高考数学考点归纳之 平面向量的概念及线性运算

高考数学考点归纳之 平面向量的概念及线性运算

高考数学考点归纳之 平面向量的概念及线性运算 一、基础知识 1．向量的有关概念 (1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 A 为起点、B 为终点的向 量记作 AB―→，也可用黑体的单个小写字母 a，b，c，…来表示向量． (2)向量的长度(模)：向量 AB―→的大小即向量 AB―→的长度(模)，记为| AB―→|. 2．几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为 0 的向量 零向量记作 0，其方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 单位向量记作 a0，a0＝ a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共 线向量) 0 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量 不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 若 a，b 为相反向量，则 a＝－b 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 a 平行的单位向量有两 个，即向量 a |a| 和－ a |a| . 3．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向 量和的运 算 三角形法则 平行四边形法则 ❷ (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的 相反向量 三角形法则 a－b＝a＋(－b) －b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 数乘 求实数λ与 向量 a 的积 的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa ＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb ❷向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向 量，只关心始点、终点. 4．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 只有 a≠0 才保证实数λ的存在性和唯一性. 二、常用结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则 OP―→＝1 2( OA―→＋ OB―→)． (2) OA―→＝λ OB―→＋μ OC―→ (λ，μ为实数)，若点 A，B，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 考点一 平面向量的有关概念 [典例] 给出下列命题： ①若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB―→＝ DC―→是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件； ③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确命题的序号是________． [解析] ①正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同， 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ②正确．∵ AB―→＝ DC―→，∴| AB―→|＝| DC―→|且 AB―→∥ DC―→， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB―→∥ DC―→且| AB―→|＝| DC―→|，因此， AB―→＝ DC―→. ③不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑 b＝0 这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案] ①② [解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当 a＝0 时， 不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0 时，λa＝μb＝0，此时，a 与 b 可以是任意向量．故 错误的命题有 3 个，故选 D. 2．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题． 综上所述，假命题的个数是 3. 考点二 平面向量的线性运算 [典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB―→ ＝( ) A.3 4 AB―→－1 4 AC―→ B.1 4 AB―→－3 4 AC―→ C.3 4 AB―→＋1 4 AC―→ D.1 4 AB―→＋3 4 AC―→ (2)如图，在直角梯形 ABCD 中， DC―→＝1 4 AB―→， BE―→＝2 EC―→， 且 AE―→ ＝r AB―→＋s AD―→，则 2r＋3s＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] (1)作出示意图如图所示． EB―→＝ ED―→＋ DB―→＝1 2 AD―→＋1 2 CB―→＝ 1 2 ×1 2( AB―→＋ AC―→)＋1 2( AB―→－ AC―→)＝3 4 AB―→－1 4 AC―→.故选 A. (2)根据图形，由题意可得 AE―→＝ AB―→＋ BE―→＝ AB―→＋2 3 BC―→＝ AB―→＋2 3( BA―→＋ AD―→＋ DC―→) ＝1 3 AB―→＋2 3( AD―→＋ DC―→)＝1 3 AB―→＋2 3 AD―→＋1 4 AB―→ ＝1 2 AB―→＋2 3 AD―→. 因为 AE―→＝r AB―→＋s AD―→，所以 r＝1 2 ，s＝2 3 ，则 2r＋3s＝1＋2＝3. [答案] (1)A (2)C [解题技法] 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形 法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边 形或三角形中求解． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法 则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值． [题组训练] 1．