高考数学考前专题限时训练含答案基础提升作业手册
专题限时集训(一)
[第 1 讲 集合与常用逻辑用语]
(时间：5 分钟＋30 分钟)
基础演练
1．已知全集 U＝{x∈Z|1≤x≤5}，集合 A＝{1，2，3}，∁UB＝{1，2}，则 A∩B＝( )
A．{1，2} B．{1，3}
C．{3} D．{1，2，3}
2．命题“对任意 x∈R，都有 x3＞x2”的否定是( )
A．存在 x0∈R，使得 x30＞x20
B．不存在 x0∈R，使得 x30＞x20
C．存在 x0∈R，使得 x30≤x20
D．对任意 x∈R，都有 x3≤x2
3．若 p：(x－3)(x－4)＝0，q：x－3＝0，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知集合 M＝{x|x≥x2}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则 M∩N＝( )
A．(0，1) B．[0，1]
C．[0，1) D．(0，1]
5．已知集合 A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x 2 －x＝0}，则集合 A∩B 的子集个数是
________．
提升训练
6．已知全集 I＝{1，2，3，4，5，6}，集合 M＝{3，4，5}，N＝{1，2，3，4}，则图 11
中阴影部分表示的集合为( )
图 11
A．{1，2}
B．{1，2，6}
C．{1，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，6}
7．已知集合 A＝{x|x－1
x＝0，x ∈ R}，则满足 A∪B＝{－1，0，1}的集合 B 的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．9
8．命题“若 a，b，c 成等比数列，则 b2＝ac”的逆否命题是( )
A．若 a，b，c 成等比数列，则 b2≠ac
B．若 a，b，c 不成等比数列，则 b2≠ac
C．若 b2＝ac，则 a，b，c 成等比数列
D．若 b2≠ac，则 a，b，c 不成等比数列
9．已知集合 M＝{y|y＝lg(x2＋1)}，N＝{x|4x＜4}，则 M∩N 等于( )
A．[0，＋∞) B．[0，1)
C．(1，＋∞) D．(0，1]
10．已知集合 M＝{x|x2－3x＝0}，集合 N＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，则 M∩N＝( )
A．{3} B．{0}
C．{0，3} D．{－3}
11．若 a，b 为实数，则“ab＜1”是“0＜a＜
1
b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．给出如下四个判断：
①∃x0∈R，ex0≤0；
②∀x∈R＋，2x＞x2；
③设集合 A＝{x|x－1
x＋1＜0}，B＝{x|x2－2x＋1－a2＜0，a≥0}，则“a＝1”是“A∩B≠∅”
的必要不充分条件；
④a，b 为单位向量，其夹角为 θ，若|a－b|＞1，则
π
3 ＜θ≤π．
其中正确判断的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
13 ． 命 题 “ 若 f(x) 是 奇 函 数 ， 则 f( － x) 是 奇 函 数 ” 的 否 命 题 是
________________________________________________________________________．
14．若集合 P＝{0，1，2}，Q＝(x，y){x－y＋1＞0，
x－y－2＜0，x，y∈P，则集合 Q 中元素的个数
是__________．
15．命题“存在实数 x，使得不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≤0”是假命题，则实数 m 的取
值范围是________．
专题限时集训(二)
[第 2 讲 平面向量与复数]
(时间：5 分钟＋30 分钟)
基础演练
1．复数
5i
1＋2i的虚部是( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
2．若复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则在复平面内 z 对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．在△ABC 中，“AB→
·BC→
＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．向量 a＝(3，－4)，向量|b|＝2，若 a·b＝－5，则向量 a 与 b 的夹角为( )
A．
π
3 B．
π
6
C．
2π
3 D．
3π
4
5．已知平面向量 a，b，若|a|＝3，|a－b|＝ 13，a·b＝6，则|b|＝________，向量 a，b 夹
角的大小为________．
提升训练
6．复数
5
i－2的共轭复数是( )
A．－2＋i
B．2＋i
C．－2－i
D．2－i
7．在复平面内，复数 z＝(1＋2i)2 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．已知复数 z1＝(2－i)i，复数 z2＝a＋3i(a∈R)．若复数 z2＝kz1(k∈R)，则 a＝( )
A．
3
2 B．1 C．2 D．
1
3
9．如果复数
2－bi
1＋2i(b∈R，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么 b 等于( )
A． 2 B．
2
3
C．－
2
3 D．2
10．已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为 AB 边上任意一点，则CP→
·(BA→
－
BC→
)的最大值为( )
A．8 B．9
C．12 D．15
11．已知向量 a·(a＋2b)＝0，|a|＝|b|＝1，且|c－a－2b|＝1，则|c|的最大值为( )
A．2 B．4
C． 5＋1 D． 3＋1
12 ． 已 知 a ， b∈R ， i 是 虚 数 单 位 ． 若
（1＋ai）（1－i）
b＋i ＝ 2 － i ， 则 a ＋ bi ＝
________．
13．在△ABC 中，AB＝2，D 为 BC 的中点．若AD→
·BC→
＝－
3
2，则 AC＝________．
14．已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，若DE→
＝2EC→
，CF→
＝2FB→
，则AE→
·AF→
的值为
________．
15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 的坐标为(3，a)，a∈R，点 P 满足OP→
＝λOA→
，
λ∈R，|OA→
|·|OP→
|＝72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为________．
专题限时集训(三)
[第 3 讲 不等式与线性规划]
(时间：5 分钟＋30 分钟)
基础演练
1．已知集合 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|(x－1)(x＋1)＞0}，则 A∩B＝ ( )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．已知全集 U＝R，集合 M＝{x|x－1
x＋1＜0}，N＝{x|x2－x＜0}，则集合 M，N 的关系用图
示法可以表示为( )
图 31
3．设变量 x，y 满足约束条件{x＋y ≥ 1，
x－y ≥ 0，
2x－y－2 ≤ 0，
则目标函数 z＝x－2y 的最大值为( )
A．3
2 B．1
C．－
1
2 D．－2
4．若 a＜b＜0，则下列不等式不成立的是( )
A．
1
a－b＞
1
a B．
1
a＞
1
b
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
5．若 x＞0，y＞0，则
x＋y
x＋ y
的最小值为( )
A． 2 B．1
C．
2
2 D．
1
2
提升训练
6．已知集合 A＝{x|x2－2x－3＜0}，集合 B＝{x|2x＋1＞1}，则∁BA＝( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
7．已知集合 A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{y|y＝2x＋2}，则 A∩B＝( )
A．∅ B．[1，2)
C．[1，5] D．(2，5]
8．已知向量 a＝(m，1－n)，b＝(1，2)，其中 m＞0，n＞0．若 a∥b，则
1
m＋
1
n的最小值
是( )
A．2 2
B．3＋2 2
C．4 2
D．3＋ 2
9．已知 M(x，y)是不等式组{x ≥ 0，
y ≥ 0，
x－y＋1 ≥ 0，
2x＋y－4 ≤ 0
表示的平面区域内的动点，则(x＋1)2＋(y＋1)2
的最大值是( )
A．10 B．
49
5
C． 13 D．13
10．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a2＋b2＝3c2，则 cos C 的
最小值为( )
A．
1
2 B．
1
4
C．
3
2 D．
2
3
11．设 x，y 满足约束条件{y ≥ 0，
y ≤ x，
x＋2y－a ≤ 0，
若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 6，则 a＝
________．
12．已知 x，y 均为正实数，且 xy＝x＋y＋3，则 xy 的最小值为________．
13．已知 x，y 满足{y－2 ≤ 0，
x＋3 ≥ 0，
x－y－1 ≤ 0，
则
x＋2y－6
x－4 的最大值是________．
14．已知函数 f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为 f′(x)，且 f′(0)＝4，则 a 2＋2b2 的最小值为
________．
15．设 x，y 满足约束条件{2x－y＋2 ≥ 0，
8x－y－4 ≤ 0，
x ≥ 0，
y ≥ 0，
若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值
为 8，则 ab 的最大值为________．
专题限时集训(四)
[第 4 讲 算法、推理证明、排列、组合与二项式定理]
(时间：5 分钟＋30 分钟)
基础演练
1．给出下面类比推理的命题(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：
①“若 a，b∈R，则 a－b＝0⇒a＝b”，类比推出“若 a，b∈C，则 a－b＝0⇒a＝b”；
②“若 a，b，c，d∈R，则复数 a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”，类比推出“若 a，b，c，
d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2⇒a＝c，b＝d”；
