圆锥曲线与方程高考分析详解

圆锥曲线与方程高考分析详解

圆锥曲线与方程高考分析 一、高考分析 圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，也是历年高考命题的热点。客观题重点考查圆锥曲线的定义及应用；圆锥曲线的标准方程；圆锥曲线的基本量（a、b、c、e、p等）还有离心率等问题。解答题考查的热点是：求圆锥曲线的方程和轨迹方程；圆锥曲线的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系；范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出现，但要解决它，还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合应用。‎ 二、分值分布 ‎2012年 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 ‎2016年 文数 ‎22分 ‎10分 ‎20分 ‎10分 ‎17分 理数 ‎22分 ‎10分 ‎32分 ‎22分 ‎22分 三、历年高考真题及分析 ‎（一）文科历年高考试题 ‎ ‎(2012课标全国Ⅰ，文4)设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，为直线x=上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） 答案：C ‎ (2012课标全国Ⅰ，文10)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为 ‎（A） （B）2 （C）4 （D）8‎ 答案：C ‎ (2012课标全国Ⅰ，文20)（本小题满分12分）‎ 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点。‎ ‎（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值。‎ ‎ (2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x 答案：C 解析：∵，∴，即.‎ ‎∵c2＝a2＋b2，∴.∴.‎ ‎∵双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∴渐近线方程为.故选C.‎ ‎(2013课标全国Ⅰ，文8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝的焦点，P为C上一点，若|PF|＝，则△POF的面积为(　　)．‎ A．2 B． C． D．4‎ 答案：C 解析：利用|PF|＝，可得xP＝.‎ ‎∴yP＝.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝.‎ 故选C.‎ ‎(2014课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线的离心率为2，则 A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：由双曲线的离心率可得，解得，选D.‎ ‎(2014课标全国Ⅰ，文10)已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：根据抛物线的定义可知，解之得. 选A.‎ ‎(2014课标全国Ⅰ，文23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线，直线（为参数）‎ （1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ （2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数）， ‎ 直线l的普通方程为： ………5分 ‎ ‎（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为 ‎，‎ 则+-，其中为锐角．且.‎ 当时，取得最大值，最大值为；‎ 当时，取得最小值，最小值为. …………10分 ‎ (2015课标全国Ⅰ，文5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=‎ ‎ （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 ‎ 解析：抛物线C：y²=8x的焦点为，则椭圆E中的，答案故选B.‎ ‎(2015课标全国Ⅰ，文16)已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .‎ 答案： ‎ 解析：设是双曲线C：x2-=1的左焦点，而P是C的左支上一点，则,△APF周长等于 ‎,当且仅当点共线时等号成立，点在线段上，线段，代入x2-=1可得 ‎，解得（舍去），则到直线的距离为.‎ ‎(2016课标全国Ⅰ，文5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 答案：B ‎(2016课标全国Ⅰ，文20)（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ 解：（Ⅰ）由已知得，.‎ 又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，，因此.‎ 所以为的中点，即.‎ ‎（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：‎ 直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与 只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.‎ ‎（二）理科历年高考试题 ‎(2012课标全国Ⅰ，理4)设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，‎ ‎ 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 ‎ 是底角为的等腰三角形 ‎(2012课标全国Ⅰ，理8)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【解析】选 设交的准线于 得：‎ ‎(2012课标全国Ⅰ，理20)（本小题满分12分）‎ 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，‎ 为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，‎ 求坐标原点到距离的比值。‎ ‎【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。（lfx lby）‎ ‎(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x 答案：C 解析：∵，∴.‎ ‎∴a2＝4b2，.‎ ‎∴渐近线方程为.‎ ‎(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)．‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴‎ ‎①－②，得 ‎，‎ 即，‎ ‎∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，‎ 而＝kAB＝，∴.‎ 又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.‎ ‎∴椭圆E的方程为.故选D.‎ ‎(2014课标全国Ⅰ，理4).已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ‎. .3 . .‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：由：，得，‎ 设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A. ‎ ‎(2014课标全国Ⅰ，理10).已知抛物线：的焦点为，准线为，是 上一点，是直线与的一个交点，若，则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：过Q作QM⊥直线L于M，∵‎ ‎∴，又，∴，由抛物线定义知 选C ‎(2014课标全国Ⅰ，理20). (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎【解析】：(Ⅰ) 设()，由条件知，得= 又，‎ 所以a=2=， ,故的方程. ……….6分 ‎（Ⅱ）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，‎ 当，即时，‎ 从而= + 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. …………………………12分 ‎(2014课标全国Ⅰ，理23) （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线：，直线：（为参数）.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数）， ‎ 直线l的普通方程为： ………5分 ‎ ‎（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为 ‎，‎ 则+-，其中为锐角．且.‎ 当时，取得最大值，最大值为；‎ 当时，取得最小值，最小值为. …………10分 ‎(2015课标全国Ⅰ，理5)已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、‎ F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是 ‎（A）（-，） （B）（-，）‎ ‎（C）（，） （D）（，）‎ ‎【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程 ‎(2015课标全国Ⅰ，理14).一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.‎ 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 ‎(2015课标全国Ⅰ，理20).（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(＞0)交与M,N两点，‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.‎ ‎∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ 故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为 ‎，即.‎ ‎ 故所求切线方程为或. ……5分 ‎（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：‎ ‎ 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.‎ ‎ 将代入C得方程整理得.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴==.‎ ‎ 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，‎ ‎ 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. ……12分 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 ‎(2016课标全国Ⅰ，理5).已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 ‎（A）(–1,3) （B）(–1,) （C）(0,3) （D）(0,)‎ ‎(2016课标全国Ⅰ，理10).以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎(2016课标全国Ⅰ，理20).（本小题满分12分）‎ 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）因为，，故，‎ 所以，故.‎ 又圆的标准方程为，从而，所以.‎ 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：‎ ‎（）.‎ ‎（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.‎ 由得.‎ 则，.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 ‎.故四边形的面积 ‎.‎ 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ 三、复习建议 圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强，为了提高学生的复习效率和复习质量，首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质，以坐标法为桥梁，用代数法来研究处理集合问题，复习时应重点突破以下内容： ‎ ‎1．深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活运用定义解题； ‎ ‎2．要熟练掌握各类圆锥曲线的标准方程、图象、几何性质，加强对基础知识的训练； ‎ ‎3．要加强思想方法和能力的训练用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质，要掌握反映解析几何问题的基本方法； ‎ ‎4．要掌握求曲线方程的一般方法；直线与圆锥曲线的位置关系的判定；求弦长、对称等问题的解法；求有关参数范围的常用方法。‎