三角函数高考常见题型

三角函数高考常见题型

三角函数高考常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题，试题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下五类：‎ ‎ 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。‎ ‎ 例题1.（2012全国卷大纲7）已知为第二象限角，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】.‎ ‎ 例题2.【2012高考真题山东理7】若，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎ 例题3.（2011浙江）（6）若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】‎ 例4. 已知向量。‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）函数，若对任意，恒有,求的取值范围。‎ 解：（1），‎ 即。‎ ‎（2）。‎ ‎，‎ 又 ‎【习题1】‎ ‎1.【2012高考真题辽宁理7】已知，(0，π)，则=‎ ‎(A) 1 (B) (C) (D) 1 【答案】‎ ‎2.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=‎ A． B. C. D. 【答案】‎ ‎3.【2012高考重庆文5】‎ ‎（A）（B）（C） （D） 【答案】‎ ‎4.【2012高考真题四川4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）‎ A、 B、 C、 D、 【答案】‎ ‎5.（2012考江苏11）为锐角，若，则的值为 ▲ ；‎ 若，则等于 .‎ ‎6.已知a∈(，)，sinα=，则tan2α= 【答案】‎ ‎ 二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。‎ ‎ 例题1.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，‎ 则，‎ 即，‎ 所以，‎ 当时，，又，所以有，‎ 解得，即，选A.‎ 例题2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则 ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】A ‎【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴，所以，即.又，所以，所以，因为是函数的对称轴所以，所以，因为，所以，检验知此时也为对称轴，所以选A.‎ 例题3.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ 解：函数和函数 的图像有公共的对称中心，且函数的周期为2，做出两个函数在同一坐标系内的图像，在区间上有两个交点，根据对称性，在上也有两个交点，故所有交点横坐标之和为4，选。‎ 例题4 若，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为1。‎ ‎（1）求函数的解析式； （2）若，求实数的值。‎ 解：由题意得，‎ ‎（1）∵对称中心到对称轴的最小距离为，∴的最小正周期，‎ ‎。‎ 当时，，。‎ ‎。‎ ‎（2）由，得，由，得。‎ 故。‎ ‎【习题2】‎ ‎1.已知函数的图像与一条与 轴平行的直线有三个交点，其中横坐标分别为，则 【答案】‎ 2. 已知函数为常数，的图像关于对称，‎ 则函数是（ ）‎ ‎（A）偶函数且它的图象关于点对称 （B）偶函数且它的图象关于点对称 ‎（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）奇函数且它的图象关于点对称 ‎【答案】‎ ‎3.（2006年湖南文）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是（ ）‎ A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D. ‎ ‎【答案】‎ 4. ‎(2012年全国卷.理科14）函数取最大值时， ‎ ‎【答案】.‎ ‎5.已知对于任意实数都有成立，且，则实数的值为 .【答案】或.‎ ‎ 三、三角函数的图像及性质 ‎【例题】1.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是 ‎【答案】‎ ‎【例题】2.函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（ ）‎ ‎ A． ， ‎ ‎ B． ， ‎ ‎ C． ， ‎ ‎ D． ， ‎ ‎【答案】‎ ‎【例题3】（2012宁波市十校联考.文科）矩形中，轴，且矩形恰好完全覆盖的一个完整周期的图像，当变化时，矩形周长的最小值为　　　　　　　　；‎ ‎【答案】‎ ‎【例题】4.（江西2009年卷.理科18） 如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．‎ 解：（1）将，代入函数得，‎ 因为，所以．又因为，，，所以，‎ 因此．‎ ‎（2）因为点，是的中点，，‎ 所以点的坐标为．‎ 又因为点在的图象上，所以．‎ 因为，所以，‎ 从而得或．即或．‎ ‎【习题3】‎ ‎1.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ D ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．函数的部分图象是( D )‎ ‎3.① 存在使 ‎② 存在区间（a，b）使为减函数而＜0‎ ‎③ 在其定义域内为增函数 ‎④ 既有最大、最小值，又是偶函数 ‎⑤ 最小正周期为π 以上命题错误的为____________.①②③⑤ ‎ ‎ ‎ ‎4.右图为的图象的一段，求其解析式。‎ 解析 法1以M为第一个零点，则A=，‎ 所求解析式为 点M（在图象上，由此求得 ‎ 所求解析式为 法2. 