山东高考理科数学试题及解析答案12

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山东高考理科数学试题及解析答案12

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 理 科 数 学 ‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)集合,,若,则的值为 ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)4‎ ‎(2)复数等于 ‎(A) B) C) D)‎ ‎(3)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎(4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(5) 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的 ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ ‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ ‎(6) 函数的图像大致为 A ‎ B ‎ C ‎ P ‎ 第7题图 ‎ ‎ ‎ ‎ (7)设P是△ABC所在平面内的一点,,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎96 98 100 102 104 106 ‎ ‎0.150 ‎ ‎0.125 ‎ ‎0.100 ‎ ‎0.075 ‎ ‎0.050 ‎ 克 ‎ 频率/组距 ‎ 第8题图 ‎ ‎(8)某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100), [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ‎(A)90 (B)75 (C) 60 (D)45‎ ‎(9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ‎(A) (B) 5 (C) (D)‎ ‎ (10) 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为 ‎(A)-1 (B) 0 (C)1 (D) 2‎ ‎(11)在区间[-1,1]上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为( ).‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ ‎(12) 设x,y满足约束条件 ,‎ 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的是最大值为12,则的最小值为( ). ‎ ‎(A) (B) (C) (D) 4‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。‎ ‎(13)不等式的解集为 .‎ 开始 ‎ S=0,T=0,n=0 ‎ T>S ‎ S=S+5 ‎ n=n+2 ‎ T=T+n ‎ 输出T ‎ 结束 ‎ 是 ‎ 否 ‎ ‎(14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .‎ ‎(15)执行右边的程序框图,输入的T= .‎ ‎(16)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 三、解答题:本大题共6分,共74分。‎ ‎(17)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.‎ (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.‎ (2) 设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎ 如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ (1) 证明:直线EE//平面FCC;‎ (2) 求二面角B-FC-C的余弦值。‎ ‎ (19)(本小题满分12分)‎ ‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q为0.25,在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ (1) 求q的值;‎ (2) 求随机变量的数学期望E;‎ (3) 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.‎ ‎(1)求r的值;‎ ‎(11)当b=2时,记 ‎ 证明:对任意的 ,不等式成立 ‎(21)(本小题满分12分)‎ 两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎(I)将y表示成x的函数;‎ ‎(Ⅱ)讨论(I)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ 设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,‎ ‎(I)求椭圆E的方程;‎ ‎(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。‎ ‎2009年高考数学山东理科解析 一、选择题 ‎1.【答案】D ‎【解题关键点】因为.所以,选D.‎ ‎2.【答案】C ‎【解题关键点】因为,故选C.‎ ‎3.【答案】B ‎【解题关键点】由题意知:平移后的函数解析式为,‎ ‎,选B.‎ ‎4.【答案】C ‎【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的,所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和,其中圆柱的底面园直径为2,高为2,所以圆柱的体积为,正四棱锥的测棱长为2,底面正方形的对角线为2,所以此正四棱锥的体积,为故选C.‎ ‎5.【答案】B ‎【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出;但是,反过来,若且 为平面内的一条直线,则不一定有,还可能有与平面相交但不垂直、、‎ ‎.故选B.