2015高考数学人教A版本（4-5简单的三角恒等变换）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-5简单的三角恒等变换课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)设<θ<π，且|cosθ|＝，那么sin的值为( )
A. B．－
C．－ D.
[答案] D
[解析] ∵<θ<π，∴cosθ<0，∴cosθ＝－.
∵<<，∴sin>0，
又cosθ＝1－2sin2，∴sin2＝＝，
∴sin＝.
(理)已知x∈(，π)，cos2x＝a，则cosx＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] D
[解析] a＝cos2x＝2cos2x－1，
∵x∈(，π)，∴cosx<0，∴cosx＝－.
2．(2013·山西诊断)已知sin(＋θ)＝，则cos(π－2θ)＝( )
A. B．－
C．－ D.
[答案] D
[解析] 依题意得sin(θ＋)＝cosθ＝，cos(π－2θ)＝－cos2θ＝1－2cos2θ＝1－2×()2＝
，选D.
3．(文)在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tan＋tan＋tan·tan的值是( )
A．± B．－
C. D.
[答案] C
[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，∴B＝，A＋C＝，
∴tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tantan
＝，故选C.
(理)(2013·兰州名校检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，
又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.
4．(文)若cos(x＋y)cos(x－y)＝，则cos2x－sin2y等于( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] B
[解析] ∵cos(x＋y)cos(x－y)＝(cosxcosy－sinxsiny)·(cosxcosy＋sinxsiny)＝cos2xcos2y－sin2xsin2y＝cos2x(1－sin2y)－(1－cos2x)·sin2y＝cos2x－cos2xsin2y－sin2y＋cos2xsin2y＝cos2x－sin2y，∴选B.
(理)已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则sin(x＋y)的值是( )
A．1 B．－1
C. D.
[答案] A
[解析] 两式相加得sinx＋cosx＝siny＋cosy，
∴sin＝sin，
∵x、y为锐角，且sinx－siny<0，∴x
0，化简
cos·＋sin·＝________.
[答案] ±sin
[解析] ∵sinα·cosα<0，∴α为第二或第四象限角，
又∵sinα·tanα>0，∴α为第四象限角，
∴为第二或四象限角．
∴原式＝cos·＋sin·
＝
∴原式＝±sin.
8．已知sinα＝，cosβ＝，其中α、β∈(0，)，则α＋β＝________.
[答案]
[解析] ∵α，β∈(0，)，sinα＝，cosβ＝，
∴cosα＝，sinβ＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
9．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
[答案]
[解析] 本题考查三角函数倍角公式及两角差的正弦公式等知识，考查学生运算能力，
∵0<α<，∴<α＋<，
又cos(α＋)＝，
∴sin(α＋)＝＝，
∴sin2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)
＝2××＝，
cos2(α＋)＝2cos2(α＋)－1
＝2×()2－1＝，
∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]
＝sin2(α＋)cos－cos2(α＋)sin
＝×－×＝.
[点评] 已知三角函数值求值问题，解题策略是用已知条件中的角表示未知角，即用角的变换转化，然后用倍角公式或两角和与差公式求值．
三、解答题
10．(文)已知函数f(x)＝sinx(1＋sinx)＋cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在[－，]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝sinx＋sin2x＋cos2x＝sinx＋1，
∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)f(x)在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，又f(－)0，
解得tan＝2，故tan(＋)＝＝－3.
(理)已知tan(α＋)＝，且－<α<0，则等于________．
[答案] －
[解析] 由已知得＝，解得tanα＝－，
即＝－，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－<α<0，可得sinα＝－，
所以＝＝2sinα
＝2×(－)＝－.
三、解答题
16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．
[解析] (1)f(x)＝cos＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋＝－sin2x，
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)f()＝－sinC＝－，所以sinC＝，
因为C为锐角，所以C＝，
在△ABC中，cosB＝，所以sinB＝，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×＋×＝.
(理)(2013·山东实验中学三诊)设函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求f(x)的解析式；
(3)将满足(2)的函数f(x)的图象向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)的图象与x轴的正半轴、直线x＝所围成图形的面积．
[解析] (1)f(x)＝sin2x＋＋a
＝sin(2x＋)＋a＋，
∴最小正周期T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故函数f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
当x∈[－，]时，函数f(x)的最大值最小值的和(1＋a＋)＋(－＋a＋)＝，
∴a＝0，∴f(x)＝sin(2x＋)＋.
考纲要求
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
补充说明
1．函数与方程的思想
[例1] 已知sinx＋siny＝，求sinx－cos2y的最大、最小值．
[分析] 令u＝sinx－cos2y，消去sinx得u＝－siny－cos2y可转化为二次函数求最值，关键是消元后sinx的范围，同时要转化为siny的取值范围．
[解析] 由sinx＝－siny及－1≤sinx≤1得，
－≤siny≤1.
而sinx－cos2y＝sin2y－siny－
＝(siny－)2－，
所以当siny＝时，最小值为－，
当siny＝－时，最大值为.
[点评] 求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.
2．角的构造技巧与公式的灵活运用
[例2] 求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．
[解析] 解法1：因为40°＝30°＋10°，于是
原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋2＋sin10°·cos10°－sin10°＝(sin210°＋cos210°)＝.
解法2：令sin10°＝a＋b，cos40°＝a－b，则
a＝(sin10°＋cos40°)＝(sin10°＋sin50°)
＝sin30°cos20°＝cos20°，
b＝(sin10°－cos40°)＝(sin10°－sin50°)
＝cos30°sin(－20°)＝－sin20°.
原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)
＝3a2＋b2
＝cos220°＋sin220°＝.
解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，
y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则
x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°
x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－
＝－cos40°－，因此，2x＝，x＝.
[点评] 解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．
解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．
解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．
在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．
你能解决下列问题吗？
(1)求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；
求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；
(2)求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；
求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；
(3)求sin2α＋cos2(α＋60°)＋sinαcos(α＋60°)的值；
求cos2α＋sin2(α＋60°)－cosasin(α＋60°)的值；
(4)若x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny为定值；
若x＋y＝2kπ＋(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sinxsiny为定值.
3．三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．
(1)证明绝对恒等式是根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择恰当途径对条件等式进行变形，直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变形，创造机会代入条件，最终推导出所证等式．
备选习题
1．已知函数f(x)＝2cos2－sinx.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f(α－)＝，求的值．
[解析] (1)因为f(x)＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos(x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．
(2)因为f(α－)＝，
所以1＋2cosα＝，即cosα＝－.
又因为α为第二象限角，
所以sinα＝.
所以＝
＝＝
＝＝.
2．(2013·池州期末)已知α，β∈(0，π)，f(α)＝.
(1)用sinα表示f(α)；
(2)若f(α)＝sinβ，求α及β的值．
[解析] (1)f(α)＝＝.
(2)∵0<α<π，∴sinα>0.
∴f(α)＝sinα＋≥2＝1，
又f(α)＝sinβ≤1，∴f(α)＝1，
此时sinα＝，
即sinα＝，∴α＝或.
又∵0<β<π，0
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