新天津专用高考数学总复习专题直线与圆圆锥曲线分项练习含解析理

新天津专用高考数学总复习专题直线与圆圆锥曲线分项练习含解析理

专题08 直线与圆、圆锥曲线 一．基础题组 ‎1.【2005天津，理5】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为 A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C 本题答案选C ‎2.【2006天津，理2】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）‎ A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.‎ ‎3.【2006天津，理14】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________． ‎ ‎【答案】0　‎ ‎【解析】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．‎ ‎4.【2007天津，理4】设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由可得故选D ‎5.【2007天津，理14】已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 两圆方程作差得 ‎6.【2008天津，理5】设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 ‎(A) 6 (B) 2 (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎7.【2008天津，理13】已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，，圆C的方程为.‎ ‎8.【2009天津，理9】设抛物线y2＝2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|＝2,则△BCF与△ACF的面积之比（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A S△BCF∶S△ACF＝BC∶AC.‎ ‎9.【2009天津，理14】若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为,则a＝_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】依题,画出两圆位置如右图,公共弦为AB,交y轴于点C,连结OA,则|OA|＝2.‎ 两圆方程相减,得2ay＝2,解得,∴.‎ 又公共弦长为,∴|AC|＝.‎ 于是,由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2,即,‎ 整理得a2＝1,又a＞0,∴a＝1.‎ ‎10.【2010天津，理5】已知双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】　∵双曲线 (a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±，‎ ‎∴. ①‎ ‎∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，‎ ‎∴－c＝－6. ②‎ 又c2＝a2＋b2. ③‎ 由①②③得a＝3，b＝3.‎ ‎∴a2＝9，b2＝27.‎ ‎∴双曲线方程为. ‎ ‎11.【2010天津，理13】已知圆C的圆心是直线 (t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切．则圆C的方程为__________．‎ ‎【答案】(x＋1)2＋y2＝2‎ ‎12.【2012天津，理8】设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．，］‎ B．(－∞，］∪，＋∞)‎ C．，］‎ D．(－∞，］∪，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】　直线与圆相切，∴，‎ ‎∴，即：mn＝m＋n＋1，‎ 设m＋n＝t，则，‎ ‎∴t＋1≤，∴t2－4t－4≥0，解得：或．‎ ‎13.【2013天津，理5】已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)．‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎14.【2014天津，理5】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （　　）‎ ‎（A）　　 （B） （C）　 　（D）‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得在方程中令，得 所求双曲线的方程为，故选A．‎ 考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法．‎ ‎15. 【2015高考天津，理6】已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )‎ ‎（A） （B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.‎ ‎16. 【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，‎ ‎∴，故双曲线的方程为，故选D.‎ ‎【考点】双曲线的渐近线 ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：‎ ‎(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．‎ ‎ (2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．‎ ‎①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．‎ ‎②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎17.【2016高考天津理数】设抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l ‎.过抛物线上一点 A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p 的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】抛物线定义 ‎【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎18.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，故选B．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程 ‎【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为．‎ 二．能力题组 ‎1.【2005天津，理21】抛物线C的方程为，过抛物线C上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线C于，两点（P、A、B三点互不相同），且满足（≠0且）。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程 ‎（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上 ‎（Ⅲ）当时，若点P的坐标为（1， 1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围。‎ ‎【答案】（Ⅰ）焦点坐标为（），准线方程为 ‎（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）‎ 设点的坐标为，由，得 ③‎ 将 ② 代入 ③ 得：‎ 即：。所以，线段的中点在轴上 因为为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，即 解得的范围为：或 又点A的纵坐标满足，故 当时，‎ 当时，‎ 所以，为钝角时，点A的纵坐标的取值范围是 ‎2.【2008天津，理21】已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（I），（II）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，‎ 的坐标满足方程组 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．‎ 将上式代入③式得，整理得，．‎ 解得或．‎ 所以的取值范围是．‎ ‎3.【2009天津，理21】已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)(c＞0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|＝2|F2B|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率; ‎ ‎(2)求直线AB的斜率;‎ ‎(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求的值.‎ 分析:本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ 由已知设A(x1,y1),B(x2,y2),则它们的坐标满足方程组 消去y并整理,得(2+3k2)x2－18k2cx+27k2c2－6c2＝0.‎ 依题意,Δ＝48c2(1－3k2)＞0,得.‎ 而①‎ ‎.②‎ 由题设知,点B为线段AE的中点,所以 x1+3c＝2x2.③‎ 联立①③解得,.‎ 将x1,x2代入②中,解得.‎ ‎(3)解法一:由(2)可知x1＝0,.‎ 当时,得A(0,),由已知得C(0, ).‎ 线段AF1的垂直平分线l的方程为,直线l与x轴的交点(,0)是△AF1C的外接圆的圆心.因此外接圆的方程为.‎ 当时,得A(0,),由已知得C(0,).‎ 由椭圆的对称性知B,F2,C三点共线.因为点H(m,n)在△AF1C的外接圆上,且F1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形.