‎ ‎6.【答案】A ‎【解题关键点】排除法:因为当时,函数无意义,故排除,故选A.‎ ‎7.【答案】B ‎【解题关键点】因为,所以点为的中点,.即有,故选B.‎ ‎8.【答案】A ‎【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36,所以样本容量为 ‎,所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为,故选A.‎ ‎9.【答案】D ‎【解题关键点】由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组消去y,得有唯一解,所以,所以 ‎,故选D.‎ ‎10.【答案】C ‎【解题关键点】由已知得 ‎ ‎ 所以函数的值以6为周期重复性出现,所以,故选C ‎11.【答案】A ‎【解题关键点】当时,在区间上,只有或,即,根据几何概型的计算方法,这个概率值是.‎ ‎12.【答案】A ‎【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分,由题意知:‎ 当直线过直线与直线 的交点时,目标函数 取最大值12,即,即,‎ 而,当且仅 当时取等号,故选A .‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎【解题关键点】原不等式等价于,两边平方并整理得:,解得.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解题关键点】函数= (且)有两个零点,方程有两个不相等的实数根,即两个函数与的图像有两个不同的交点,当时,两个函数的图像有且仅有一个交点,不合题意;当时,两个函数的图像有两个交点,满足题意.‎ ‎15.【答案】30‎ ‎【解题关键点】由框图知,S=5,n=2,T=2;‎ S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;‎ S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解题关键点】因为定义在上的奇函数,满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图像关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间上是增函数,所以在区间上也是增函数,如下图所示,那么方程在区间上有四个不同的根,不妨设,由对称性知,‎ ‎,,所以.‎ 三、解答题 ‎17‎ ‎【答案】(I)‎ ‎,‎ 当时,函数的最大值为,最小正周期为.‎ ‎(II)==-,得到,又为锐角,故,‎ 故.‎ ‎18.‎ ‎【答案】解法一:(I)在在直四棱柱 中,取的中点,连结,由于 ‎,所以平面,因此平面即为平面,连结,,由于,‎ 所以四边形为平行四边形,因此,又因为、分别是棱、的中点,所以,所以,又因为平面,平面,所以直线平面.‎ ‎(II)因为是棱的中点,所以为正三角形,取的中点,则,又因为直四棱柱中,平面,所以,所以,过在平面内作,垂足为,连接 ‎,则为二面角的一个平面角,在为正三角形中,,在中,~,∵‎ ‎∴,在中,,,所以二面角的余弦值为.‎ ‎ ‎ 解法二:(I)因为是棱的中点 所以,为正三角形,因为为 等腰梯形,所以,取的中点, ‎ 连接,则,所以,‎ 以为轴, 为轴, 为轴建立空间直 角坐标系如图所示,‎ 则(0,0,0),,,,‎ ‎,,,所以 ‎,,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面. ‎ ‎(II),设平面的法向量为,则所以,取,则 ‎,‎ ‎,, ‎ 所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. ‎ ‎19.‎ ‎【答案】(I)设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,, ,.‎ 根据分布列知: =0时=0.03,所以,.‎ ‎(II)当=2时, = ,( ), ‎ ‎( )‎ 当=3时, =;‎ 当=4时, =;‎ 当=5时, =‎ 所以随机变量的分布列为 随机变量的数学期望 ‎.‎ ‎(III)该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择(I)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.‎ 因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率.‎ ‎20.【答案】(I)由题意知:.当时,‎ ‎,由于且,所以当时,{}是以为公比的等比数列,又,,即,解得.‎ ‎(II)当时,,‎ 又当时,,适合上式,,‎ ‎,‎ 下面有数学归纳法来证明不等式:‎ 证明:(1)当时,左边右边,不等式成立.‎ ‎(2)假设当时,不等式成立,即 ‎,当时,左边,所以当时,不等式也成立.‎ 由(1)、(2)可得当时,不等式恒成立,所以对任意的,不等式成立.‎ ‎21.【答案】(I)如右图,由题意知 ‎,,‎ 当垃圾处理厂建在弧的中点时,垃圾处理厂到、的距离都相等,且为,所以有,‎ 解得,‎ ‎(II) ,‎ 令,得,解得,即,‎ 又因为,所以函数在上是减函数,在上是增函数,‎ 当时,y取得最小值,‎ 所以在弧上存在一点,且此点到城市的距离为,使建在此处的垃圾 处理厂对城市、的总影响度最小.‎ ‎【解题关键点】‎ ‎【结束】‎ ‎22.‎ ‎【答案】(I)椭圆: 过(2,), (,1)两点,‎ ‎,解得,所以椭圆的方程为.‎ ‎(II)假设存在该圆,满足条件,则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,‎ 只该圆在椭圆内部,设该圆的方程为,则当直线的斜率存在时,设该圆的切线方程为,解方程组得 ‎,即,‎ 则,即 ‎,要使,需使,即,所以,‎ 所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,‎ ‎,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,‎ ‎, ‎ 当时,,‎ 当时,‎ 因为所以,故 当AB的斜率不存在时, .‎ 综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且的取值范围是.‎
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