上海市夏季高考数学试卷含答案

上海市夏季高考数学试卷含答案

上海市2019届秋季高考数学考试卷 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）‎ 1. 已知集合，则________.‎ 2. 已知且满足，求________.‎ 3. 已知向量，，则与的夹角为________.‎ 4. 已知二项式，则展开式中含项的系数为________.‎ 5. 已知x、y满足，求的最小值为________.‎ 6. 已知函数周期为，且当，，则________.‎ 7. 若，且，则的最大值为________.‎ 8. 已知数列前n项和为，且满足，则______.‎ 9. 过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.‎ 10. 某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.‎ 11. 已知数列满足（），在双曲线上，则_______.‎ 12. 已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ 13. 已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）‎ A. ‎ 1 B. ‎2 C. 4 D. 8 ‎ 15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ 1. 已知.‎ ‎①存在在第一象限，角在第三象限；‎ ‎②存在在第二象限，角在第四象限；‎ A. ‎①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；‎ 三.解答题（本大题共5题，共76分）‎ 2. ‎（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.‎ ‎（1）求直线与平面的夹角；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎18.（本题满分14分）已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，有零点，求的范围.‎ ‎19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，.‎ ‎（1）求长度；‎ ‎（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）‎ ‎20.（本题满分16分）‎ 已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.‎ ‎（1）若AB垂直于轴时，求；‎ ‎（2）当时，在轴上方时，求的坐标；‎ ‎（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题满分18分）‎ 数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.‎ ‎（1）若，求可能的值；‎ ‎（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；‎ ‎（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.‎ 上海市2019届秋季高考数学考试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）‎ ‎1.已知集合，则________.‎ ‎【思路分析】然后根据交集定义得结果．‎ ‎【解析】：根据交集概念，得出：.‎ ‎【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎2.已知且满足，求________.‎ ‎【思路分析】解复数方程即可求解结果．‎ ‎【解析】：，.‎ ‎【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．‎ ‎3.已知向量，，则与的夹角为________.‎ ‎【思路分析】根据夹角运算公式求解．‎ ‎【解析】：.‎ ‎【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．‎ ‎4.已知二项式，则展开式中含项的系数为________.‎ ‎【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含项的的项，再求系数．‎ ‎【解析】：‎ 令，则，系数为.‎ ‎【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．‎ ‎5.已知x、y满足，求的最小值为________.‎ ‎【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，‎ ‎. ‎ ‎【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎6.已知函数周期为，且当，，则________.‎ ‎【思路分析】直接利用函数周期为1，将转到已知范围内，代入函数解析式即可．‎ ‎【解析】：.‎ ‎【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．‎ ‎7.若，且，则的最大值为________.‎ ‎【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有的式子求解 ‎【解析】：法一：，∴；‎ 法二：由，（），求二次最值.‎ ‎【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．‎ ‎8.已知数列前n项和为，且满足，则______.‎ ‎【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.‎ ‎【解析】：由得：（）‎ ‎∴ 为等比数列，且，，∴ .‎ ‎9.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.‎ ‎【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 ‎【解析】：依题意求得：，，设M坐标 有：，代入有：‎ 即：.‎ ‎【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎10某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.‎ ‎【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.‎ ‎【解析】：法一：（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）‎ 法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）‎ ‎【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．‎ ‎11.已知数列满足（），在双曲线上，则_______.‎ ‎【思路分析】利用点在曲线上得到关于n的表达式，再求极限.‎ ‎【解析】：法一：由得：，∴，‎ ‎，利用两点间距离公式求解极限。‎ 法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.‎ ‎【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．‎ ‎12.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.‎ ‎【思路分析】‎ ‎【解析】：‎ ‎【归纳与总结】‎ 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【思路分析】根据直线的斜率求解.‎ ‎【解析】：依题意：为直线的一个法向量，∴ 方向向量为，选D.‎ ‎【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．‎ ‎14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）‎ A. ‎ 1 B. ‎2 C. 4 D. 8 ‎ ‎【思路分析】根据直线的斜率求解.‎ ‎【解析】：依题意：，，选B.‎ ‎15.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.‎ ‎【解析】：法一（推荐）：依次代入选项的值，检验的奇偶性，选C；‎ 法二：，若为偶函数，则，且也为偶函数（偶函数×偶函数=偶函数），∴ ，当时，，选C.‎ ‎16.已知.‎ ‎①存在在第一象限，角在第三象限；‎ ‎②存在在第二象限，角在第四象限；‎ A. ‎①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；‎ ‎【思路分析】根据选择项代入检验或者根据函数性质求解.‎ ‎【解析】：法一：（推荐）取特殊值检验法：例如：令和，求看是否存在.(考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.‎ 法二：解：……①‎ 设，则原式可化为，整理得，‎ 以为主元，则要使方程有解，需使有解，‎ 令，则恒成立 ‎∴函数在上单调递减，又∵‎ ‎∴存在使，当时 设方程的两根分别为，‎ 当时，，故必有一负根，②对；‎ 当时，，故两根均为负根，①错；选D.‎ 三. 解答题（本大题共5题，共76分）‎ ‎17.（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.‎ ‎（1）求直线与平面的夹角；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解..‎ ‎【解析】：（1）依题意：，连接AC，则与平面ABCD所成夹角为；‎ ‎∵ ，，∴为等腰直角△，；‎ ‎∴ 直线与平面的夹角为.‎ （2） 法一（空间向量）：如图建立坐标系：‎ 则：，，，‎ ‎，，‎ ‎∴求平面的法向量：‎ ‎，得：‎ A到平面的距离为：‎ 法二（等体积法）：利用求解，求时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用求解.‎ ‎【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎18.（本题满分14分）已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，有零点，求的范围.‎ ‎【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.‎ ‎【解析】：（1）当时，；‎ 代入原不等式：；即：‎ 移项通分：，得：；‎ （2） 依题意：在上有解 参编分离：，即求在值域，‎ 在单调递增，；‎ ‎，故：.‎ ‎【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用．‎ ‎19.（本题满分14分）如图，为海岸线，‎ 为线段，为四分之一圆弧，，，，.‎ ‎（1）求长度；‎ ‎（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）‎ ‎【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.‎ ‎【解析】：（1）依题意：，弧BC所在圆的半径 弧BC长度为：km ‎（2）根据正弦定理：，求得：，‎ ‎∴‎ km

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