高考试题分类汇编数学必修部分试题

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必修二 第一章 立体几何 一、选择题 ‎2．（2011全国课标I理6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查三视图．‎ 由三视图可知，此几何体是由一个圆锥沿四条平分圆锥侧面的母线中的3条切割圆锥后剩下的部分，所以A、B均错，C显然是错的．‎ ‎3．（2011山东理11）下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是 ‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】如果把直三棱柱和圆柱放倒，则可得到如图的正视图和俯视图，①③正确；容易判断②正确所以3个命题都正确，选A．‎ ‎4．（2011广东理7）如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体，底面是以3为边长的正方形，该六面体的高，所以该几何体的体积为．‎ ‎5．（2011安徽理6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ‎ A．48 B．32+8 C．48+8 D．80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎6．（2011浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎7．（2011北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 ‎ A．8 B． C．10 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查了三视图的相关知识．由三视图可知，该四面体可以描述为：面，，且，从而可以计算并比较得面的面积最大，为10，故应选C．‎ ‎【技巧点拨】根据所给的三视图，将其“还原”是解题的关键，当然，同时也要注意所给的数据，为了保证解题的正确性，可以将“体”再还原成三视图，这样做一个检验，可以提高解题的正确率．‎ ‎8．（2011湖南理3）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积．‎ ‎9．（2011辽宁理8）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是 ‎ A． B．平面 ‎ C．与平面所成的角等于与平面所成的角 ‎ D．与所成的角等于与所成的角 ‎【答案】D ‎【解析】本小题以四棱锥为载体，考查空间中点、线、面的位置关系．选项A 正确 因为垂直于平面，而在平面中，所以垂直于；再由为正方形，所以垂直于；而与又是两条相交直线，所以，垂直于平面，进而垂直于；‎ 选项B正确 因为平行于，而在平面内，不在平面内，所以 平行于平面．选项C 正确，与平面所成的角就是角，与平面所成的角就是角，而三角形又是等腰三角形，所以这两个角相等．选项D错误与所成的角等于角，而与所成的角是角，这两个角是互补的．‎ ‎【技巧点拨】解决此类问题首先要从理论上熟练的掌握相关的性质定理和判定定理，其次是准确的应用图象，使之问题具体化，另外，必要时也可以应用空间向量的知识来求解相关的角、线面关系问题．‎ ‎10．（2011辽宁理12）已知球的直径，、是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查三棱锥的结构特征和体积公式、球的结构特征，考查学生的空间想象能力和把立体几何问题转化为平面几何问题的能力．由题可知一定在与直径垂直的小圆面上，做过交直径于，如图所示，‎ 设，则，此时所求棱锥即分割成两个棱锥和，在和中，因为为直径，所以所以，在中，，在中，，所以=，得，所以为正三角形，体积．‎ ‎【技巧点拨】球的作用只限于载体，利用球研究有关几何体的体积或其它的问题，在应用中关于球可用的就是他的半径、大圆性质和其它线面关系问题．一些问题中要能够透过球的表面体，看到研究问题的实质．‎ ‎11．（2011浙江理4）下列命题中错误的是 ‎ A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C．如果平面，平面，，那么 ‎ D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎12．（2011全国 11）已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆．若该球面的半径为4，圆的面积为，则圆的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本小题主要考查了球及球的截面的相关知识．如图：‎ 因为，由的面积为，故．在中，，，，．又因为，在中，，，，所以的面积为．‎ ‎13．（2011四川3），，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ‎ A．， B．，‎ ‎ C． ，，共面 D．，，共点，，共面 ‎【答案】B ‎【解析】若，则，有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对．虽然∥∥，或，，共点，但是，，可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确．‎ ‎14．（2011重庆9）高为的四棱锥的底面是边长为的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为 ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设底面中心为，球心为，则易得，于是，用一个与所在平面距离等于的平面去截球，便为其中一个交点，此平面的中心设为，则，故，故 ‎．‎ 二、填空题 ‎15．（2011全国课标I理15）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且，则棱锥的体积为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查球的截面、四棱锥的体积计算．