③“若 a，b∈R，则 a－b>0⇒a>b”，类比推出“若 a，b∈C，则 a－b>0⇒a>b”；
④“若 x∈R，则|x|<1⇒－1
0 在 R 上恒成立，求 m 的取值范围．
15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图 61 所示)，该扇环面是由以点 O 为圆心的
两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为 30 米，其
中大圆弧所在圆的半径为 10 米，设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 θ(弧度)．
(1)求 θ 关于 x 的函数关系式．
(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分
的装饰费用为 9 元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，
并求出 x 为何值时，y 取得最大值？
图 61
16．如图 62 所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内
匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径 r＝3 10 mm，滴管内液体忽略不计．
(1)如果瓶内的药液恰好 156 min 滴完，问每分钟滴下多少滴？
(2)在条件(1)下，设开始输液 x min 后，瓶内液面与进气管的距离为 h cm，已知当 x＝0
时，h＝13，试将 h 表示为 x 的函数．(注：1 cm3＝1000 mm3)
图 62
专题限时集训(七)
[第 7 讲 导数及其应用]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)等于( )
A．0 B．－4 C．－2 D．2
2．曲线 f(x)＝x3＋x－2 在点 P0 处的切线平行于直线 y＝4x－1，则 P0 点的坐标为( )
A．(1，0)
B．(2，8)
C．(2，8)或(－1，－4)
D．(1，0)或(－1，－4)
3．如图 71 所示，阴影区域是由函数 y＝cos x 的一段图像与 x 轴围成的封闭图形，那么
这个阴影区域的面积是( )
图 71
A．1 B．2 C．
π
2 D．π
4．函数 f(x)＝1
2x2－ln x 的最小值为( )
A．
1
2 B．1 C．－2 D．3
5．曲线 y＝ln x－1 在 x＝1 处的切线方程为____________．
提升训练
6．若曲线 y＝ax2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝( )
A．1 B．
1
2
C．0 D．－1
7．函数 f(x)＝xcos x 的导函数 f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是( )
A B
C D
图 72
8．如图 73 所示，长方形的四个顶点为 O(0，0)，A(4，0)，B(4，2)，C(0，2)，曲线 y＝
x经过点 B．现将一质点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )
图 73
A．
5
12 B．
1
2
C．
2
3 D．
3
4
9．已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax)ex，若 f(x)在区间[－1，1]上是减函数，则 a 的取值范
围是( )
A．0＜a＜
3
4
B．
1
2＜a＜
3
4
C．a≥
3
4
D．0＜a＜
1
2
10．方程 f(x)＝f′(x)的实数根 x0 叫作函数 f(x)的“新驻点”．如果函数 g(x)＝x，h(x)＝ln (x
＋1)，φ(x)＝cos x (x ∈ (π
2 ，π))的“新驻点”分别为 α，β，γ，那么 α，β，γ 的大小关系是
( )
A．α<β<γ B．α<γ<β
C．γ<α<β D．β<α<γ
11．已知定义在区间(0，π
2 )上的函数 f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有 f(x)＜f′(x)·tan x 成
立，则( )
A． 3f(π
4 )＞ 2f(π
3 )
B．f(1)＜2f(π
6 )sin 1
C． 2f(π
6 )＞f(π
4 )
D． 3f(π
6 )＜f(π
3 )
12．函数 f(x)＝2ln x＋x2 在点 x＝1 处的切线方程是________．
13．由曲线 y＝2x2，直线 y＝－4x－2，x＝1 围成的封闭图形的面积为________．
14．已知函数 f(x)＝x2＋2x，g(x)＝xex．
(1)求 f(x)－g(x)的极值；
(2)当 x∈(－2，0)时，f(x)＋1≥ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围．
15．已知函数 f(x)＝xln x．
(1)求 f(x)的单调区间和极值；
(2)设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，且 x1≠x2，证明：
f（x2）－f（x1）
x2－x1 ＜f′(x1＋x2
2 )．
16．设函数 f(x)＝ex－ax－2．
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)若 a＝1，k 为整数，且当 x＞0 时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0 恒成立，求 k 的最大值．
专题限时集训(八)
[第 8 讲 三角函数的图像与性质]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．函数 y＝sin xsin (π
2 ＋x)的最小正周期是( )
A．
π
2 B．2π
C．π D．4π
2．将函数 y＝sin(x＋π
6 )(x∈R)的图像上所有的点向左平移
π
4 个单位长度，再把所得图像
上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍，所得的函数图像的解析式为( )
A．y＝sin(2x＋5π
12 )(x∈R)
B．y＝sin(x
2＋5π
12 )(x∈R)
C．y＝sin(x
2－π
12)(x∈R)
D．y＝sin(x
2＋5π
24 )(x∈R)
3．为了得到函数 y＝cos (2x＋π
3 )的图像，可将函数 y＝sin 2x 的图像( )
A．向左平移5π
6 B．向右平移
5π
6
C．向左平移
5π
12 D．向右平移
5π
12
4．已知向量 a＝(sin θ，cos θ)，b＝(2，－3)，且 a∥b，则 tan θ＝________．
5．若点 P(cos α，sin α) 在直线 y＝－2x 上，则 tan(α＋π
4 )＝________．
提升训练
6．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)的部分图像如图 81 所示，其 中 A，B 两
点之间的距离为 5，则 f(x)的单调递增区间是( )
A．[6k－1，6k＋2](k∈Z)
B．[6k－4，6k－1](k∈Z)
C．[3k－1，3k＋2](k∈Z)
D．[3k－4，3k－1](k∈Z)
图 81
7． 已知 P 是圆(x－1) 2＋y2＝1 上异于坐标原点 O 的任意一点，直线 OP 的倾斜角为
θ．若|OP|＝d，则函数 d＝f(θ)的大致图像是( )
A B
C D
图 82
8．函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|＜π
2 )的图像向左平移
π
6 个单位后关于原点对称，则函数 f(x)
在区间[0，π
2 ]上的最小值为( )
A．－
3
2 B．－
1
2 C．
1
2 D．
3
2
9．已知 f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω > 0，|φ| <
π
2 )，满足 f(x)＝－f(x＋π)，f(0)＝
1
2，则 g(x)＝
2cos(ωx＋φ)在区间[0，π
2 ]上的最大值与最小值之和为( )
A． 3－1 B． 3－2 C．2 3－1 D．2
10．将函数 f(x)＝ 3sin 2x－cos 2x 的图像向左平移 m 个单位(m＞－π
2 )，若所得的图像关
于直线 x＝
π
6 对称，则 m 的最小值为( )
A．－
π
6 B．－
π
3 C．0 D．
π
12
11．如图 83 所示，直角三角形 POB 中，∠PBO＝90°，以 O 为圆心、OB 为半径作圆弧
交 OP 于 A 点，若 AB 等分△OPB 的面积，且∠AOB＝α，则
α
tan α＝________．
图 83
12．将函数 f(x)＝sin (3x＋π
4 )的图像向右平移
π
3 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图像，
则函数 y＝g(x)在区间[π
3 ，2π
3 ]上的最小值为 ________ ．
13．已知 α∈R，sin α＋3cos α＝ 5，则 tan 2α＝________．
14．已知函数 f(x)＝4sin2(π
4 ＋x)－2 3cos 2x－1，且
π
4 ≤x≤
π
2 ．
(1)求 f(x)的最大值及最小值；
(2)求 f(x)在定义域上的单调递减区间．
15．已知函数 f(x)＝2 3cos xsin x＋2cos2 x．
(1)求 f (4π
3 )的值；
(2)当 x∈[0，π
2 ]时，求函数 f(x)的值域．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(cos θ， 2sin θ)，B(sin θ，0)，其中 θ∈R．
(1)当 θ＝
2π
3 时，求向量AB→
的坐标；
(2)当 θ∈[0，π
2 ]时，求|AB→
|的最大值．
专题限时集训(九)
[第 9 讲 三角恒等变换与解三角形]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．在钝角三角形 ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，则△ABC 的面积为( )
A．
1
4 B．
3
2
C．
3
4 D．
1
2
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a＝ 2，A＝45°，B＝105
°，则 c＝ ( )
A．
3
2 B．1
C． 3 D．
6＋ 2
2
3．函数 f(x)＝sin 2x－sin (2x＋π
3 )的最小值为( )
A．0 B．－1
C．－ 2 D．－2
4．若 cos 2θ＝
1
3，则 sin4θ＋cos4θ的值为( )
A．
13
18 B．
11
18
C．
5
9 D．1
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 sin2 A＋sin2C－sin2B＝ 3sin
Asin C，则 B＝________．
提升训练
6．已知 sin 2α＝
1
3，则 cos2 (α－π