‎ 由直线F2B的方程为,知点H的坐标为(m,).‎ 因为|AH|＝|CF1|,所以,‎ 解得m＝c(舍),或.‎ 则.所以.‎ 当时,同理可得.‎ ‎4.【2011天津，理18】在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得 ‎ 得方程组的解 化简得 将 所以 因此，点M的轨迹方程是 ‎5.【2012天津，理19】设椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足．‎ ‎【答案】(1) ，(2) 详见解析 ‎【解析】解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有 ‎①‎ 由A(－a,0)，B(a,0)，得，．‎ 由kAP·kBP＝，可得x02＝a2－2y02，代入①并整理得(a2－2b2)y02＝0．‎ 由于y0≠0，故a2＝2b2．于是，所以椭圆的离心率．‎ ‎(2)证明：(方法一)‎ 依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得 依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)，由点P在椭圆上，有．因为a＞b＞0，kx0≠0，所以，即(1＋k2)x02＜a2．③‎ 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，于是．‎ 代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，所以．‎ ‎6.【2013天津，理18】设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】解：(1)设F(－c,0)，由，知.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，‎ 因为A(，0)，B(，0)，‎ 所以·＋·‎ ‎＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)‎ ‎＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2‎ ‎＝.‎ 由已知得＝8，解得k＝.‎ ‎7.【2014天津，理18】设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为 ‎，上顶点为．已知．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线的斜率为或．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的右焦点的坐标为．由，可得，又，则，∴椭圆的离心率．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故椭圆方程为．设．由，，有，．由已知，有，即．又，故有 ①‎ 又∵点在椭圆上，故 ②‎ 考点：1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线和圆的方程；3．直线和圆的位置关系．‎ ‎8. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.‎ ‎(I)求直线的斜率；‎ ‎(II)求椭圆的方程；‎ ‎(III)设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(I) ； (II) ；(III) .‎ ‎【解析】(I) 由已知有，又由，可得，，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有 ‎，解得.‎ 或，‎ 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.‎ ‎①当时，有，因此，于是，得 ‎②当时，有，因此，于是，得 综上，直线的斜率的取值范围是 ‎【考点定位】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.‎ ‎9. 【2017天津，理19】（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线 与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，解出两点的坐标，把直线的方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出所在直线的方程，求出点的坐标，最后根据的面积为，解方程求出，可得直线的方程．‎ 由点异于点，可得点．‎ 由，可得直线的方程为，‎ 令，解得，故，所以．‎ 又因为的面积为，故，‎ 整理得，解得，所以．‎ 所以，直线的方程为或．‎ ‎【考点】直线与椭圆的综合问题 ‎【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线的方程，第二步联立方程组求出点的坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键．‎ 三．拔高题组 ‎1.【2006天津，理22】如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．‎ ‎（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）设直线交椭圆于、两点，证明．‎ ‎【答案】（I）详见解析，（II）详见解析 ‎ 设直线BF的斜率为k，则 ‎ ‎ ‎ 这时，直线BF的方程为则 ‎ ‎ ‎ 所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.‎ ‎ 由方程组③消去x，并整理得 ‎ ⑤‎ ‎ 由②和⑤，‎ ‎ 综上，得到 ‎ 注意到得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.【2007天津，理22】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点原点到直线的距离为.‎ ‎ (I)证明：；‎ ‎ (II)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线垂足为求点的轨迹方程.‎ ‎【答案】(I)证明(略)(II) ‎ ‎【解析】‎ ‎(I)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有 ‎ ‎ 即 ‎ 解得从而得到 ‎ ‎ 证法二：同证法一，得到点的坐标为 过点作垂足为易知～故 由椭圆定义得又所以 ‎ ‎ 解得而而得即 ‎ ‎ 将①式代入②式，得 ‎ ‎ ‎ 整理得于是 ‎ ‎ ‎ 　　　　③‎ 由①式得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 　　　　④‎ 由知将③式和④式代入得 ‎ ‎ ‎ ‎ 将代入上式，整理得 ‎ ‎ 综上，点的轨迹方程为 解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为可知直线的方程为 ‎ ‎ 记（显然点的坐标满足方程组 ‎ ‎ ‎ 由①式得 ‎ 　　　　　　　③‎ ‎ 由②式得 ‎ 　　　④‎ 将③式代入④式得 ‎ ‎ 整理得于是 ‎ 　　　　　⑧‎ 由知将⑤式和⑧式代入得 ‎ ‎ ‎ ‎ 将代入上式，得 ‎ ‎ 所以，点的轨迹方程为 ‎3.【2010天津，理20】已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. ‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4.求y0的值．‎ ‎【答案】(1) ＋y2＝1， (2) y0＝±2或y0＝±.‎ ‎【解析】解：(1)由e＝，得3a2＝4c2.‎ 于是A，B两点的坐标满足方程组 由方程组消去y并整理，得 ‎(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由－2x1＝，得x1＝.从而y1＝.‎ 设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－)．‎ 以下分两种情况：‎ ‎①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.‎ ‎②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y－．‎ 令x＝0，解得y0＝－.‎ 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，‎ ‎3. 【2016高考天津理数】设椭圆 的右焦点为F,右顶点为A.已知 ‎ 其中O为原点， 为椭圆的离心率.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在轴上），垂直于的直线与交于点M，与轴交于点H，若BF⊥HF，且MOA≤MAO,求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.‎ 试题解析：（I）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ 因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.‎ 在中，，即，‎ 化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 ‎【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：‎ ‎(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ 养成良好的学习习惯，有利于激发学生学习的积极性和主动性；有利于形成学习策略，提高学习效率；有利于培养自主学习能力；有利于培养学生的创新精神和创造能力，使学生终身受益Mr. Johnson had never been up in an before and he had read a lot about air accidents, 在教师讲课之前，自己先独立地阅读新课内容。初步理解内容，是上课做好接受新知识的准备过程。有些学生由于没有预习习惯，对老师一堂课要讲的内容一无所知，坐等教师讲课Mr. Johnson was very worried about accepting. Finally, however。加油就会成功。生命不息，学习不