设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC―→＝3 CD―→，则( ) A． AD―→＝－1 3 AB―→＋4 3 AC―→ B． AD―→＝1 3 AB―→－4 3 AC―→ C． AD―→＝4 3 AB―→＋1 3 AC―→ D． AD―→＝4 3 AB―→－1 3 AC―→ 解析：选 A 由题意得 AD―→＝ AC―→＋ CD―→＝ AC―→＋1 3 BC―→＝ AC―→＋1 3 AC―→－1 3 AB―→＝－1 3 AB―→ ＋4 3 AC―→. 2．(2019·太原模拟)在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若 AC―→＝λ AM―→ ＋μ AN―→，则实数λ＋μ＝________. 解析：如图，∵ AM―→＝ AB―→＋ BM―→＝ AB―→＋1 2 BC―→＝ DC―→＋1 2 BC―→，① AN―→＝ AD―→＋ DN―→＝ BC―→＋1 2 DC―→，② 由①②得 BC―→＝4 3 AN―→－2 3 AM―→， DC―→＝4 3 AM―→－2 3 AN―→， ∴ AC―→＝ AB―→＋ BC―→＝ DC―→＋ BC―→＝4 3 AM―→－2 3 AN―→＋4 3 AN―→－2 3 AM―→＝2 3 AM―→＋2 3 AN―→， ∵ AC―→＝λ AM―→＋μ AN―→，∴λ＝2 3 ，μ＝2 3 ，λ＋μ＝4 3. 答案：4 3 考点三 共线向量定理的应用 [典例] 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若 AB―→＝a＋b， BC―→＝2a＋8b， CD―→＝3a－3b， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 同向． [解] (1)证明：∵ AB―→＝a＋b， BC―→＝2a＋8b， CD―→＝3a－3b， ∴ BD―→＝ BC―→＋ CD―→＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5 AB―→， ∴ AB―→， BD―→共线． 又∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)∵ka＋b 与 a＋kb 同向， ∴存在实数λ(λ>0)，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b 是不共线的非零向量， ∴ k－λ＝0， λk－1＝0， 解得 k＝1， λ＝1 或 k＝－1， λ＝－1， 又∵λ>0，∴k＝1. 1.向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． [题组训练] 1．在四边形 ABCD 中， AB―→＝a＋2b， BC―→＝－4a－b， CD―→＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是( ) A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析：选 C 由已知，得 AD―→＝ AB―→＋ BC―→＋ CD―→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 BC―→，故 AD―→∥ BC―→.又因为 AB―→与 CD―→不平行，所以四边形 ABCD 是梯形． 2．已知向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量 a 与向量 b 共线，则( ) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2 或λ＝0 解析：选 D 因为向量 e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量 a 和 b 共线， 存在实数 k，使得 a＝kb，所以 e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以 e1∥e2 或λ＝0. 3．已知 O 为△ABC 内一点，且 AO―→＝1 2( OB―→＋ OC―→)， AD―→＝t AC―→，若 B，O，D 三点 共线，则 t＝( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：选 B 设 E 是 BC 边的中点，则1 2( OB―→＋ OC―→)＝ OE―→，由题意得 AO―→＝ OE―→，所 以 AO―→＝1 2 AE―→＝1 4( AB―→＋ AC―→)＝1 4 AB―→＋1 4t AD―→，又因为 B，O，D 三点共线，所以1 4 ＋1 4t ＝1， 解得 t＝1 3 ，故选 B. 4．已知 O，A，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且 OP―→＝ OA―→＋ AB―→ | AB―→| ，则( ) A．点 P 在线段 AB 上 B．点 P 在线段 AB 的延长线上 C．点 P 在线段 AB 的反向延长线上 D．点 P 在射线 AB 上 解析：选 D 由 OP―→＝ OA―→＋ AB―→ | AB―→| ，得 OP―→－ OA―→＝ AB―→ | AB―→| ，∴ AP―→＝ 1 | AB―→| · AB―→，∴点 P 在射线 AB 上，故选 D. [课时跟踪检测] 1．设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB―→＋ FC―→＝( ) A． AD―→ B.1 2 AD―→ C.1 2 BC―→ D． BC―→ 解析：选 A 由题意得 EB―→＋ FC―→＝1 2( AB―→＋ CB―→)＋1 2( AC―→＋ BC―→)＝1 2( AB―→＋ AC―→)＝ AD―→. 2．已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 共线反向，则实 数λ的值为( ) A．1 B．－1 2 C．1 或－1 2 D．－1 或－1 2 解析：选 B 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c＝kd(k＜0)， 于是λa＋b＝k[a＋2λ－1b]. 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于 a，b 不共线，所以有 λ＝k， 2λk－k＝1， 整理得 2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1 或λ＝－1 2. 又因为 k＜0，所以λ＜0，故λ＝－1 2. 3．设向量 a，b 不共线， AB―→＝2a＋pb， BC―→＝a＋b， CD―→＝a－2b，若 A，B，D 三 点共线，则实数 p 的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选 B 因为 BC―→＝a＋b，CD―→＝a－2b，所以 BD―→＝ BC―→＋ CD―→＝2a－b.