4 )＝( )
A．
1
3 B．－1
3
C．
2
3 D．－
2
3
7．已知△ABC 的外接圆 O 的半径为 1，且OA→
·OB→
＝－
1
2，C＝
π
3 ．从圆 O 内随机取一点
M，若点 M 在△ABC 内的概率恰为
3 3
4π，则△ABC 为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
8．已知 A，B，C 是△ABC 的三个内角，其对边分别为 a，b，c．若(sin A＋sin B)(sin A－
sin B)＝sin C( 2sin A－sin C)，则 B＝( )
A．
π
4 B．
π
3
C．
π
2 D．
2π
3
9．在△ABC 中，若AB→
·AC→
＝7，|AB→
－AC
→
|＝6，则△ABC 的面积的最大值为( )
A．24 B．16
C．12 D．8
10．已知△ABC 的重心为 G，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 aGA→
＋bGB→
＋
3
3 cGC→
＝0，则 A 等于( )
A．
π
6 B．
π
4
C．
π
3 D．
π
2
11．已知 α∈(－π
2 ，0)，cos(π－α)＝－
4
5，则 tan 2α＝______ ．
12．在△ABC 中，C＝60°，AB＝ 3，AB 边上的高为
4
3，则 AC＋BC＝________．
13．已知∠MON＝60°，由此角内一点 A 向角的两边引垂线，垂足分别为 B，C，AB＝
a，AC＝b，若 a＋b＝2，则△ABC 外接圆的直径的最小值是________．
14．已知△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos 2
B
2＝ 3sin B，b＝
1．
(1)若 A＝
5π
12 ，求 c；
(2)若 a＝2c，求△ABC 的面积．
15．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 acos2
C
2＋ccos2
A
2＝
3
2b．
(1)求证：a，b，c 成等差数列；
(2)若 B＝60°，b＝4，求△ABC 的面积．
16．如图 91 所示，已知 OPQ 是半径为 3，圆心角为
π
3 的扇形，C 是扇形弧上的动点(不
与 P，Q 重合)，ABCD 是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形 ABCD 的面积为 f(x)．
(1)求函数 f(x)的解析式，并写出其定义域；
(2)求函数 y＝f(x)＋f (x＋π
4 )的最大值及相应的 x 值．
图 91
专题限时集训(十)
[第 10 讲 数列、等差数列、等比数列]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5＝8，S3＝6，则 a9＝( )
A．8 B．12
C．16 D．24
2．等比数列{an}中，a2＝1，a8＝64，则 a5＝( )
A．8 B．12
C．8 或－8 D．12 或－12
3．已知等差数列{an}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则 S7＝( )
A．8 B．21
C．28 D．35
4．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝π，则 tan(a2＋a12)的值为 ( )
A． 3 B．－ 3
C．
3
3 D．－
3
3
5．等比数列{an}满足对任意 n∈N*，2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1＞an，则数列{an}的公比 q
＝________．
提升训练
6．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＋a4＋a9＝24，则 S9＝ ( )
A．36 B．72
C．144 D．70
7．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
8．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若 a2＝2，2a3＋a4＝16，则 a5＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
9．在数列{an}中，“an＝2an－1(n＝2，3，4，…)”是“{an}是公比为 2 的等比数列”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．在各项均为正数的等比数列{an}中，am＋1am－1＝2am(m≥2)，数列{an}的前 n 项积为
Tn，若 T2k－1＝512(k∈N*)，则 k 的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
11．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9＝11，S11＝9，则 S20＝________．
12．已知等比数列{an}的前 n 项积为 Tn，若 a3a4a8＝8，则 T9＝________．
13．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝∫2
0
4－x2 dx，则 a6(a2＋2a6＋a10)＝________．
14．已知数列{an}的首项为 1，其前 n 项和为 Sn，且对任意正整数 n，有 n，an，Sn 成等
差数列．
(1)求证：数列{Sn＋n＋2}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
15．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1 且 3an＋1＋2Sn＝3(n 为正整数)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若∀n∈N*，
3
2k≤Sn 恒成立，求实数 k 的最大值．
16．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2 且 a2，a4，a8 成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若{bn－(－1)nan}是等比数列，且 b2＝7，b5＝71，求数列{bn}的前 2n 项和．
专题限时集训(十一)
[第 11 讲 数列求和及数列的简单应用]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，其前 n 项和为 Sn，则数列{Sn
n }的前 10 项
和为( )
A．70 B．75
C．100 D．120
2．已知等比数列{an}的各项均为正数，且 a5a6＋a4a7＝18，则 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝( )
A．12 B．10
C． 8 D．2＋log3 5
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn (n＝1，2，3，…)，若当首项 a1 和公差 d 变化时， a5＋
a8＋a11 是一个定值，则下列选项中为定值的是( )
A．S17 B．S16
C．S15 D．S14
4．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝
1
n（n＋2），则 S10 等于( )
A ．
11
12 B ．
11
24
C．
175
132 D．
175
264
5．设等比数列{an}的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn．若 a1＝1，a3＝4，Sk＝63，则 k＝
________．
提升训练
6．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且满足 S35＝S3992 ，a＝(1，an)，b＝(2014，a2014)，
则 a·b 的值为( )
A． 2014 B． －2014
C． 1 D．0
7．已知一次函数 f(x)＝kx＋b 的图像经过点 P(1，2)和 Q(－2，－4)，令 an＝f(n)f(n＋1)，
n∈N*，记数列{ 1
an }的前 n 项和为 Sn，当 Sn＝
6
25时，n 的值为( )
A．24
B．25
C．23
D．26
8．已知幂函数 y＝f(x)的图像过点(4，2)，令 an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，记数列{ 1
an }的
前 n 项和为 Sn，则当 Sn＝10 时，n 的值是( )
A． 110 B． 120
C． 130 D． 140
9．已知 an＝∫n
0(2x＋1)dx(n∈N*)，数列{ 1
an }的前 n 项和为 Sn，数列{bn}的通项公式为 bn
＝n－8，则 bnSn 的最小值为( )
A．－3 B．－4
C．3 D．4
10．设数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则数列{an}的前 n 项和可以表示
为( )
A．
B．
C．
D．
11．设直线 nx＋(n＋1)y＝ 2(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 S1＋S2＋…
＋S2014＝________ ．
12 ． 在 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2 ， 且 an ＋ 2 － an ＝ 1 ＋ ( － 1)n(n∈N*) ， 则 S100 ＝
________．
13．已知函数 f(x)＝{（－1）n sin
πx
2 ＋2n，x ∈ [2n，2n＋1），
（－1）n＋1 sin
πx
2 ＋2n＋2，x ∈ [2n＋1，2n＋2）
(n∈N)，若
数列{am}满足 am＝f(m
2 )(m∈N*)，且{am}的前 m 项和为 Sm，则 S2014－S2006＝________．
14．已知数列{an}与{bn}，若 a1＝3，且对任意正整数 n 满足 an＋1－an＝2, 数列{bn}的前
n 项和 Sn＝n2＋an．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{ 1
bnbn＋1}的前 n 项和 Tn．
15． 已知函数 f(x)＝4x，数列{an}中，2an＋1－2an＋an＋1an＝0，a1＝1，且 an≠0, 数列{bn}
中， b1＝2，bn＝f( 1
an－1 )(n≥2，n∈N*)．
(1)求证：数列{ 1
an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn
an }的前 n 项和 Tn．
16． 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口
老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问
