上海市各地市高考数学联考试题分类大汇编圆锥曲线

上海市各地市高考数学联考试题分类大汇编圆锥曲线

上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第10部分:圆锥曲线 一、选择题：[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 二、填空题：‎ ‎4．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科)双曲线的渐近线方程是 ．‎ ‎4．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科)双曲线的渐近线方程是 ．‎ ‎6、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于 4 ．‎ ‎11. (上海市五校2011年联合教学调研理科已知点及抛物线上一动点，则的最小值为 2 。‎ ‎13．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)已知双曲线的两焦点为、，若该双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，，则的大小为 （结果用反三角函数表示）. ‎ ‎1. (上海市普陀区2011年4月高三质量调研) 双曲线的实轴长为 .‎ ‎9、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)已知双曲线的一条渐近线的法向量是，那么 ‎ ‎3．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科)经过抛物线的焦点，且以为方向向量的直线的方程是 . 【】‎ ‎11、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为 。‎ ‎12. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为 ‎．‎ 三、解答题：‎ ‎21．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．‎ 已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．‎ ‎21．解：（1）设点的坐标分别为，‎ 则 故，可得， …………………2分 所以，…………………4分 故，‎ 所以椭圆的方程为．　 　　　 　……………………………6分 ‎（2）设的坐标分别为，则，‎ 又，可得，即， …………………8分 又圆的圆心为半径为，‎ 故圆的方程为，‎ 即，‎ 也就是， ……………………11分 令，可得或2，‎ 故圆必过定点和．　　　　　　　　 　……………………13分 ‎（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）‎ ‎23．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题理科) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．‎ ‎(1)求动点P所在曲线C的方程；‎ ‎(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；‎ ‎(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：‎ ‎，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．‎ ‎23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 解　(1) 设动点为， 1分 依据题意，有 ‎，化简得． 3分 因此，动点P所在曲线C的方程是：． ……………………4分 ‎(2) 点F在以MN为直径的圆的外部．‎ 理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示． 5分 联立方程组，可化为，‎ 则点的坐标满足． 7分 又、，可得点、．‎ 点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．‎ 因，，则=．9分 于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部． 10分 ‎(3)依据(2)可算出，，‎ 则 ‎ ‎，‎ ‎． 14分 所以，，即存在实数使得结论成立． 15分 对进一步思考问题的判断：正确． 18分[来源:学科网ZXXK]‎ ‎23．(上海市黄浦区2011年4月高考二模试题文科) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线(是正常数)的距离为，到点的距离为，且1．‎ ‎(1)求动点P所在曲线C的方程；‎ ‎(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，求证=；‎ ‎(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，，求的值．‎ ‎23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 解　(1) 设动点为， 1分 依据题意，有 ‎，化简得． 4分 因此，动点P所在曲线C的方程是：． ……………………6分 (2) 由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，‎ 故可设直线：，如图所示． 8分 联立方程组，可化为，‎ 则点的坐标满足． 10分 又、，可得点、．‎ 于是，，，‎ 因此． 12分 ‎(3)依据(2)可算出，，‎ 则 ‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎，‎ ‎． 16分 所以，即为所求． 18分 ‎22、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)（本题满分16分）已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22、（16分）（1）由， ，得，，‎ 所以椭圆方程是：……………………4分 ‎（2）设EF：（）代入，得，‎ 设，，由，得．‎ 由，……………………8分 得，，（舍去），（没舍去扣1分）‎ 直线的方程为：即……………………10分 ‎（3）将代入，得（*）‎ 记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．………………14分 解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………16分 ‎22．(上海市五校2011年联合教学调研理科(上海市五校2011年联合教学调研理科 ‎（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分．‎ 已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过作直线交曲线于两点，使得2，求直线的方程。‎ ‎（3）若从动点向圆：作两条切线，切点为、，令|PC|=d,‎ 试用d来表示，并求的取值范围。‎ ‎22. 解：（1）由，知点的轨迹是以为焦点，‎ 实轴长为的双曲线。 2分 即设 所以所求的的方程为 4分 ‎（2）若k不存在，即x=2时,可得A(2,)，B(2,-),|AB|=2满足题意； 5分 若k存在，可设l:y=k(x-2)‎ 联立，‎ 由题意知且 6分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=‎ 即 =2‎ ‎ k=0 即l:y=0 8分 所以直线l的方程为 x=0或y=0 9分 ‎（3）‎ ‎ 11分 又 则----- 13分 在是增函数， ‎ 则所求的的范围为。 