有关球的高考题

有关球的高考题

‎1.(2014·陕西高考理科·T5)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为　(　　)‎ A. B.4π C.2π D. ‎【解题指南】根据截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,满足勾股定理,求出球的半径,代入球的体积公式求解.‎ ‎【解析】选D.由正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,可设正四棱柱的上底所在截面圆的半径为R1,则+=1可得=;又侧棱长为,所以球心到截面圆的距离d=;由截面圆半径、球心距、球半径构成直角三角形,根据勾股定理得球半径R===1,代入球的体积公式得球的体积为.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　(　　)‎ A.12π B.π C.8π D.4π ‎【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.‎ ‎【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2,所以正 ‎3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为　(　　)‎ A.36π B.64π C.144π D.256π ‎【解题指南】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,利用VO-ABC=VC-AOB列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.‎ ‎【解析】选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=13×12R2×R=16R3=36,故R=6,则球O的表面积为 S=4πR2=144π.‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是　(　　)‎ A.4π B. C.6π D.‎ ‎【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.‎ ‎【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r==2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.‎ 方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π.‎ ‎5.（2010·辽宁高考文科·Ｔ11）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC，SA=AB=1，BC=,则球O的表面积等于（ ）‎ ‎（A）4 (B）3 (C)2 (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了空间两点间距离公式和球的表面积公式.‎ ‎【思路点拨】‎ 建立空间坐标系 设球心坐标 球的半径 球的表面积 ‎【规范解答】选A.平面ABC，AB，AC平面ABC，，，‎ 故可以A为原点，AC所在的直线为轴，AS所在的直线为轴建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz，则,,,,设球心O 坐标为，则点O到各顶点S，A，B，C的距离相等，都等于球的半径R.‎ ‎，‎ 解得，‎ 球的表面积为.故选A.‎ ‎【方法技巧】1.选用球心到各顶点的距离都相等来确定球心，才能求出半径，‎ ‎2.也可用另外的方法找到球心，因为∠ABC是直角，所以AC是过A，B，C三点的小圆的直径，所以球心在过AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因为球心到点 S，A，C的距离都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜边SC的中点，球的半径为SC的一半，‎ ‎3.另外，可将三棱锥S-ABC补成一个长方体进行求解.‎ ‎6.（2010 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.‎ ‎【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系.‎ ‎【规范解答】选Ｂ.设球心为，设正三棱柱上底面为，中心为，因为三棱柱所有棱的长为，则可知 ，，又由球的相关性质可知，球的半径，所以球的表面积为，故选Ｂ.‎ ‎7．（2011·辽宁高考文科·Ｔ10）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（ ）‎ ‎（A） (B) (C) (D)‎ ‎【思路点拨】找到直径的垂截面是解决本题的关键．‎ ‎【精讲精析】选C，设球心为，则是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边故，且有，．‎ ‎∴=．‎ ‎8.（2011·辽宁高考理科·Ｔ12）已知球的直径=4，是该球球面上的两点，=，，则棱锥的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）1‎ ‎【思路点拨】找到直径的垂截面是解决本题的关键．‎ ‎【精讲精析】选C.由题意可知和 是两个全等的直角三角形，过直角顶点分别作斜边上的高线，由于，求得，所以等边的面积为，所求棱锥的体积等于以为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径的长，故．‎ ‎9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形的顶点都在半径为 ‎4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 ‎ __ .‎ ‎【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD的 体积.‎ ‎【精讲精析】 如图所示，垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足为，‎ 连接，，则在中，由OB＝4, ，可得＝2,‎ ‎【答案】‎ ‎10.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________ ‎ ‎【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解.‎ ‎【精讲精析】如图设球的半径为，圆锥的底面 圆半径为，则依题意得 ‎，即 ‎，,‎ ‎【答案】‎ ‎11.（2012·新课标全国高考理科·T11）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）‎ ‎ (B) (C) (D)‎ ‎【解题指南】思路一：取AB的中点为，将棱锥分割为两部分，利用求体积；思路二：设点到面的距离为d,利用求体积；‎ 思路三：利用排除法求解.‎ ‎【解析】选A.方法一：是球O的直径，.‎ ‎，，，取AB的中点为，显然，SD，平面CDS.‎ 在中，，，，利用余弦定理可得 故，‎ ‎，‎ ‎+.‎ 方法二：的外接圆的半径，点到平面的距离，‎ 为球的直径点到平面的距离为，‎ 此棱锥的体积为.‎ 方法三：，排除.‎ ‎12. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高‎8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为‎6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用求出球的体积.‎ ‎【解析】选A. 设球的半径为R,由勾股定理可知， ,解得 ，所以球的体积 ‎13.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ8）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（ ） ‎ ‎（A）π （B）4π （C）4π （D）6π ‎【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股定理求得球的半径，然后利用公式求得球的体积.‎ ‎【解析】选B.设球O的半径为R，则，故.‎ ‎14.（2012·辽宁高考文科·Ｔ16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.‎ ‎【解题指南】注意到已知条件中的垂直关系，将点P,A,B,C,D看作长方体的顶点来考虑.‎ ‎【解析】由题意，PA⊥平面ABCD，则点P,A,B,C,D,可以视为球O的内接长方体的顶点，球O位于该长方体的对角线的交点处，那么△OAB的面积为长方体对角面的四分之一.‎ 的.‎ ‎【答案】‎ ‎15. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为（ ）‎ ‎【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。‎ ‎【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC为直角三角形，其外接圆的圆心为其斜边BC的中点，连接,由勾股定理，‎ 其中,所以球的半径为 ‎16.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H是球的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB⊥平面，H为垂足，截球 所得截面的面积为π，则球的表面积为_______.‎ ‎【解析】因为截球所得截面的面积为π，所以截面的半径为.设球的半径为,则,,由勾股定理得,解得.所以球的表面积为.‎ ‎【答案】.‎ ‎17. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ16）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）相同 已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于 .‎ ‎【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆.根据题意画出图形，确定圆与圆所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长.‎ ‎【解析】如图，‎ 设公共弦,为的中点，则，‎ 为圆与圆所在平面的二面角.‎ 所以，又为等边三角形，‎ 所以.又因为,， ‎ 所以，即.‎ 解得，所以.‎ ‎【答案】‎ ‎19. （2013·天津高考文科·Ｔ10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .‎ ‎【解题指南】先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长.‎ ‎【解析】设球半径为R，因为球的体积为，所以R=，又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3，故其棱长为.‎ ‎【答案】‎ ‎20. (2013·福建高考理科·T12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是　　　　　　　　.‎ ‎【解题指南】如果考球,我们只要清楚一个结论,外接球的直径就是长方体的对角线.‎ ‎【解析】球是棱长为2的正方体的外接球,则球的直径,所以球的表面积为S=4πR2=πd2=12π.‎ ‎【答案】12π ‎21. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ15）已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为________。‎ ‎【解题指南】利用正四棱椎的性质，求得OA的长，即可得球的表面积.‎ ‎【解析】设正四棱锥的高为，则，解得高，则底面正方形的对角线长为，所以,所以球的表面积为.‎ ‎【答案】‎