北京高考真题数学理含解析

北京高考真题数学理含解析

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（理工类）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎（1）已知集合，则( )‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎(2) 若满足 则的最大值为( )‎ ‎（A）0‎ ‎（B）3‎ ‎（C）4‎ ‎（D）5‎ ‎(3)执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k值为( )‎ ‎ ‎ ‎（A）1‎ ‎（B）2‎ ‎（C）3‎ ‎（D）4‎ ‎（4）设，是向量，则“”是“”的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）已知，且，则( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（6）某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（7）将函数图像上的点向左平移个单位长度得到点．若位于函数的图像上，则( )‎ ‎（A），的最小值为（B），的最小值为 ‎（C），的最小值为（D），的最小值为 ‎（8） 袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半，甲 ，乙，丙 是三个空盒，每次从袋中随意取出两个球，将期中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )． ‎ ‎（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ‎（C）乙盒中的红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 二、填空题共6题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．‎ ‎（10）在的展开式中，的系数为__________．‎ ‎（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则 __________．‎ ‎（12）已知为等差数列，为其前项和．若，则__________．‎ ‎（13）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则__________．‎ ‎（14）设函数 ①若，则的最大值__________．‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15. （本小题13分）在中，‎ （1） 求的大小．‎ （2） 求的最大值．‎ ‎16. （本小题13分），，三班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）试估计班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从，，三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是，，（单位：小时），这个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中的数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明）‎ ‎17. （本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 设函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎20. （本小题13分）设数列如果对小于的每一个正整数都有则称是数列的一个” 时刻”.记是数列的所有” 时刻”组成的集合.‎ 对数列写出的所有元素；‎ 证明：若数列中存在使得，则；‎ 证明：若数列满足,则的元素个数不小于.‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学答案（理工类）‎ 一、选择题 ‎（1）解析，集合所以 选c ‎(2)解析如图当取点A(1,2)时，取到最大值4‎ 选C ‎（3）循环一次，，，；‎ 循环二次，，；‎ 循环三次，，，‎ 故答案选B．‎ ‎4．当与方向相反时，不能得到；‎ 而当时，平方得，即，因此与可以不相等，‎ 因此选既不充分也不必要．‎ 选D ‎5.【答案】C ‎【解析】特殊值法：A取排除，B取排除，D取排除，C由单调性可知移项正确．‎ ‎（6）A ‎【解析】三视图还原如右图所示：‎ 则三棱锥的体积 ‎7.【答案】A ‎【解析】点在函数上，所以，‎ 即，根据平移的原则，有，‎ 根据题意有，结合余弦函数的图像可知满足余弦值等于的最小正角为，故的最小值为．‎ ‎（8）共两个球时 有以下两种情况 甲 乙 丙 ‎ 红 黑   ‎ ‎ ‎ 甲 乙 丙 ‎ 黑   红 ‎ 可排除A和D 四个球时的其中一种情况如下 甲 乙 丙 ‎ 红 红   ‎ 黑   黑 ‎ 可排除C 故：答案选B 分析：此题重点考察了选择题的一个重要做题思想：特值法、排除法．此外，还考察了学生的逻辑思维能力，以及在紧急状态下的应变能力．‎ 二、填空题共6题，每小题5分，共30分．‎ ‎（9）设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则___.‎ 解答：，因为复数在实轴上，所以有．‎ 答案：‎ ‎（10）在的展开式中，的系数为___.‎ 解答：其中含有的项为，所以的系数为 答案：60‎ ‎（11）在极坐标系中，直线与圆交于两点，则___.‎ 解：，所以可以变形为，可以变形为．因为直线过点，圆的圆心也是，所以交线为直径，又因为，所以 答案：2‎ ‎（12）已知为等差数列，为其前项和．若，则___.‎ 解：为等差数列，，所以，解得．所以 答案：6‎ ‎（13）双曲线的渐近线为正方形的边所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则___.‎ 解：因为两条渐近线是正方形的相邻两边，所以夹角为，可知渐近线的斜率为，所以．因为为该双曲线的焦点，所以，由可得．‎ 答案：2‎ ‎（14）设函数 ①若，则的最大值___.‎ ②若无最大值，则实数的取值范围是___.‎ 解：‎ ①当时，函数变为．当时，，在单增，在单减．所以时，的最大值是；时，单减，，所以若，则的最大值为．‎ ②函数的最大值只会在三个位置取到——极大值点、端点以及断点．，因为，在单增，存在最大值为，所以，当时，，在上，，所以很有最大值为．而题目要求不存在最大值，所以是无法取到的，所以．‎ 答案：2， ‎ 三、解答题 ‎15.在中，‎ （1） 求的大小．‎ （2） 求的最大值．‎ 解：（1），，，‎ ‎（2）在中，，‎ ‎，所以当时，的最大值为．‎ ‎16.，，三班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）试估计班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从，，三班中个随机抽取抽取一名学生，题目该周期的锻炼时间分别是，，（单位：小时），这个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中的数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明）‎ 解析：（Ⅰ）设班的学生人数为，‎ 则，解得；‎ ‎（Ⅱ）记该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长为事件;‎ 由题可知，从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，共有种；‎ 满足条件的有，，，，，，，，‎ ‎，，，，，，共种；‎ 所以，；‎ ‎（Ⅲ）．‎ ‎（提示：新选出，，的平均数约为；，，的三组数据均为等差数列，平均数分别为，，，整体平均数显然大于）‎ ‎17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，‎ 说明理由．‎ 解析：（Ⅰ）证明：面面，‎ 面面,‎ ‎∵,面，‎ ‎∴面，‎ ‎∵面，‎ ‎∴，又，‎ 面；‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结，，‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,∴,‎ 以为原点，建立如图坐标系；‎ 易知，，，，‎ 则，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，解得，‎ 设直线与平面所成角为，‎ ‎；‎ ‎（Ⅲ）假设存在，使得平面，设，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，得，‎ ‎，‎ ‎∵平面，平面的法向量为，‎ ‎∴，即，解得，‎ 即当时，满足题意．‎ ‎18.（1）解析：，根据题意，有 ‎．‎ ‎（2）解析：‎ 由（1），，导函数分母为正，只需考虑分子的符号即可．‎ 构造函数，．‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，即恒成立且不恒为，因此且不恒为．‎ 故在上单调递增，无单调递减区间．‎ ‎19.【解析】（1）由题意得，，，又因为 解得，，‎ ‎，故方程为 ‎（2）当在左顶点处时，所以,当在下顶点时,,当在上顶点时，不合题意，当不在顶点处，设，则，即，‎ 又因为，，则直线：，令，得 直线：，令，得 ‎， ，‎ ‎20.解：（I） 的所有元素：‎ ‎（II） 证明：不妨设中的最大值第一次出现时为，‎ 则由可得 因此对小于的每个正整数都有，‎ 故，所以；‎ ‎(III) 证明：‎ ①当时，显然成立；‎ ②当时，先证明数列中第一次出现比大的数应属于区间，否则假设第一次出现比大的数为，则，矛盾，故结论成立．‎ 依题 同理数列中第一次出现比大的数时应属于区间，其对应的项也都是数列的“时刻”‎ 若，则至少对应个“时刻”；‎ 若，则第一次出现比大的数时所对应的项数也为数列的“时刻”，则至少会有个“时刻”；‎ 综上，的元素个数不小于