16分 ‎23．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)（本题满分18分，第1小题满分4分，第2‎ 小题满分8分，第3小题满分6分）‎ 在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；[来源:学科网]‎ ‎（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线 必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；‎ ‎（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。‎ ‎23．（1）依题意，椭圆过点，故，解得。………………………………………（3分）‎ 椭圆的方程为。……………………………………………………………………………（4分）‎ ‎ A ‎ B ‎ Q ‎ O ‎ M ‎ N ‎ x ‎ y ‎ 9‎ ‎（2）设，直线的方程为，……………（5分）‎ 代入椭圆方程，得， ……（6分）‎ 设，则，…（7分）‎ ‎，故点的坐标为。………（8分）‎ 同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，‎ 设，则，。‎ 可得点的坐标为。…………………………………………………………（10分）‎ ‎①若时，直线的方程为，与轴交于点；‎ ‎②若，直线的方程为，‎ 令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。…………………………（12分）‎ ‎（3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。………（14分）‎ 证明：设，则，‎ ‎ P ‎ O ‎ M ‎ N ‎ x ‎ y ‎ ‎ 直线的方程为，代入，得，可求得。…（16分）‎ 直线的方程为，‎ 令，得，即直线必过定点。……（18分）‎ ‎22. (上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分、第3小题 满分7分．‎ 已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.‎ ‎（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；‎ ‎（2）若，直线的斜率为，求证：；‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.‎ ‎22.解：设直线与椭圆的交点坐标为.‎ ‎（1）把代入可得：， （2分）[来源:Z#xx#k.Com]‎ 则，当且仅当时取等号 （4分）‎ ‎（2）由得，，（6分）‎ 所以 ‎ ‎ （9分）‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）‎ 当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，‎ 由消去整理得 则 ① 又 ② （13分）‎ 所以（15分）‎ 当直线与轴垂直时，由得两交点，‎ 显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.（16分）‎ ‎21、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)已知和，点满足，为直角坐标原点，‎ ‎(1)求点的轨迹方程； （6分）‎ ‎(2)（理）任意一条不过原点的直线与轨迹方程相交于点两点，三条直线，，的斜率分别是、、，，求；（10分）‎ ‎（文）过点且以为方向向量的一条直线与轨迹方程相交于点两点，，所在的直线的斜率分别是、，求的值； （10分）‎ ‎21、解：（1） 6分 ‎(2)（理）、设直线的方程： 7分 ‎ 消去得：， 9分 ‎ 10分 消去得：， 12分 ‎， 14分 ‎ 16分 ‎（文）直线的斜率 7分 设直线的方程： 8分 联立消去得：所以， 10分 同法消去得：，所以 12分 ‎ 16分 ‎21．(上海市杨浦区2011年4月高三模拟理科) (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ x O A MAO N C P yxO 已知圆.‎ ‎（1）设点是圆C上一点，求的取值范围；‎ ‎（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹的内接矩形的最大面积.‎ ‎21．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 解：（理）（1）∵点在圆C上，∴可设；……………………………2分 ‎，……………………………………………4分 从而.……………………………………………………………………………………6分 ‎（2）‎ ‎∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……………………………………………………………8分 又 ‎∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.……………………………………10分 且椭圆长轴长为焦距‎2c=2. ‎ ‎∴点N的轨迹是方程为…………………………………………………………………12分 所以轨迹E为椭圆，其内接矩形的最大面积为.………………………………………………14分 ‎23、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分。‎ 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。‎ （1） 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；‎ （2） 写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？‎ （3） 如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：‎ ‎23．解：（1）椭圆与相似。-------------------2分 因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为-------------------4分 ‎（2）椭圆的方程为：-------------------6分 设，点，中点为，‎ 则，所以-------------------8分 则 -------------------9分 因为中点在直线上，所以有，-------------------10分 即直线的方程为：，‎ 由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，‎ 即方程有两个不同的实数解，‎ 所以，即-------------------12分 ‎（3）证明：‎ ‎①直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以；-------------------14分 ‎②直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，，‎ 线段AB的中点，‎ ‎-------------------15分 线段AB的中点为-------------------16分 同理可得线段CD的中点为，-------------------17分 即线段AB与CD的中点重合，所以-------------------18分