题．若某地区 2012 年人口总数为 45 万，专家估计实施 “放开二胎” 新政策后人口总数将
发生如下变化：从 2013 年开始到 2022 年每年人口比上年增加 0．5 万，从 2023 年开始到 2032
年每年人口为上一年的 99%．
(1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an 的表达式(注：2013 年为第一年)．
(2)若新政策实施后 2013 年到 2032 年的人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则
继续实施．问 2032 年后是否需要调整政策？(0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)
专题限时集训(十二)A
[第 12 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积]
(时间：5 分钟＋30 分钟)
基础演练
1．某几何体的三视图如图 121 所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体
的体积是( )
A．
1
3 cm3 B．
2
3 cm3 C．
4
3 cm3 D．
8
3 cm3
图 121 图 122
2．图 122 是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．7π B．8π
C．9π D．11π
3． 一只蚂蚁从正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路
线爬行到达顶点 C1 的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的
是( )
图 123 图 124
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
4． 某四棱锥的三视图如图 125 所示，记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )
图 125
A．2∈A，且 4∈A
B． 2∈A，且 4∈A
C． 2∈A，且 2 5∈A
D． 2∈A，且 17∈A
提升训练
5．如图 126 所示，三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长和底边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面
A1B1C1，正视图是边长为 2 的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图的面
积为( )
A． 3 B．2 3 C．4 D．4 3
图 126 图 127
6．某几何体的三视图如图 127 所示，则它的体积是( )
A．8＋
4 3
3 B．8＋
4 2
3 C．8＋
2 3
3 D．
32
3
7．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图 128 所示，则该棱锥的体积等于( )
A．10 cm3 B．20 cm3 C． 30 cm3 D．40 cm3
图 128 图 129
8．一个简单组合体的三视图及尺寸如图 129 所示，则该组合体的体积为( )
A．42 B．48 C．56 D．44
9． 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图 1210 所示，其中俯视图是中心角为 60°
的扇形， 则该几何体的侧面积为( )
A．12＋
10
3 π B．6＋
10
3 π C． 12＋2π D．6＋4π
图 1210 图 1211
10． 如图 1211 所示，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，△
AED，△EBF，△FCD 分别沿 DE，EF，FD 折起，使 A，B，C 三点重合于点 A′．若四面体 A
′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )
A． 2 B．
6
2 C．
11
2 D．
5
2
11． 边长是 2 2的正三角形 ABC 内接于体积为 4 3π的球 O，则球面上的点到平面 ABC
的最大距离为________．
专题限时集训(十二)B
[第 12 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积]
(时间：5 分钟＋30 分钟)
基础演练
1．某空间几何体的三视图如图 1212 所示，则该几何体的体积为( )
A．
8
3 B．8 C．
32
3 D．16
图 1212 图 1213
2．一个几何体的三视图如图 1213 所示，则该几何体的体积为( )
A．
1
3 B．
2
3 C．2 D．1
3． 图 1214 为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )
图 1214
A． 3＋
π
6
B． 3＋
4
3π
C．3 3＋
4
3π
D．3 3＋
π
6
4． 一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(1，2，
0)，(0，2，2)，(3，0，1)，则该四面体以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )
A．3 B．
5
2
C． 2 D．
7
2
提升训练
5．一个几何体的三视图如图 1215 所示，其中正视图是边长为 2 的正三角形，俯视图为
正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )
A．
3
2 B．1 C．
5
2 D．
1
2
图 1215 图 1216
6．一个几何体的三视图如图 1216 所示，则它的体积为( )
A．
20
3 B．
40
3
C．20 D．40
7． 已知某几何体的三视图如图 1217 所示，其中俯视图是圆，则该几何体的体积为( )
A．
π
3 B．
2π
3
C．
2
3 D．
1
3
图 1217 图 1218
8．图 1218 是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A．54 B．27
C．18 D．9
9． 用一个边长为 4 的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一
个蛋托，半径为 1 的鸡蛋(视为球体)放在其上(如图 1219 所示)，则鸡蛋中心(球心)与蛋托底
面的距离为___________．
图 1219 图 1220
10． 直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一个球面上．若 AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝
120°，则此球的表面积为________．
11． 如图 1220 所示，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的内切球，则平
面 ACD1 截球 O 的截面面积为________．
专题限时集训(十三)
[第 13 讲 空间中的平行与垂直]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1． 能够得出平面α与平面β一定重合的条件是：它们的公共部分有( )
A．两个公共点
B．三个公共点
C．无数个公共点
D．共圆的四个公共点
2．直线 a⊥平面 α，b∥α，则 a 与 b 的关系为( )
A．a⊥b，且 a 与 b 相交 B．a⊥b，且 a 与 b 不相交
C．a⊥b D．a 与 b 不一定垂直
3． a，b，c 表示不同直线，M 表示平面，给出四个命题：
①若 a∥M，b∥M，则 a∥b 或 a，b 相交或 a，b 异面；
②若 b⊂M，a∥b，则 a∥M；
③a⊥c，b⊥c，则 a∥b；
④ a⊥M，b⊥M，则 a∥b．
其中为真命题的是( )
A．①② B．②③ C． ③④ D．①④
4． 设 α，β，γ 为平面，m，n 为直线，则 m⊥β 的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n
B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥β，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
5．已知 m，n，l 是不同的直线，α，β，γ 是不同的平面，给出下列命题：
①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α；②若 m⊥l，n⊥l，则 m∥n；
③若 m⊥n，m∥α，n∥β，则 α⊥β；④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β．
其中真命题有( )
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
提升训练
6．已知 α，β 是两个不同的平面，则 α∥β 的一个充分条件是( )
A．存在一条直线 l，l⊂α，l∥β
B．存在一个平面 γ，γ⊥α，γ⊥β
C．存在一条直线 l，l⊥α，l⊥β
D．存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β
7．设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中为真的是( )
A．若 l∥α，l∥β，则 α∥β B．若 l⊥α，l⊥β，则 α∥β
C．若 l⊥α，l∥β，则 α∥β D．若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
8．在正方体中，二面角 A1BDA 的正切值是( )
A． 2 B． 2
2 C． 2 D．
1
2
9．已知 α，β 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若 m⊥α，m⊂β，则 α⊥β；②若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β； ③如果 m⊂
α，n⊄α，m，n 是异面直线，那么 n 与 α 相交；④若 α∩β＝m，n∥m，且 n⊄α，n⊄β，则
n∥α，且 n∥β．
其中为真命题的是 ( )
A．①② B．②③ C． ③④ D．①④
10．如图 131 所示，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，
F，且 EF＝
1
2，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面 ABCD
C．三棱锥 ABEF 的体积为定值
D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
图 131 图 132
11．如图 132 所示，已知三个平面 α，β，γ 互相平行，a，b 是异面直线，a 与 α，β，γ
