江苏高考解析几何含解析

江苏高考解析几何含解析

‎2018年-2008年江苏高考解析几何题(共20题）‎ 说明：解析几何题填空题选自最后4题，解答题考在17题或18题，是解答题的第三、四两题之一，是中档题，是学生取得优分必须要突破的题型，必须重视。做错的认真订正，并在可能的情况下多练。‎ 1． 在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交 于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．‎ 2． 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．‎ 3. 在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取 值范围是 .‎ ‎4.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ ‎5.如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎6.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎8．如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接。‎ ‎（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率的值。‎ ‎9．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎10．如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ x y A l O 11. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．‎ ‎12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率； （ii）求证：是定值．‎ ‎13、设集合, , ‎ 若 则实数m的取值范围是______________‎ ‎14、如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB 15、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_____‎ ‎16、在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹； （2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎ 17．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . ‎ ‎18.在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎19.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ． ‎ ‎20．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：‎ ‎（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；‎ ‎（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．‎ 解析如下：‎ ‎1．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设，则由圆心为中点得，‎ 易得，与联立解得点的横坐标，所以．所以，，‎ 由得，‎ ‎，或，因为，所以．‎ ‎2．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，‎ 求直线l的方程．‎ ‎18．【答案】（1）椭圆的方程为；圆的方程为；‎ ‎（2）①点的坐标为；②直线的方程为．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆的焦点为，，‎ 可设椭圆的方程为．又点在椭圆上，‎ 所以，解得，因此，椭圆的方程为．‎ 因为圆的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线与圆相切于，则，‎ 所以直线的方程为，即．‎ 由，消去，得．（*）‎ 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以．‎ 因为，，所以，．‎ 因此，点的坐标为．‎ ‎②因为三角形的面积为，所以，从而．‎ 设，，由（*）得，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 解得（舍去），则，因此的坐标为．‎ 综上，直线的方程为．‎ 3. 在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范 是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】直线与圆，线性规划 ‎4.（本小题满分14分） 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.‎ F1‎ ‎ ‎ O ‎ ‎ F2‎ x y ‎(第17题)‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 从而直线的方程：， ①‎ 直线的方程：. ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 因此点P的坐标为.‎ ‎5. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎ (2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15. ‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为 ‎7.（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎（2）当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 ‎．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而，故直线的方程为，‎ 则点的坐标为，从而．‎ 因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ ‎8．（满分14分）如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接。‎ ‎（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求椭圆离心率的值。‎ ‎ ‎ ‎9．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为 ‎，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．‎ y x l B F O c b a ‎10．x y A l O （本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，点，直线．‎ 设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，‎ ‎ 求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围．‎ 解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．‎ 设切线为：，‎ d＝，得：．‎ 故所求切线为：．‎ ‎（2）设点M(x，y)，由，知：，‎ 化简得：，‎ 即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．‎ 又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．‎ 故：1≤|CD|≤3，其中．‎ 解之得：0≤a≤．‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意将此化成标准形式为：，得到，该圆的圆心为半径为 ，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心到直线的距离，即可，所以有，化简得解得，所以k的最大值是 .‎ ‎12. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ A B P O x y ‎（第19题）‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【命题意图】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎【解析】(1)设题设知，，由点（1，）在椭圆上，‎ 得=1，解得=1，于是，‎ 又点（，）在椭圆上，∴=1，即，解得=2，‎ ‎∴所求椭圆方程的方程是=1；‎ ‎（2）由（1）知(－1,0),(1,0), ∵∥， ‎ ‎ ∴可设直线的方程为：，直线的方程为：，‎ 设，，‎ 由，得，解得，‎ 故===， ①‎ 同理，=， ②‎ ‎（ⅰ）由①②得－=，解得=得=2，‎ ‎∵，∴，∴直线的斜率为.‎ ‎（ⅱ）∵∥， ∴, ∴, ∴,‎ 由B点在椭圆知,∴,同理,‎ ‎∴==‎ 由①②知，+=，×=，‎ ‎∴==，∴是定值.‎ ‎13、设集合, , ‎ 若 则实数m的取值范围是______________‎ 答案：‎ 解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 .又因为 N M P A x y B C ‎14、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎ ‎ 解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、‎ 解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、‎ 直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。‎ ‎（1）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以 ‎（2）由得，，AC方程：即：‎ 所以点P到直线AB的距离 ‎（3）法一：由题意设，‎ A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，‎ ‎，两式相减得：‎ 法二：设,‎ A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得：,‎ ‎,‎ ‎15、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[来源 ‎[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，‎ 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎16、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。‎ ‎[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，‎ 解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ ‎ 令，解得：。此时必过点D（1，0）；‎ 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。‎ ‎（方法二）若，则由及，得，‎ 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。‎ 若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。‎ 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ 17． 如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ . ‎ ‎【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。‎ 直线的方程为：；‎ 直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则在椭圆上，‎ ‎，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解得：‎ ‎18．（本小题满分16分） ‎ 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 结合点到直线距离公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 化简得：‎ 求直线的方程为：或，即或 ‎(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：‎ ‎，即：‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解之得：点P坐标为或。‎ ‎19.在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ▲ ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．‎ ‎20．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：‎ ‎（Ⅰ）求实数b 的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求圆C 的方程；‎ ‎（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．‎ ‎【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ 解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．‎ 证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，‎ 所以圆C 必过定点（0，1）．‎ 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．‎