术—几何平均不等式求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术—几何平均不等式的结构特点和使用条件．
(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是多次运用算术—几何平均不等式后化简错误；
二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错.
方法与技巧
1．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．
2．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．
失误与防范
1．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．
2．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.
A组 专项基础训练
1．若<<0，则下列四个结论：
①|a|>|b|；②a＋b2；④<2a－b.
其中正确的是________．
2．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．
3．设00，y>0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为__________．
6．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．
7．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．
8．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最大值为________．
9．(2013·天津)设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
10．设a>0，b>0，则以下不等式①>，②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2中恒成立的序号是________．
B组 专项能力提升
1．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为_________________________．
2．函数y＝x2·(1－3x)在上的最大值是________．
3．(2013·陕西)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
4．已知a，b为实数，且a>0，b>0.
则的最小值为________．
5．P＝＋＋(x>0，y>0，z>0)与3的大小关系是________．
6．已知x2＋2y2＋3z2＝，则3x＋2y＋z的最小值为_________________________．
7．设a，b，c都是正数，那么三个数a＋，b＋，c＋________.(填序号)
①都不大于2；
②都不小于2；
③至少有一个大于2；
④至少有一个不小于2.
答案
基础知识自主学习
要点梳理
1．(2)≥ a＝b 正数 不小于(即大于或等于)
(3)①x＝y 大 ②x＝y 小
2．(1)≥ a＝b＝c 不小于 (2)不小于 ≥ a1＝a2＝…＝an
4．(1)①a－b>0 ②>1 (2)充分条件 (4)相反
(5)放大或缩小
夯基释疑
1．a>b
2．Mb>c
解析 分子有理化得a＝，b＝，c＝
∴a>b>c.
4．P≤Q
解析 [lg(1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg.
∵(1＋a)(1＋b)＝1＋(a＋b)＋ab≥1＋2＋ab＝(1＋)2，∴≥1＋，
∴lg(1＋)≤lg＝[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，
即lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．∴P≤Q.
5．2
解析 ∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·[( )2＋( )2＋( )2]
≥2＝18.
∴＋＋≥2.
∴＋＋的最小值为2.
题型分类深度剖析
例1 证明 由于2x＋y＝(x)＋(y)，
由柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)得
(2x＋y)2≤[()2＋()2](3x2＋2y2)≤(＋)×6＝×6＝11，∴|2x＋y|≤，∴2x＋y≤.
跟踪训练1
解析 由柯西不等式(32＋42)·(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，①
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
不等式①中当且仅当＝时等号成立，x2＋y2取得最小值，由方程组解得
因此当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为.
例2 证明 (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
(－1)·(－1)·(－1)＝
≥＝8.
(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
2(a＋b＋c)≥2＋2＋2，
两边同加a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2＋2＋2＝(＋＋)2.
又a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3，
∴＋＋≤.
跟踪训练2 证明 (1)要证a＋b＋c≥，
由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2 (当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
∴原不等式成立．
(2) ＋ ＋ ＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，b≤，c≤.∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca (a＝b＝c＝时等号成立)．∴原不等式成立．
例3 证明 ∵n(n＋1)>n2，
∴Sn>1＋2＋…＋n＝.
又∵<＝＝n＋，
∴Sn<(1＋)＋(2＋)＋…＋(n＋)＝＋＝<.∴k2>k(k－1)，k≥2，
∴<<，
即－<<－，
分别令k＝2,3，…，n得
－<<1－；
－<<－；
…
－<<－；
将上述不等式相加得：
－＋－＋…＋－
<＋＋…＋
<1－＋－＋…＋－，
即－<＋＋…＋<1－，
∴－<1＋＋＋…＋<2－.
练出高分
A组
1．②③④
解析 取特殊值a＝－1，b＝－2，
代入验证得②③④正确．
2．T1≤T2
解析 因为－＝s·
＝≤0.所以T1≤T2.
3．c
解析 由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x>a2，a>0，b>0得b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝>0得c>b，知c最大．
4．4
解析 (1＋)(1＋)≥(1＋)2＝4.
5．M＋＝＝M.
6．M>N
解析 ∵a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，
∴＋>＋.即M>N.
7.
解析 (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.
8.
解析 ＋＋＝ ＋＋
≤ ＝，
故最大值为.
9．－2
解析 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此当a>0时，＋的最小值
是＋1＝；当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.
10．②④
解析 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2.∴≥.故①不恒成立．
②中a＋b>|a－b|恒成立．
③中a2＋b2－4ab＋3b2＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，故③不恒成立．
④中由ab>0及ab＋≥2>2恒成立，
因此只有②④正确．
B组
1．16
解析 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝＋＋10
≥6＋10＝16，当且仅当＝时，上式等号成立．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
2.
解析 由y＝x2·(1－3x)＝·x·x(1－3x)
≤3＝.
3．2
解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
4．9
解析 因为a>0，b>0，
所以a＋b＋≥3＝3>0，①
同理可证：a2＋＋≥3>0.②
由①②及不等式的性质得
＝3×3＝9.
5．P<3
解析 ∵P－3＝－1＋－1＋－1＝＋＋<0，∴P<3.
6．－2
解析 ∵(x2＋2y2＋3z2)[32＋()2＋2]
≥(3x＋y·＋z·)2＝(3x＋2y＋z)2，
当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．
∴(3x＋2y＋z)2≤12，
即－2≤3x＋2y＋z≤2.
当x＝－，y＝－，z＝－时，
3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.
7．④
解析 ∵a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6.∴a＋，b＋，c＋三数之和不小于6，即三个数中至少有一个不小于2.