分别交于 A，B，C 三点，b 与 α，β，γ 分别交于 D，E，F 三点，连接 AF 交平面 β 于点 G，
连接 CD 交平面 β 于点 H，则四边形 BGEH 必为________．
12． 在三棱锥 C ABD 中(如图 133 所示)，△ABD 与△CBD 是全等的等腰直角三角形，
O 为 斜 边 BD 的 中 点 ， AB ＝ 4 ， 二 面 角 ABDC 的 大 小 为 60 ° ， 并 给 出 下 面 结 论 ：
①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC 为正三角形；④ cos∠ADC＝
3
4 ；⑤四面体 ABCD 的外接
球的表面积为 32π．其中正确的是________．
图 133
13． 已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，且俯视图如图 134 所
示．关于该四棱锥的下列说法中：
①该四棱锥中至少有两组侧面互相垂直；②该四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形；
③该四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面；④该四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角
形．
其中，所有正确说法的序号是________________．
图 134
14． 如图 135 所示，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB
＝ 2，CE＝EF＝1．
(1)求证：AF∥平面 BDE；
(2)求证：CF⊥平面 BDF．
图 135
15． 如图 136 所示，平行四边形 ABCD 中，BD⊥CD，正方形 ADEF 所在的平面和平
面 ABCD 垂直，H 是 BE 的中点，G 是 AE，DF 的交点．
图 136
(1)求证： GH∥平面 CDE；
(2)求证： BD⊥平面 CDE．
16．已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，CD＝ 3，点 E
是线段 AB 的中点，G 为 CD 的中点，现沿 ED 将△AED 折起到△PED 位置，使 PE⊥EB．
(1)求证：平面 PEG⊥平面 PCD；
(2)求点 A 到平面 PDC 的距离．
图 137
专题限时集训(十四)
[第 14 讲 空间向量与立体几何]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1． 直线 l1 的方向向量 s1＝(1，0，－2)，直线 l2 的方向向量 s2＝(－1，2，2)，则直线
l1，l2 所成角的余弦值是( )
A．
5
3 B．－
5
3 C．
2
3 D．－
2
3
2．平面 α，β 的法向量分别是 n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，0，－1)，则平面 α，β 所成锐
二面角的余弦值是( )
A．
3
3 B．－
3
3 C．
6
3 D．－
6
3
3．已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的单位法向量是( )
A．±(1，1，1) B．±( 2
2 ， 2
2 ， 2
2 )
C．±( 3
3 ， 3
3 ， 3
3 ) D．±( 3
3 ，－ 3
3 ， 3
3 )
4．已知 a，b 是两个非零的向量，α，β 是两个平面，下列命题中正确的是( )
A．a∥b 的必要条件是 a，b 是共面向量
B．a，b 是共面向量，则 a∥b
C．a∥α，b∥β，则 α∥β
D．a∥α，b∥β，则 a，b 不是共面向量
5．若 a⊥b，a⊥c，l＝αb＋β c(α，β∈R)，m∥a，则 m 与 l 一定( )
A．共线 B．相交 C． 垂直 D．不共面
提升训练
6． 如图 141 所示，三棱锥 ABCD 的棱长全相等，E 为 AD 的中点，则直线 CE 与 BD
所成角的余弦值为( )
图 141
A．
3
6 B．
3
2 C．
33
6 D．
1
2
7． 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 所成角的余
弦值为( )
A．
1
20 B．
10
10 C． －
10
10 D．－
1
20
8． 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有OP→
＝xOA→
＋yOB→
＋zOC→
(x，y，z∈R)，
则 x＝2，y＝－3，z＝2 是 P，A，B，C 四点共面的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
9．已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA→
＝(1，2，3)，OB→
＝(2，1，2)，OP→
＝(1，
1，2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QA→
·QB→
取得最小值时，OQ→
＝________．
10．在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD 中，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB
＝BC＝1，AD＝
1
2，则平面 SCD 与平面 SBA 夹角的余弦值是_________．
11．平行四边形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ 2，且∠BAD＝45°，以 BD 为折线，把△ABD
折起到△A1BD 的位置，使平面 A1BD⊥平面 BCD，连接 A1C．
(1)求证：A1B⊥DC；
(2)求二面角 B A1CD 的大小．
⇒
图 142
12．如图 143 所示，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AB＝2AD＝4，BD
＝2 3，PD⊥底面 ABCD．
(1)证明：平面 PBC ⊥平面 PBD；
(2)若二面角 PBCD 的大小为
π
4 ，求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值．
图 143
13．如图 144①所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是 AC，
AB 上的点，且 DE∥BC，DE＝2，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1C⊥CD，如
图 145②所示．
(1)求证：A1C⊥平面 BCDE．
(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小．
(3)线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
⇒
① ②
图 144
专题限时集训(十五)
[第 15 讲 直线与圆]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．圆 C 过坐标原点，在两坐标轴上截得的线段长相等，且与直线 x＋y＝4 相切，则圆 C
的方程不可能是( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝18
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝8
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋2)2＋(y－2)2＝8
2．直线 x＋y＝5 和圆 O：x2＋y2－4y＝0 的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交不过圆心
D．相交过圆心
3．设直线 l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知 p：a＝ 2，q：直线 x＋y＝0 与圆 x2＋(y－a)2＝1 相切，则 p 是 q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．两条平行直线 l1：3x＋4y－4＝0 与 l2：ax＋8y＋2＝0 之间的距离是__________．
提升训练
6．直线 l 与圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点为抛物线 x2＝4y
的焦点，则直线 l 的方程为( )
A．2x＋3y－3＝0
B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x－y＋1＝0
7． 过点 P(2，0)的直线 l 被圆 (x－2)2＋(y－3)2＝9 截得的线段长为 2 时，直线 l 的斜率
为( )
A．±
2
4
B．± 2
2
C．±1
D．±
3
3
8． 已知点 A(－3，0)，B(0，3)，若点 P 在圆 x2＋y2－2x＝0 上运动，则△PAB 面积的最
小值为( )
A．6
B．6 2
C．6＋
3 2
2
D．6－
3 2
2
9．已知圆 M 经过双曲线 S：x2
9－
y2
16＝1 的一个顶点和一个焦点，圆心 M 在双曲线 S 上，
则圆心 M 到双曲线 S 的中心的距离为( )
A．
13
4 或
7
3 B．
15
4 或
8
3
C．
13
3 D．
16
3
10．函数 f(x)＝－
1
beax(a>0，b>0)的图像在 x＝0 处的切线与圆 x2＋y2＝1 相切，则 a＋b
的最大值是( )
A．4 B．2 2
C． 2 D．2
11．以双曲线 y2－
x2
3 ＝1 的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为
________________．
12．已知直线 Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交于 P，Q 两点，其中 A2，C2，B2 成等差
数列，O 为坐标原点，则OP→
·PQ→
＝________．
13． 已知直线 x＋y－1＝0 与圆 x 2＋y2＝a 交于 A，B 两点，O 是原点，C 是圆上一
点．若OA→
＋OB→
＝OC→
，则 a 的值为______________．
14．已知椭圆 C：
x2
2 ＋y2＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，下顶点为 A，P 是椭圆上任意
一点，圆 M 是以 PF2 为直径的圆．
(1)当圆 M 的面积为
π
8 时，求 PA 所在直线的方程；
(2)当圆 M 与直线 AF1 相切时，求圆 M 的方程；
(3)求证：圆 M 总与某个定圆相切．
图 151
15． 已知点 E(－2，0)，F(2，0)，曲线 C 上的动点 M 满足EM→
·FM→
＝－3．定点 A(2，1)，
由曲线 C 外一点 P(a，b)向曲线 C 引切线 PQ，切点为 Q，且满足|PQ|＝|PA|．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)若以点 P 为圆心的圆和曲线 C 有公共点，求半径取最小值时圆 P 的标准方程．