又因为 A， B，D 三点共线，所以 AB―→， BD―→共线．设 AB―→＝λ BD―→，所以 2a＋pb＝λ(2a－b)，所以 2＝ 2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1. 4．(2019·甘肃诊断)设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC―→＝－4 CD―→，则 AD―→＝( ) A.1 4 AB―→－3 4 AC―→ B.1 4 AB―→＋3 4 AC―→ C.3 4 AB―→－1 4 AC―→ D.3 4 AB―→＋1 4 AC―→ 解析：选 B 法一：设 AD―→＝x AB―→＋y AC―→，由 BC―→＝－4 CD―→可得，BA―→＋ AC―→＝－4 CA―→ －4 AD―→，即－ AB―→－3 AC―→＝－4x AB―→－4y AC―→，则 －4x＝－1， －4y＝－3， 解得 x＝1 4 ， y＝3 4 ， 即 AD―→ ＝1 4 AB―→＋3 4 AC―→，故选 B. 法二：在△ABC 中，BC―→＝－4 CD―→，即－1 4 BC―→＝ CD―→，则 AD―→＝ AC―→＋ CD―→＝ AC―→－1 4 BC―→ ＝ AC―→－1 4( BA―→＋ AC―→)＝1 4 AB―→＋3 4 AC―→，故选 B. 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足 OC―→＝3 4 OA―→＋1 4 OB―→，则| BC―→| | AC―→| 等于( ) A．1 B．2 C．3 D.3 2 解析：选 C 因为 BC―→＝ OC―→－ OB―→＝3 4 OA―→＋1 4 OB―→－ OB―→＝3 4 BA―→，AC―→＝ OC―→－ OA―→＝ 3 4 OA―→＋1 4 OB―→－ OA―→＝1 4 AB―→，所以| BC―→| | AC―→| ＝3.故选 C. 6．已知△ABC 的边 BC 的中点为 D，点 G 满足 GA―→＋ BG―→＋ CG―→＝0，且 AG―→＝λ GD―→， 则λ的值是( ) A.1 2 B．2 C．－2 D．－1 2 解析：选 C 由 GA―→＋ BG―→＋ CG―→＝0，得 G 为以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四 个顶点，因此 AG―→＝－2 GD―→，则λ＝－2.故选 C. 7．下列四个结论： ① AB―→＋ BC―→＋ CA―→＝0；② AB―→＋ MB―→＋ BO―→＋ OM―→＝0； ③ AB―→－ AC―→＋ BD―→－ CD―→＝0；④ NQ―→＋ QP―→＋ MN―→－ MP―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C ① AB―→＋ BC―→＋ CA―→＝ AC―→＋ CA―→＝0，①正确；② AB―→＋ MB―→＋ BO―→＋ OM―→ ＝ AB―→＋ MO―→＋ OM―→＝ AB―→，②错误；③ AB―→－ AC―→＋ BD―→－ CD―→＝ CB―→＋ BD―→＋ DC―→＝ CD―→＋ DC―→＝0，③正确；④ NQ―→＋ QP―→＋ MN―→－ MP―→＝ NP―→＋ PN―→＝0，④正确．故①③④正确． 8.如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，且 AM―→ ＝3 4 AB―→，AN―→＝2 3 AD―→，AC，MN 交于点 P.若 AP―→＝λ AC―→，则λ的值为( ) A.3 5 B.3 7 C. 3 16 D. 6 17 解 析：选 D ∵ AM―→ ＝3 4 AB―→ ， AN―→ ＝ 2 3 AD―→ ，∴ AP―→＝ λ AC―→ ＝λ( AB―→ ＋ AD―→ )＝ λ 4 3 AM―→＋3 2 AN―→ ＝4 3λ AM―→＋3 2λ AN―→.∵点 M，N，P 三点共线，∴4 3λ＋3 2λ＝1，则λ＝ 6 17.故选 D. 9．设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa＋b 与 a＋2b 平行， 所以可设λa＋b＝k(a＋2b)，则 λ＝k， 1＝2k， 所以λ＝1 2. 答案：1 2 10．若 AP―→＝1 2 PB―→， AB―→＝(λ＋1) BP―→，则λ＝________. 解析：如图，由 AP―→＝1 2 PB―→，可知点 P 是线段 AB 上靠近点 A 的三等分点， 则 AB―→＝－3 2 BP―→，结合题意可得λ＋1＝－3 2 ，所以λ＝－5 2. 答案：－5 2 11．已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA―→＝a，OB―→＝b，则 DC―→ ＝________， BC―→＝________.(用 a，b 表示) 解析：如图，DC―→＝ AB―→＝ OB―→－ OA―→＝b－a，BC―→＝ OC―→－ OB―→＝－ OA―→－ OB―→＝－a－b. 答案：b－a －a－b 12．(2019·长沙模拟)在平行四边形 ABCD 中，M 为 BC 的中点．若 AB―→＝λ AM―→＋μ DB―→， 则λ－μ＝________. 解析：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB―→＝ DC―→，所以 AB―→＝ AM―→＋ MB―→＝ AM―→＋1 2 CB―→＝ AM―→＋1 2( DB―→－ DC―→)＝ AM―→＋1 2( DB―→－ AB―→)＝ AM―→＋ 1 2 DB―→－1 2 AB―→，所以3 2 AB―→＝ AM―→＋1 2 DB―→，所以 AB―→＝2 3 AM―→＋1 3 DB―→，所以λ＝2 3 ，μ＝1 3 ，所以 λ－μ＝1 3. 答案：1 3 13．设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知 AB―→＝2e1－8e2， CB―→＝e1＋3e2， CD―→＝2e1 －e2. (1)求证：A，B，D 三点共线； (2)若 BF―→＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值． 解：(1)证明：由已知得 BD―→＝ CD―→－ CB―→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵ AB―→＝2e1－8e2， ∴ AB―→＝2 BD―→. 又∵ AB―→与 BD―→有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)由(1)可知 BD―→＝e1－4e2， ∵ BF―→＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线， ∴存在实数λ，使 BF―→＝λ BD―→， 即 3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得 λ＝3， －k＝－4λ. 解得 k＝12.