高考江苏卷数学试题解析

高考江苏卷数学试题解析

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中．‎ 棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高．‎ 棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ‎ 1. 已知集合，，则 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 由交集的定义可得．‎ 2. 复数，其中为虚数单位，则的实部是 ．‎ 【答案】 ‎5；‎ 【解析】 由复数乘法可得，则则的实部是5．‎ 3. 在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 ‎，因此焦距为．‎ 4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 ‎，．‎ 5. 函数的定义域是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 ‎，解得，因此定义域为．‎ 6. 如图是一个算法的流程图，则输出的值是 ．‎ 【答案】 ‎9；‎ 【解析】 的变化如下表：‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎5‎ 则输出时．‎ 2. 将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．‎ 3. 已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 设公差为，则由题意可得，， 解得，，则．‎ 4. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ．‎ 【答案】 ‎7；‎ 【解析】 画出函数图象草图，共7个交点．‎ 1. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，， 由可得，，， 则，由可得，则．‎ 2. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 由题意得，， 由可得，则， 则．‎ 1. 已知实数满足 则的取值范围是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 在平面直角坐标系中画出可行域如下 为可行域内的点到原点距离的平方． 可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离， ，则， 图中点距离原点最远，点为与交点，则， 则．‎ 2. 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，， 则的值是 ．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 令，，则，，， 则，，，，，， 则，，， 由，可得，，因此， 因此．‎ 1. 在锐角三角形中，，则的最小值是 ．‎ 【答案】 ‎8；‎ 【解析】 由，， 可得（*）， 由三角形为锐角三角形，则， 在（*）式两侧同时除以可得， 又(#)， 则， 由可得，‎ 令，由为锐角可得，‎ 由(#)得，解得 ‎， ，由则，因此最小值为， 当且仅当时取到等号，此时，， 解得（或互换），此时均为锐角．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ 2. ‎（本小题满分14分）‎ 在中，，，． ⑴ 求的长； ⑵ 求的值．‎ 【答案】 ⑴；⑵ ．‎ 【解析】⑴ ‎，为三角形的内角 ‎，即：；‎ ⑵ 又为三角形的内角 ‎．‎ 2. ‎（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上， 且，．‎ 求证：⑴ 直线平面；‎ ⑵ 平面平面．‎ 【答案】 见解析；‎ 【解析】⑴ 为中点，为的中位线 又为棱柱，‎ ‎，又平面，且 平面；‎ ⑵ 为直棱柱，平面 ‎，又 且，平面 平面，‎ 又，平面 又平面，‎ 又，，且平面 平面，又 平面平面．‎ 1. ‎（本小题满分14分） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍． ⑴ 若，，则仓库的容积是多少； ⑵ 若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？‎ 【答案】 ⑴；⑵；‎ 【解析】⑴ ‎，则， ，， ， 故仓库的容积为；‎ ⑵ 设，仓库的容积为 ‎ 则，，， ， ， ， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，‎ 因此，当时，取到最大值， 即时，仓库的容积最大．‎ ‎[来源:学|科|网]‎ 1. ‎（本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆： 及其上一点． ⑴ 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； ⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程； ⑶ 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．‎ 【答案】 ⑴⑵或⑶；‎ 【解析】⑴ 因为在直线上，设，因为与轴相切， 则圆为， 又圆与圆外切，圆：， 则，解得，即圆的标准方程为；‎ ⑵ 由题意得， 设，则圆心到直线的距离, 则，，即， 解得或，即：或；‎ ⑶ ‎，即，即， ， 又, 即，解得， 对于任意，欲使， 此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为， 必然与圆交于两点，此时，即， 因此对于任意，均满足题意， 综上 ‎．‎ 1. ‎（本小题满分14分） 已知函数． ⑴ 设，． ① 求方程的根； ② 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； ⑵ 若，，函数有且只有1个零点，求的值．‎ 【答案】 ⑴ ①；②；⑵；‎ 【解析】⑴ ‎① ，由可得， 则，即，则，； ② 由题意得恒成立， 令，则由可得， 此时恒成立，即恒成立 ∵时，当且仅当时等号成立， 因此实数的最大值为．‎ ‎，， 由，可得，令，则递增，‎ 而，因此时， 因此时，，，则； 时，，，则； 则在递减，递增，因此最小值为， ① 若，时，，，则； ‎ ‎ logb2时，，，则； 因此且时，，因此在有零点， 且时，，因此在有零点， 则至少有两个零点，与条件矛盾； ② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为， 可得， 由， 因此， 因此，即，即， 因此，则．‎ 1. ‎（本小题满分14分） 记．对数列（）和的子集，若，定义；‎ 若，定义．例如：时，．‎ 现设（）是公比为的等比数列，且当时，． ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 对任意正整数（），若，求证：； ⑶ 设，，，求证：．‎ 【答案】 ⑴；⑵⑶详见解析；‎ 【解析】⑴ 当时，，因此，从而，；‎ ⑵ ‎；‎ ⑶ 设，，则，，， ，因此原题就等价于证明． 由条件可知． ① 若，则，所以． ② 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为， ‎ ‎ 若，则由第⑵小题，，矛盾． 因为，所以，所以， ，即． 综上所述，，因此．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 1. ‎[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，在中，，，为垂足，是中点． 求证：．‎ 【答案】 详见解析；‎ 【解析】 由可得， 由是中点可得， 则， 由可得， 由可得， 因此， 又可得．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 ‎，因此．‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．‎ 【答案】 ‎；‎ 【解析】 直线方程化为普通方程为， 椭圆方程化为普通方程为， 联立得，解得或， 因此．‎ D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 设，，，求证：．‎ 【答案】 详见解析；‎ 【解析】 由可得， ．‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 2. ‎（本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线． ⑴ 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程； ⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．‎ ‎ ①求证：线段上的中点坐标为；‎ ‎ ②求的取值范围．‎ ‎ ‎ 【答案】 ⑴；⑵①见解析；②‎ 【解析】⑴ ‎，与轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为，‎ ‎；‎ ⑵ ① 设点，‎ 则：，即，‎ 又关于直线对称，‎ 即，‎ 又中点一定在直线上 线段上的中点坐标为；‎ ② 中点坐标为 即 ‎，即关于有两个不等根 ‎，，．‎ 1. ‎（本小题满分10分） ⑴ 求的值； ⑵ 设，，求证： ．‎ 【答案】 ⑴；⑵详见解析；‎ 【解析】⑴ ‎；‎ ⑵ 对任意的， ① 当时，左边，右边，等式成立， ② 假设时命题成立， 即， 当时， 左边= ， 右边， 而， 因此， 因此左边=右边， 因此时命题也成立，‎ 综合①②可得命题对任意均成立．‎ 另解：因为，所以 左边 又由，知 ‎，‎ 所以，左边右边．‎