16． 在平面直角坐标系中，已知点 A(－2，0)，B(2，0)，点 P 为平面内一动点，且满足
tan∠PAB·tan∠PBA＝
3
4．
(1)求动点 P 的轨迹方程；
(2)若点 P 位于 y 轴左侧，过点 P 作圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线分别交 y 轴于 M，N
两点，求|MN|的取值范围．
专题限时集训(十六)
[第 16 讲 椭圆、双曲线、抛物线]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．已知直线 2x－y＋4＝0 过椭圆 C：
x2
m ＋
y2
2 ＝1(m>0)的一个焦点，则椭圆 C 的长轴长为
( )
A．2 6 B．2
C．3 2 D．4
2．直线 y＝2x 为双曲线 C：
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率是
( )
A． 5 B．
5
2
C． 3 D．
3
2
3．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交该抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若 x1＋x2＝6，
则|AB |＝ ( )
A．4 B．6
C．8 D．10
4．已知双曲线
x2
a2－y2＝1(a>0)的实轴长为 2，则该双曲线的离心率为( )
A．
2
2 B．
5
2
C． 5 D． 2
5．已知双曲线
x2
9 －
y2
m ＝1(m>0)的一个焦点在圆 x2＋y2－4x－5＝0 上，则该双曲线的渐
近线方程为( )
A．y＝±
3
4x
B．y＝±
4
3x
C．y＝±
2 2
3 x
D．y＝±
3 2
4 x
提升训练
6． 已知双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以|F1F2|为直径的圆
与双曲线的一条渐近线的交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )
A．
x2
16－
y2
9 ＝1 B．
x2
3 －
y2
4 ＝1
C．
x2
9 －
y2
16＝1 D．
x2
4 －y2
3＝1
7． 已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，则抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线
l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )
A．
3 5
5 B．2
C．
11
5 D．3
8． 已知椭圆 E：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A，
B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆 E 的方程为( )
A．
x2
45＋
y2
36＝1
B．
x2
36＋
y2
27＝1
C．
x2
27＋
y2
18＝1
D．
x2
18＋
y2
9 ＝1
9． 设 F1，F2 分别为双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线的右支上存
在点 P 满足|PF2|＝|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心
率为( )
A．
8
3 B．
7
3
C．
5
3 D．
4
3
10． 已知 F1 ，F2 分别是双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双
曲线的左、右两支分别交于 A，B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B． 7
C． 13 D． 15
11． 已知 F 为椭圆 C：
x2
2 ＋y2＝1 的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q 的坐标为
(4，3 )，则|PQ |＋|PF |取最大值时点 P 的坐标为______________．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1 和 C2 的方程分别为x2
4＋y2＝1 和
y2
16＋
x2
4 ＝1，射
线 OA 与椭圆 C1 和 C2 分别交于 A，B 两点，且 OB→
＝2OA→
，则射线 OA 的斜率为________．
13．设双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切，则该双曲线的离心
率为________．
14．已知椭圆
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的焦距为 2 3，离心率为
3
2 ．
(1)求椭圆方程；
(2)如图 161 所示，设过椭圆顶点 B，斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D，交 x 轴于点
E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求 k2 的值．
图 161
15． 已知椭圆
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的一个焦点为 F(2，0)，且离心率为
6
3 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为 k 的直线 l 过点 F 且与椭圆交于 A，B 两点，P 为直线 x＝3 上一点，若△ABP
为等边三角形，求直线 l 的方程．
16． 已知椭圆 E：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
3
2 ，且过点( 3，1
2)．
(1)求椭圆 E 的方程．
(2)设直线 l：y＝kx＋t 与圆 C：x2＋y2＝R2(1＜R＜2)相切于点 A，且直线 l 与椭圆 E 只有
一个公共点 B．
①求证：k2＝
R2－1
4－R2．
②当 R 为何值时，|AB |取得最大值？求出最大值．
专题限时集训(十七)
[第 17 讲 圆锥曲线中的热点问题]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．到坐标原点的距离是到 x 轴距离的 2 倍的点的轨迹方程是( )
A．y＝± 3x
B．y＝
3
3 x
C．x2－3y2＝1
D．x2－3y2＝0
2．以抛物线 y2＝8x 上任意一点为圆心作与直线 x＋2＝0 相切的圆，这些圆必过一定点，
则这一定点的坐标是( )
A．(0，2) B．(2，0)
C．(4，0) D．(0，4)
3． 若双曲线 x2－
y2
b2＝1(b>0)的一条渐近线与圆 x2＋(y－2)2＝1 至多有一个交点，则该双
曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2]
B．[2，＋∞)
C．(1， 3]
D．[ 3，＋∞)
4． 设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，M 为抛物线 C 上一点， 点 N 的坐标为(2，2)，则
|MF|＋|MN|的取值范围是________．
5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在抛物线 y2＝4x 上，且满足OA→
·OB→
＝－4，F 是
抛物线的焦点，则 S△OFA·S△OFB＝________．
提升训练
6． 已知圆 A1：(x＋2)2＋y2＝12 和点 A2(2，0)，则过点 A2 且与圆 A1 相切的动圆圆心 P
的轨迹方程为( )
A．
x2
3 －y2＝1
B．
x2
3 ＋y2＝1
C．x2－y2＝2
D．
x2
12＋
y2
8 ＝1
7． 已知点 Q 在椭圆 C：
x2
16＋
y2
10＝1 上，点 P 满足OP→
＝
1
2(OF1→
＋OQ→
)(其中 O 为坐标原点，
F1 为椭圆 C 的左焦点)，则点 P 的轨迹为( )
A．圆 B．抛物线
C．双曲线 D．椭圆
8． 已知 P 是椭圆
x2
16＋
y2
8 ＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，O 是
坐标原点．若 M 是∠F1PF2 的角平分线上一点，且F1M→
·MP→
＝0，则|OM→
|的取值范围是( )
A． (0，3) B．(0，2 2)
C． (2 2，3) D．(0，4)
9． 已知椭圆
x2
9 ＋
y2
m ＝1(00，b>0)的右焦点为 F，左顶点为 A，以 F 为圆心且过点 A 的圆
交双曲线的一条渐近线于 P，Q 两点．若|PQ|不小于双曲线的虚轴长，则该双曲线离心率的
取值范围为________．
12． 已知动点 P(x，y)在椭圆 C：
x2
25＋
y2
16＝1 上，F 为椭圆 C 的右焦点．若点 M 满足|MF|
＝1，且 MP⊥MF，则|PM|的最小值为________．
13． 已知 F 为抛物线 y2＝－8x 的焦点，O 为原点，P 是抛物线准线上一动点，点 A 在
抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值是__________．
14． 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O，且 C1 恰好与直线 l1：x－2y＋3 5＝0 相切．设 A
为圆上一动点， AM⊥x 轴于点 M，且动点 N 满足 ON→
＝
3
3 OA→
＋(1－ 3
3 )OM→
，设动点 N 的轨迹
为曲线 C．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)若直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B，D 两点，求△OBD 面积的最大值．
15． 已知点 A 为圆(x＋1)2＋y2＝8 的圆心，P 是圆上的动点，点 M 在圆的半径 AP 上，
且有点 B(1，0)和 BP 上的点 N 满足 MN→
·BP→
＝0，BP→
＝2BN→
．
(1)当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程；
(2)若直线 y＝kx＋ k2＋1(k>0)与(1)中所求的点 M 的轨迹交于不同的两点 F，H, O 为坐标
原点，且
2
3≤OF→
·OH→
≤
3
4，求 k 的取值范围．
图 171
16． 设椭圆 E：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为
2
2 ，且过点(－1，－ 6
2 )．
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设椭圆 E 的左顶点是 A，直线 l：x－my－t＝0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M，N(M，