涉及空间想象能力、逻辑思维能力和简单计算．‎ ‎∵，∴，其为球的截面圆的直径，设棱锥的高为h，则，∴棱锥的体积为．‎ ‎【技巧点拨】球的所有截面都是圆，而矩形的对角线恰好是其外接圆的直径．‎ ‎16．（2011福建理12）三棱锥中，底面，，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的体积等于___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考查椎体的体积公式，属于简单题．‎ ‎【技巧点拨】求几何体体积的关键是找好底和高．‎ ‎17．（2011高考天津理10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎18．（2011辽宁理15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ‎，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本小题主要考查了正三棱柱的三视图有关知识，考查空间想象能力．设正三棱柱底面边长为，利用体积为，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为√3，故所求矩形的面积为．‎ ‎【技巧点拨】求解三视图问题要注意满足三个视图在长、宽、高之间的关系．利用这种关系往往可以更简捷求解有关问题．‎ ‎19．（2011全国 16）已知、分别在正方体棱、上，且，，则面与面所成的二面角的正切值等于_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本小题主要考查了无棱二面角的作法及求法．如图：‎ 连并延长交的延长线于，连，过作，连，则由三垂线定理知为面与面ABC所成的二面角的平面角．易求得．‎ ‎20．（2011四川15）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】时，‎ 取最大值时，，‎ 则．‎ ‎21．（2011上海春季13）有一种多面体的饰品，其表面由个正方形和个正三角形组成（如图），与所成角的大小是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】与是正方形的边，则，，因为和是正三角形的两边，则与所成的角为．‎ ‎22．（2011上海7）若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查（立体几何中）圆锥的相关量（侧面积、体积）的计算公式，考查计算能力．‎ 依题意，底面半径为，侧面积，故圆锥的体积为：．‎ 三、解答题 ‎23．（2011山东理19）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，．‎ ‎（Ⅰ）若是线段上的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面角的大小．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结，‎ 因为，，，所以平面平面，又易证，所以，即，即，又为的中点，所以，又因为，所以，所以四边形是平行四边形，故，又因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，因为，所以，‎ 又因为平面，平面，所以，‎ 又，所以平面，在平面内，过点作于，连结，由三垂线定理知：，所以为二面角的平面角．‎ 设，因为，，，，连结，容易证得且，所以，所以，所以在中，，故，所以二面角的大小为．‎ ‎24．（2011广东理18）如图，在椎体中，是边长为1的棱形，且，，，，分别是，的中点．‎ ‎ （1） 证明：平面；‎ ‎ （2） 求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（1） 取的中点，又，所以，‎ 由题意知ΔABC是等边三角形，所以，‎ 又PG，BG是平面PGB的两条相交直线，‎ ‎∴ 平面，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 平面平面，‎ ‎∴ 平面 ‎（2）由（1）知为二面角的平面角，由已知可得，‎ 由平面，，可知，所以，又，所以是直角三角形，由是的中点得，又，所以．‎ 由知，所以在面上的射影在上，‎ 由知，所以在面上的射影在上，‎ 从而在面上的射影就是点，所以面．‎ 延长、交于一点，连接，则，所以面，从而．中，，，所以，．‎ 注：如果学习了余弦定理，以下解法更为简便：‎ 在中，；在中，；‎ 在中，．‎ ‎25．（2011江苏16）如图，在四棱锥中，平面平面，，，、分别是、的中点．求证：‎ ‎（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面 ‎【解析】简单本题考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，属容易题．‎ ‎（1）因为、分别是、的中点，∴ ‎ 又 ∵面，面，‎ ‎∴直线平面 ‎（2）∵ ，，是的中点，∴ ‎ 又平面平面，面面 ∴面 所以，平面平面．‎ ‎26．（2011安徽理17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，，，，△都是正三角形．‎ ‎ （1）证明直线∥；‎ ‎（2）求棱锥的体积．‎ ‎27．（2011湖南理19）如图，在圆锥中，已知，的直径，是弧的中点，为的中点．‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（I）连接，因为，为的中点，所以．‎ 又因为内的两条相交直线，所以．而，所以．‎ ‎（II）在平面中，过作于，由（I）知，，所以又所以．‎ 在平面中，过作于连接，则有，‎ 从而，所以是二面角的平面角．‎ 在 在 在 在，所以．‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎28．（2011全国 19）如图，棱锥中，∥，⊥，侧面为等边三角形，==2，==1．