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文档介绍
高考真题圆锥曲线
2013 圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知,则双曲线:与:的（ ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，，所以，离心率为。中，，所以。所以两个双曲线有相同的焦距，选D. 2 ．（2013年高考四川卷（文9））从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，点在椭圆上，代入椭圆的方程，得，因为AB∥OP，所以，，，所以，，选C. 3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ） （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 【答案】C 【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2 ），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选C. 4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点,准线方程为。因为，所以，即，所以,即。所以的面积为，选C. 【规律总结】与抛物线有关的试题，更多的是考查抛物线的定义，利用到焦点的距离和到准线的距离相等，实现转化。 5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文4））已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的离心率为，即，所以。即，所以，即，所以。所以双曲线的渐近线为，选C. 6 ．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为，取一条渐近线为，所以点到直线的距离为． 7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆C的右焦点为，可知，又离心率等于，所以，解得，所以，即椭圆的方程为，选D. 8 ．（2013年高考四川卷（文5））抛物线的焦点到直线的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的焦点为(2,0)，到的距离为，选D. 【知识拓展】抛物线的焦点弦：抛物线的过焦点的弦，若，则，弦长．同样可得抛物线，类似的性质． 9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文5））设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】因为,所以。又 ，所以，即椭圆的离心率为，选D. 10．（2013年高考大纲卷（文8））已知且垂直于轴的直线交于且则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆方程为，则，① 当时，，所以， ② 解①②得，.故所求的方程为，选C. 11．（2013年高考辽宁卷（文11））已知椭圆的左焦点为F两点,连接了,若,则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以,选B. 12．（2013年高考重庆卷（文10））设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查双曲线的性质与方程。因为,所以根据对称性可知，直线, 关于轴对称，因为直线,所成的角为。所以直线的倾斜角为或，即斜率为或，要使直线与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率，当时，，所以，，即，所以。当时，有，即，所以，即，即，所以综上，即双曲线离心率的范围时，选A. 13．（2013年高考大纲卷（文12））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的焦点为(2,0)，所以，所以，即，，. 又设，，， ，即， 所以， ， 解得，故选D. 14．（2013年高考北京卷（文7））双曲线的离心率大于的充分必要条件是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，，则. 15．（2013年上海高考数学试题（文科18））记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则（ ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 选D 16．（2013年高考江西卷（文9））已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ） A．2: B．1:2 C．1: D．1:3 【答案】C 【解析】本题考查抛物线的定义及应用。抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点M，做准线的垂线，交准线于B。则，所以 设射线的倾斜角为，则，即，所以，所以|FM|：|MN|，选C。 17．（2013年高考山东卷（文11））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M处的切线平行于的一条渐近线,则= （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设知：抛物线的焦点F，双曲线的焦点F2(2,0)，所以直线FF2：.由得，即，双曲线C2的渐近线方程为，又由得，解得，所以，故. 18．（2013年高考浙江卷（文9））如图F1.F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点（ ） A．B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是 （第9题图） （ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】由已知得设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的定义和已知得到,解得，。所以双曲线的离心率为，所以选D 二、填空题 19．（2013年高考湖南（文14））设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________. 【答案】 【解析】本题考查双曲线的方程和性质。不妨设点P位于双曲线的右支上,因为，PF1⊥PF2，所以。由双曲线的定义可知，，即，所以，即C的离心率为。 20．（2013年高考卷（文11））双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 21．（2013年高考辽宁卷（文15））已知为双曲线的左焦点, 为上的点,若 的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为____________. 【答案】44 【解析】两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为. 22．（2013年上海高考数学试题（文科12））设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为_______. 【答案】 【解析】，代入椭圆的标准方程得。 23．（2013年高考北京卷（文9））若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=____;准线方程为_____. 【答案】2, 【解析】由题意，则. 24．（2013年高考福建卷（文））椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________ 【答案】 【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，中，，所以有，整理得，故答案为． 25．（2013年高考天津卷（文11））已知抛物线的准线过双曲线 的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______. 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以，即，且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为2，即，解得，所以，所以双曲线的方程为。 三、解答题 26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1) (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于M.N两点, 求|MN|的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:,且,所以抛物线方程是: ; (Ⅱ)设,所以所以的方程是:, 由,同理由 所以① 设,由, 且,代入①得到: , 设, ① 当时 ,所以此时的最小值是; ② 当时, ,所以此时的最小值是,此时,; 综上所述:的最小值是; 27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为 (I)求椭圆C的方程 (II)A,B为椭圆C上满足的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数的值. 