N 均与 A 不重合)，且以 MN 为直径的圆过点 A，试判断直线 l 是否过定点，若过定点，求出
该定点的坐标．
专题限时集训(十八)
[第 18 讲 统计与统计案例]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，n∈N*，x1，x2，x3，…，xn 不
全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线 y＝－
1
2x＋1 上，则这组
样本数据的相关系数为( )
A．－
1
2 B．
1
2 C．－1 D．1
2．图 181 是甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试(在相同的测试条件下)的 5
次测试成绩(分)的茎叶图．设甲、乙两名同学的平均分数依次为 x－
1 和 x－
2，标准差依次为 s1
和 s2，那么( )
图 181
A． x－
1> x－
2，s1>s2
B． x－
1< x－
2，s1 x－
2，s1s2
3．某工厂生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 k∶5∶3，现用分
层抽样的方法抽出一个容量为 120 的样本，已知 A 种型号产品抽取了 24 件，则 C 种型号产
品抽取的件数为( )
A．24 B．30 C．36 D．40
4．对具有线性相关关系的变量 x，y 有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直
线方程是 y^
＝
1
3x＋a，且 x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数 a 的值是( )
A．
1
16 B．
1
8
C．
1
4 D．
1
2
5．通过随机询问 200 名不同性别的大学生是否爱好踢毽子运动，统计并计算得到 K2 的
观测值 k≈4．892，参照附表，得到的正确结论是( )
附表：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025
k0 2.706 3.841 5.024
A．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为“爱好该项运动与性别无关”
提升训练
6．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图 182 所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，
则
m
n等于( )
图 182
A．8 B．9
C．
1
8 D．1
7．在某次测量中得到 A 样本的数据如下：42，43，46，52，42，50．若 A 样本的数据
分别减去 5 后得到 B 样本的数据，则下列数字特征中 A，B 两样本对应相同的是( )
A．平均数 B． 标准差 C． 众数 D． 中位数
8．在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶
图如图 183 所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩分数的平均数和方差分别为( )
图 183
A．5 和 1.6 B．85 和 1.6
C．85 和 0.4 D．5 和 0.4
9．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 x，y 之间关系最强的是( )
A B
C D
图 184
10．给出下列四个叙述：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检
测，这样的抽样是分层抽样；
②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1；
③在某项测量中，测量结果 ξ～N(1，σ2)(σ>0)，若 ξ 位于区域(0，1)内的概率为 0.4，则 ξ
位于区域(0，2)内的概率为 0.8；
④计算随机变量 K2 的观测值 k，k 越小，判断“两个分类变量有关系”的把握越大．
其中叙述正确的序号为( )
A．①④ B．②④ C． ①③ D．②③
11． 图 185 是收集某市 2013 年 9 月各气象采集点处的平均气温(单位：℃)的数据制成
的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清，已知各采集点的平均气温的范围是[20.5，
26.5]，且平均气温低于 22.5 ℃的采集点个数为 11，则平均气温不低于 25.5 ℃的采集点个数
为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
图 185 图 186
12． 某样本数据的茎叶图如图 186 所示，若该组数据的中位数为 85，则该组数据的平
均数为________．
13． 某市环保总站发布 2014 年 1 月 11 日到 1 月 20 日的空气质量指数(AQI)，数据如下：
153，203，268，166，157，164，268，407，335，119．则这组数据的中位数是________．
14． 受大气污染的影响，某工程机械的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元)之间，
有如下统计数据：
x 2 3 4 5 6
y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
假设 y 与 x 之间呈线性相关关系．
(1)求维修费用 y(万元)与设备使用年限 x 之间的线性回归方程(精确到 0.01)．
(2)当某设备的使用年限为 8 年时，维修费用大概是多少？
参考公式：回归方程y^
＝ b^
x＋ a^
，其中 b^
＝ ， a^
＝ y－
－ b^
x－
．
15．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检它们加工后的零件尺寸 x(单位：cm)及个数 y，
得到数据如下表所示．
零件尺寸 x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
甲 3 7 8 9 3零件
个数
y 乙 7 4 4 4 a
由表中数据得 y 关于 x 的线性回归方程为 y^
＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件
的尺寸范围为 1.03±0.01 cm．
(1)完成下面列联表，并判断是否有 99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙两机床有关；
合格零件数 不合格零件数 合计
甲
乙
合计
(2)从甲、乙两机床加工后尺寸大于 1.03 cm 的零件中各取 1 个，求恰好取到 2 个都是不
合格零件的概率．
附：参考公式及临界值表
K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中 n＝a＋b＋c＋d．
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
专题限时集训(十九)
[第 19 讲 概率、随机变量及其分布]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．有两张卡片，一张的正反面分别写着 0 和 1，另一张的正反面分别写着 4 和 5，将两
张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数能被 5 整除的概率是( )
A．
1
8 B．
3
8
C．
1
6 D．
1
2
2． 从 1，2，3，4，5 中不放回地依次取两个数，记事件 A 为“第一次取到的是奇数”，
事件 B 为“第二次取到的是奇数”，则 P(B|A)＝( )
A．
1
5 B．
3
10
C．
2
5 D．
1
2
3．小波通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到
圆心的距离小于
1
2，则周末去踢球，否则去图书馆，那么小波周末去图书馆的概率是( )
A．
1
4 B．
3
4
C．
1
2 D．
2
π
4．在区间[－π
2 ，π
2 ]上随机取一个数 x，则 cos x 的值在 0 到
1
2之间的概率为( )
A．
1
3 B．
2
π
C．
1
2 D．
2
3
5．在区间[0，6]上随机取两个实数 x，y，则事件“2x＋y≤6”的概率为________．
提升训练
6．设随机变量 ξ～N(μ，σ2)(σ>0)，若 P(ξ<0)＋P(ξ<1)＝1，则 μ 的值为( )
A． －1 B． 1
C． －
1
2 D．
1
2
7．某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩 ξ～N(100，σ 2)，若 P(ξ>120)＝a，
P(80<ξ≤100)＝b，则直线 ax＋by＋
1
2＝0 与圆 x2＋y2＝2 的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相离或相切
D．相交或相切
8． 一个射箭运动员在练习时只记击中 9 环和 10 环的成绩，未击中 9 环或 10 环就以 0
环记．该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a，击中 9 环的概率为 b，既未击中 9 环也未击
中 10 环的概率为 c(a，b，c∈[0，1))，若该运动员一次射箭击中环数的期望为 9 环，则当
10
a ＋
1
9b取最小值时，c 的值为( )
A．
1
11 B．
2
11
C．
5
11 D． 0
9． 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，则这个数能
被 3 整除的概率为( )
A．
8
27 B．
19
27
C．
19
54 D．
35
54
10．甲、乙两人分别参加某高校自主招生考试，能通过的概率都为
2
3，设考试通过的人数
(就甲、乙而言)为 X，则 D(X)＝________．
11． 在区间[0，2]和[0，1]分别取一个数，记为 x，y，则 y≤－x 2＋2x 的概率为
___________．
12．甲、乙二人参加知识竞答，共有 10 道不同的题目，其中 6 道选择题，4 道判断题，
甲、乙两人依次各抽一道题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．
13． 口袋中装有大小质地都相同、编号分别为 1，2，3，4，5，6 的球各一个．现从口
袋中一次性随机地取出两个球，设取出的两个球中较小的编号为 X，则随机变量 X 的数学期
望是________．
14． 在乒乓球比赛中，甲与乙以“五局三胜”制进行比赛，根据以往比赛情况，甲在每
一局胜乙的概率均为
3
5．已知比赛中，乙先赢了第一局，求：
(1)甲在这种情况下取胜的概率；
(2)设比赛局数为 X，求 X 的分布列及数学期望(均用分数作答)．
15． 为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有