由题意A=，，则 图像过点 ‎ 即 取 所求解析式为 ‎ 四、 三角函数的定义域、值域、最值问题 ‎ 【例题1】求下列函数的定义域 ‎ 1.；【答案】，‎ ‎ 2.. 【答案】 ‎ ‎ 【例题2】（1）已知的定义域为____________.‎ ‎【答案】，()‎ ‎（2）设的定义域为_____________. 【答案】.‎ ‎ 【例题3】求下列函数的值域 ‎ （1）； 【答案】‎ ‎ （2）； 【答案】‎ ‎ （3）； 【答案】‎ ‎ （4）； 【答案】‎ ‎ ‎ ‎ 【 例题4】.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为 ‎ (A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】因为，所以，，即 ‎，所以当时，最小值为，当时，最大值为，所以最大值与最小值之和为，选A.‎ ‎【习题4】‎ ‎1、函数的定义域为[﹣，]，则的定义域为（　　）‎ A、[﹣，] B、[，]‎ C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z） ‎ D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）‎ ‎2．若θ为锐角，则的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．α在第三、四象限，的取值范围是 （ ）‎ ‎ A．（－1，0） B．（－1,） C．（－1,） D．（－1，1）‎ ‎4．函数的值域是 （ ）‎ A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，2] D．[0，1]‎ ‎5.若函数的最大值为，试确定常数的值．‎ ‎ 五、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用 ‎【例题1】【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且。‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】（1），由正弦定理可得，即得，.‎ ‎（2），由正弦定理得，由余弦定理，，解得，.‎ ‎【例题2】【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知,．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．‎ ‎【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。‎ ‎(Ⅰ)∵＝＞0，∴sinA＝，‎ 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA 整理得：tanC＝．‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝，.‎ 又由正弦定理知：，故．‎ ‎ ‎ ‎∴ABC的面积为：S＝．‎ ‎【例题3】（2011浙江卷.理科18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为.‎ 已知且.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值；‎ ‎(Ⅱ)若角为锐角，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）由题设，并利用正弦定理得 ，‎ 解得 或 ；‎ ‎(Ⅱ) 由余弦定理，‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 即，由于，‎ ‎ 所以 ‎【例题4】（2011江西）△的角的对分别是，已知.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎（2）若，求的值。‎ 解：（1）由已知得 即 由 同边平方得：‎ ‎ （2）由，‎ 即 由 由余弦定理得 ‎ 【例题5】（2012年宁波高考一模.理科18）已知，，且满足。‎ ‎ （1）将表示为的函数，并求的最小正周期；‎ ‎ （2）已知分别是的三个内角对应的边长，若对所以的恒成立，且，求的取值范围。‎ 解：（1），的最小正周期是；‎ ‎ ，‎ 由余弦定理,得 ‎，‎ 又，所以的取值范围是.‎ ‎【习题5】‎ ‎1、在△中角所对的边分别是，且满足.‎ （1） 求角的大小；‎ （2） 求的最大值，并求取得最大值时角的大小。‎ ‎2（2011年全国大纲卷.理17）在△中角所对的边分别是已知 ‎=90°，，求角。‎ ‎3、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷四.18）在在△中，角所对的边分别是，向量,，且⊥。‎ （1） 求角 的大小；‎ （2） 求的取值范围。‎ ‎4、（2009年安徽理科.18）△中，.‎ （1） 求的值；‎ （1） 设，求△的面积。‎ ‎5、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷七.18）在△中角所对的边分别是，已知,，△的面积为.‎ （1） 求角的大小；‎ （2） 求的值。‎ ‎6、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷九.18）在△中角所对的边分别是，角为锐角，向量，，且∥.‎ （1） 求角的大小；‎ （2） 如果，求△的面积的最大值。‎ ‎7、（2012浙江省高考命题研究专家原创卷十.18）设为△的三个内角，向量，，且向量的和向量与差向量的数量积为.‎ (1) 求角的大小；‎ (2) 求的取值范围。‎ ‎8、在△中角所对的边分别是，且三边上的高分别是满足.‎ （1） 若在△的面积为，用表示面积；‎ （2） 用表示，并求角的值.‎ ‎9、（金丽衢十二校高三第二次联考.18）已知.‎ （1） 求的值；‎ （1） 在中，角所对的边分别是，若，且，求的值.‎ ‎ ‎ ‎10、（2012年宁波二模.18）已知函数，设的最小内角为，满足.‎ （1) 求角的大小；‎ （2) 若边上的中线长为，求面积的最大值.‎