【答案】 将代入椭圆方程,得 28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点. (1) 求抛物线的方程; (2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (3) 当点在直线上移动时,求的最小值. 【答案】(1)依题意,解得(负根舍去) 抛物线的方程为; (2)设点,,, 由,即得. ∴抛物线在点处的切线的方程为, 即. ∵, ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① 同理, . ② 综合①、②得,点的坐标都满足方程 . ∵经过两点的直线是唯一的, ∴直线 的方程为,即; (3)由抛物线的定义可知, 所以 联立,消去得, 当时,取得最小值为 29．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分. 如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”. (1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点; (3)求证:圆内的点都不是“型点”. 【答案】 30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点. (1)若点的纵坐标为2,求; (2)若,求圆的半径. 【答案】解:(Ⅰ)抛物线的准线的方程为, 由点的纵坐标为,得点的坐标为 所以点到准线的距离,又. 所以. (Ⅱ)设,则圆的方程为, 即. 由,得 设,,则: 由,得 所以,解得,此时 所以圆心的坐标为或 从而,,即圆的半径为 31．（2013年高考北京卷（文））直线():相交于,两点, 是坐标原点 (1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长. (2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形. 【答案】解:(I)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设,代入椭圆方程得,即. 所以|AC|=. (II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是的顶点,且AC⊥OB,所以. 由,消去并整理得. 设A,C,则,. 所以AC的中点为M(,). 因为M为AC和OB的交点,且,,所以直线OB的斜率为. 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑. 【答案】解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径;圆N的圆心为N(1,0),半径. 设知P的圆心为P(x,y),半径为R. (I) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 . 有椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为. (II) 对于曲线C上任意一点,由于,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为; 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得. 若l的倾斜角不为90°,则知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, 则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得, 解得k=±. 当k=时,将y=x+代入,并整理得, 解得. 当k=. 综上,. 33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程; (Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则 . 所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为 (Ⅱ) P(0, 3), 设 椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在..联立椭圆和直线方程,整理得: 所以,直线m的斜率 34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线离心率为直线 (I)求; (II)证明:成等比数列 【答案】(Ⅰ)由题设知,即,故. 所以C的方程为. 将y=2代入上式,求得,. 由题设知,,解得,. 所以. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C的方程为. ① 由题意可设的方程为,,代入①并化简得, . 设,,则 ,,,. 于是 , 由得,,即. 故,解得,从而. 由于, , 故, . 因而,所以、、成等比数列. 35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. 【答案】 36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为. (I)求的值; (II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程. 【答案】 37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。 （Ⅰ）求圆心的轨迹方程； （Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程。 【答案】 38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别 为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和. (Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值; (Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由. 第22题图 2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷 【答案】依题意可设椭圆和的方程分别为 :,:. 其中, (Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则 ,,所以. 在C1和C2的方程中分别令,可得,,, 于是. 若,则,化简得. 由,可解得. 故当直线与轴重合时,若,则. 解法2:如图1,若直线与轴重合,则 ,; ,. 所以. 若,则,化简得. 由,可解得. 故当直线与轴重合时,若,则. 第22题解答图1 第22题解答图2 (Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性, 不妨设直线:, 点,到直线的距离分别为,,则 因为,,所以. 又,,所以,即. 由对称性可知,所以, ,于是 . ① 将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得 ,. 根据对称性可知,,于是 . ② 从而由①和②式可得 . ③ 令,则由,可得,于是由③可解得. 因为,所以. 于是③式关于有解,当且仅当, 等价于. 由,可解得, 即,由,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得; 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性, 不妨设直线:, 点,到直线的距离分别为,,则 因为,,所以. 又,,所以. 因为,所以. 由点,分别在C1,C2上,可得 ,,两式相减可得, 依题意,所以. 所以由上式解得. 因为,所以由,可解得. 从而,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得; 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. 39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分) 如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,. (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值,并写出对应的圆的标准方程. 【答案】 40．（2013年高考湖南（文））已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线 的方程. 【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称. (Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意. 圆C:到直线的距离. . 由椭圆的焦半径公式得: . 所以当 41．（2013年高考安徽（文））已知椭圆的焦距为4,且过点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由 【答案】解: (1)因为椭圆过点 且 椭圆C的方程是 (2) 由题意,各点的坐标如上图所示, 则的直线方程: 化简得 又, 所以带入 求得最后 所以直线与椭圆只有一个公共点. 42．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3 (1) 求椭圆C的方程; (2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. 【答案】解: 所以再由a+b=3得a=2,b=1, ① 将①代入,解得 又直线AD的方程为 ② ①与②联立解得 由三点共线可角得 所以MN的分斜率为m=,则(定值) 查看更多