A，B 两种型号节能灯的生产线．从这两种生产线生产的大量产品中各随机抽取 100 个进行
质量评估，经检测，综合得分情况的频率分布直方图如图 191 所示．
A 型 B 型
图 191
产品级别划分以及利润如下表(其中 1
10 < a < 1
6)：
综合得分 k 的范围 产品级别 产品利润率
k≥85 一级 a
75≤k<85 二级 5a2
70≤k<75 三级 a2
(1)从 A 型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法抽取 10 个，求从这 10 个节能灯中随机
抽取 3 个，至少有 2 个一级品的概率．
(2)从长期来看，投资哪种型号的节能灯的平均利润率较大？(视频率为概率)
16． 某地为迎接 2014 年冬奥会，举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争
取最后一个参赛名额进行了 7 轮比赛，如图 192 所示的茎叶图为其得分情况．
图 192
(1)若从甲运动员的不低于 80 且不高于 90 的得分中任选 3 个，求其中与平均得分之差的
绝对值都不超过 2 的概率；
(2)若分别从甲、乙两名运动员的不低于 80 且不高于 90 的得分中任选 1 个，求甲、乙两
名运动员得分之差的绝对值 ξ 的分布列与期望．
专题限时集训(二十)
[第 20 讲 函数与方程思想、数形结合思想]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．已知复数 z＝
1－ai
1＋i (a∈R)的实部为－1，则 z 的虚部为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－4
2．已知向量 a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)，若 λ 为实数，(b＋λa)⊥c，则 λ 的值为( )
A．－
3
11 B．－
11
3
C．
1
2 D．
3
5
3． 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝16，则 S8＝( )
A．160 B．64
C．－64 D．－160
4．设二次函数 f(x)＝x2－x＋a(a>0), 若 f(m)<0, 则 f(m－1)的值为( )
A．正数
B．负数
C．非负数
D．正数、负数和零都有可能
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin
B，则 A＝____________ ．
提升训练
6． 已知 f(x)为 R 上的可导函数，且∀x∈R，f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是( )
A．f(2013)>e2013f(0)
B．f(2013)0，且函数 y＝f(x＋2)为偶函数．若
a＝f(2)，b＝f(log23)，c＝f(2 5)，则实数 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．c>a>b
9． 已知函数 f(x)＝{|ln x|（0 < x ≤ e），
2－ln x（x > e）. 若 a，b，c 互不相等，且 f(a)＝f(b)＝f(c)，
则 a＋b＋c 的取值范围为( )
A．(1＋e，1＋e＋e2)
B．(1
e＋2e，2＋e2)
C．(2 1＋e2，2＋e2)
D．(2 1＋e2，1
e＋2e)
10．对于函数 f(x)，若存在区间 A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数 f(x)为
“可等域函数”，区间 A 为函数 f(x)的一个“可等域区间”．
给出下列 4 个函数：
①f(x)＝sin
πx
2 ；②f(x)＝2x2－1；
③f(x)＝|1－2x|；④f(x)＝log2(2x－2)．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( )
A．①②③ B．②③④
C．①③ D．②③
11．已知关于 x 的方程 x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0 有唯一解，则实数 a 的值为( )
A．1 B．－3
C．2 D．1 或－3
12．已知点 A(2，1)，B(1，3)，直线 ax－by＋1＝0(a，b∈R＋)与线段 AB 相交，则(a－1)2
＋b2 的最小值为( )
A．
10
5 B．
2
5
C．
2 5
5 D．
4
5
13．已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，M 是 BC 的中点，且 AM
＝2 3， asin A－bsin B＝(a－c)sin C，则 BC＋AB 的最大值是________．
14．已知向量 m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C，其中 A，B，C 为△ABC
的内角．
(1)求角 C 的大小；
(2)若 sin A，sin C，sin B 成等差数列，且CA→
·(AB→
－AC→
)＝18，求 AB 的长．
15．已知函数 f(x)＝
a
x＋ln x－2，g(x)＝ln x＋2x．
(1)求函数 f(x)的单调区间．
(2)试问过点(2，5)可作多少条直线与曲线 y＝g(x)相切？请说明理由．
16． 已知函数 f(x)＝x2，g(x)＝2eln x(x>0)(e 为自然对数的底数)．
(1)求 F(x)＝f(x)－g(x)(x>0)的单调区间及最小值．
(2)是否存在一次函数 y＝kx＋b(k，b∈R)，使得 f(x)≥kx＋b 且 g(x)≤kx＋b 对一切 x>0 恒
成立？若存在，求出该一次函数的解析式；若不存在，请说明理由．
专题限时集训(二十一)
[第 21 讲 分类与整合思想、化归与转化思想]
(时间：5 分钟＋40 分钟)
基础演练
1．已知集合 A＝{1，3， m}，B＝{1，m }，A∪B＝A，则 m＝( )
A．0 或 3 B．0 或 3
C．1 或 3 D．1 或 3
2．已知命题 p：∃x0∈R，sin x0>a，若 是真命题，则实数 a 的取值范围为( )
A．a<1 B．a≤1
C．a＝1 D．a≥1
3．已知 m 是两个正数 2，8 的等比中项，则圆锥曲线 x2＋
y2
m ＝1 的离心率为( )
A． 3
2 或
5
2 B．
3
2
C． 5 D．
3
2 或 5
4．已知△ABC 中，a，b，c 为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，且 sin2A＝sin2B＋sin2C＋
sin Bsin C，则 A＝( )
A．
π
6 B．
π
3
C．
2π
3 D．
5π
6
5．已知函数 f(x)为奇函数，当 x>0 时，f(x)＝log2x，则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围
是______________．
提升训练
6．在 (x－a
x )5 的展开式中 x3 的系数等于－5，则该展开式中各项系数的最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
7． 已知 M＝{（x，y）|y－3
x－2＝3}，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且 M∩N＝∅，则 a＝( )
A．－6 或－2 B．－6
C．2 或－6 D．－2
8．若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且当 x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数 y＝
f(x)－log3|x|的零点个数是( )
A．多于 4 B．4
C．3 D．2
9．计划将排球、篮球、乒乓球 3 个项目的比赛安排在 4 个不同的体育馆举办，每个项目
的比赛只能安排在 1 个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共
有( )
A．60 种 B．42 种
C．36 种 D．24 种
10 ． 若 当 x∈[1，2 ]， y∈[2，3 ]时 ，
ax2＋2y2
xy － 1>0 恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围 是
_____________．
11． 已知函数 f(x)＝x＋
3a2
x －2aln x 在区间(1，2)上是增函数，则实数 a 的取值范围是
________．
12． 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝x2，若对任意 x∈[a，a＋2]，
不等式 f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
13．在数列{an }中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1．记 Sn 是数列{an }的前 n 项和，则 S60
＝________．
14． 如图 211 所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1⊥平面 ABC，AC⊥BC，E 在线段 B1C1
上，且 B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4．
(1)求证：BC⊥AC1．
(2)在 AC 上是否存在一点 F，满足 EF∥平面 A1ABB1？若存在，请指出点 F 的位置，并
给出证明；若不存在，说明理由．
图 211
15．已知函数 f(x)＝x－1－aln x，a>0．
(1)若对任意的 x∈(0，＋∞)，都有 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值集合；
(2)证明：(1＋1
n ) n
0，且 a＋b＝1，求证：(1)
1
a2＋
1
b2≥8；(2)
1
a＋
1
b＋
1
ab≥8．
2． 设函数 f(x)＝|2x－1|，x∈R．
(1)若不等式 f(x)≤a 的解集为{x|0≤x≤1}，求 a 的值；
(2)若 g(x)＝
1
f（x）＋f（x＋1）＋m的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．
提升训练
3．设函数 f(x)＝|x－1|＋
1
2|x－3|．
(1)求不等式 f(x)>2 的解集；
(2)若不等式 f(x)≤－3a (x＋1
2 )的解集非空，求实数 a 的取值范围．
4．已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|≤12 的解集为 M．
(1)求解集 M；
(2)当 a，b∈M 时，证明：3|a＋b |≤|9＋ab|．
5．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0 的解集为 M，a，b∈M．
(1)证明：|1
3＋1
6b|<
1
4；
(2)比较|1－4ab|与 2|a－b|的大小，并说明理由．