‎ ‎ （Ⅰ）证明：⊥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求与平面所成的角的大小．‎ ‎【解析】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及线面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．‎ ‎ （Ⅰ）证明：连 ‎ 又 ‎ 取的中点，连，则 又∥，⊥，‎ ‎，‎ 又 故⊥平面．‎ ‎ （Ⅱ）过作，过作，连，则∥，与平面所成的角为与平面所成的角．由（Ⅰ）有，又，所以∴．所以，故即为所求．‎ 在中， ，所以 所以，所以．‎ ‎29．（2011重庆19）如图，在四面体中，平面⊥，⊥，=，∠=．‎ ‎ （Ⅰ）若=2，=2，求四边形的体积．‎ ‎ （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）如图所示，设为的中点，由于，所以．‎ 故由平面⊥，知平面，即，．在中，因，，由勾股定理易得，．故四面体的体积．‎ ‎ （Ⅱ）如图所示设、分别为边，的中点，则，，，从而是异面直线与所成角或其补角．设为边的中点，则，由⊥，知⊥，又由（Ⅰ）有平面，故由三垂线定理知⊥，所以为二面角的平面角，由题设知，设，则 在中，，‎ 从而 因，故．从而，在中，，又 ‎，从而在中，因，由余弦定理得 ‎，‎ 故异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎30．（2011江西21）（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面 ，使得（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；‎ ‎ （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：（i=1，2，3，4），求该正四面体的体积．‎ ‎【解析】（1）将直线三等分，其中另两个分点依次为，连接，作平行于的平面，分别过，即为．同理，过点作平面即可的出结论．‎ ‎ （2）现设正方体的棱长为，若，，‎ ‎，由于得，，‎ 那么，正四面体的棱长为，其体积为（即一个棱长为的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）‎ ‎31．（2011上海春季20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，其上部分是半球形，下半部分呈圆锥形（如图），现把半径为10的圆形蛋皮等分成个扇形，用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积（精确到）‎ ‎【解析】设圆锥的底面半径为，高为．‎ 由题意，圆锥的侧面扇形的周长为，‎ 圆锥底面周长为，‎ 则　　，　．‎ 圆锥的高为，‎ 圆锥的侧面扇形的面积为　　，‎ 半球的面积为　．‎ 所以该蛋筒冰激凌的表面积为；‎ 圆锥的体积为，‎ 半球的体积为，‎ 所以该蛋筒冰激凌的体积为．‎ 因此该蛋筒冰激凌的表面积约为，　体积约为．‎ 第二章 解析几何初步 一、选择题 ‎1．（2011广东理2）已知集合，为实数，且，，为实数，且，则的元素个数为 ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合由由圆上的所有点组成，集合由直线上的所有点组成，而直线经过圆内的点，故直线与圆有2个交点．‎ ‎2．（2011重庆8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，为直径，设圆心为，则，圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线的方程为，到的距离为，由此得，所以四边形的面积为．‎ ‎3．（2011江西10）如图，一个直径为的小圆沿着直径为的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点，在大圆内所绘出的图形大致是 ‎【答案】A ‎【解析】根据小圆 与大圆半径的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此点的轨迹是个大圆，而点的轨迹是四条线，刚好是点产生的大圆的半径．‎ ‎4．（2011上海春季17）直线与圆的位置关系为 ‎ A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交 ‎【答案】D ‎【解析】法1：因为直线过点，而点在圆的内部，所以直线与圆相交．故选D．‎ 法2：圆心为，半径为，圆心到直线的距离为 ‎　　　　，‎ 所以直线与圆相交．故选D．‎ 二、填空题 ‎5．（2011江苏14）设集合，，若则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，属难题．‎ 集合是在两条平行线及他们的之间的部分．‎ 当即时，，，不合题意；‎ 当时，集合表示为圆心，以为半径的圆，由知只需圆与直线有公共点，所以因为，解得，矛盾；‎ 当时，集合是以为圆心，为半径的圆，直线过圆心，符合题意．‎ 当时，‎ 若，则，，符合题意；‎ 若，即，则只需，解得．‎ 综上可知，．‎ ‎6．（2011湖北14）如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，．‎ ‎ （Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为________；‎ ‎ （Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】（Ⅰ）设点在平面内的射影的坐标为，则点的纵坐标和纵坐标相同，所以，过点作，垂足为，连结，则，横坐标，，所以点在平面内的射影的坐标为；‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，代入曲线的方程，，得，所以射影的方程填．‎ ‎7．（2011上海春季7）两条直线与夹角的大小是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，夹角为．‎