高考 圆锥曲线 知识总结

高考 圆锥曲线 知识总结

‎(一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.‎ ‎2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.‎ ‎3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.‎ ‎4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ ‎(二)椭圆的简单几何性质 1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.‎ ‎⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ‎ ‎⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.‎ ‎⑶ 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于‎2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.‎ ‎⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.‎ ‎ 2.椭圆的第二定义 ‎⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.‎ ‎⑵ 准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.‎ ‎3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.‎ ‎ 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.‎ 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.‎ ‎4.椭圆的参数方程 ‎ 椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.‎ ‎ 说明: ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；‎ ‎⑵ 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 椭圆的参数方程是.‎ ‎5.椭圆的的内外部 ‎（1）点在椭圆的内部.‎ ‎（2）点在椭圆的外部.‎ ‎6. 椭圆的切线方程 ‎ ‎(1)椭圆上一点处的切线方程是.‎ ‎ （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）椭圆与直线相切的条件是 ‎(三)双曲线及其标准方程 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数‎2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件‎2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若‎2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若‎2a＞||，则无轨迹.‎ ‎ 若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.‎ 2. 双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=‎2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.‎ ‎3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.‎ ‎ 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.‎ ‎(四)双曲线的简单几何性质 ‎1.双曲线的实轴长为‎2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.‎ ‎2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.‎ ‎3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，‎ ‎.‎ ‎4.双曲线的内外部 ‎(1)点在双曲线的内部.‎ ‎(2)点在双曲线的外部.‎ ‎5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 ‎(1）若双曲线方程为渐近线方程：.‎ ‎(2)若渐近线方程为双曲线可设为.‎ ‎(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.‎ ‎6. 双曲线的切线方程 ‎(1)双曲线上一点处的切线方程是.‎ ‎（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）双曲线与直线相切的条件是.‎ ‎(五)抛物线的标准方程和几何性质 ‎1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。‎ 需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。‎ ‎2．抛物线的方程有四种类型：、、、.‎ 对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。‎ ‎3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例 ‎（1）范围：x≥0；‎ ‎（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；‎ ‎（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；‎ ‎（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；‎ ‎（5）准线方程；‎ ‎（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：‎ ‎ ‎ ‎（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x+x+p 以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。‎ ‎（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。‎ ‎4.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .‎ ‎5.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.‎ ‎6.抛物线的内外部 ‎(1)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.‎ ‎(2)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.‎ ‎(3)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.‎ ‎(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.‎ ‎7. 抛物线的切线方程 ‎(1)抛物线上一点处的切线方程是.‎ ‎（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）抛物线与直线相切的条件是.‎ ‎(六).两个常见的曲线系方程 ‎(1)过曲线,的交点的曲线系方程是 ‎(为参数).‎ ‎(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.‎ ‎(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 ‎（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. ‎ ‎(八).圆锥曲线的两类对称问题 ‎（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.‎ ‎（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是 ‎.‎ 四．基本方法和数学思想 ‎1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；‎ ‎2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:‎ ‎（1）当P点在右支上时，；‎ ‎（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；‎ 另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；‎ ‎3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，；‎ ‎4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；‎ ‎5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；‎ ‎6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，‎ 一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ‎ ‎,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；‎ ‎7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p; 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;‎ ‎8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；‎ ‎9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;‎ ‎10.过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；‎ ‎11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;‎ ‎12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝‎ ‎13.求轨迹的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；‎ ‎（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；‎ ‎（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；‎ ‎（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；‎ ‎（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的外角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.‎ 1. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 2. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.‎ 3. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：‎ 4. ‎,( , ).‎ 5. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 6. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 7. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，‎ 8. 即。‎ 9. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 10. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 二、双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的内角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）‎ 1. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.‎ 2. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 3. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.‎ 4. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ‎ 5. 当在右支上时，,.‎ 6. 当在左支上时，,‎ 7. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 8. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 9. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。‎ 10. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 11. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）‎ 椭 圆 1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.‎ 4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.‎ 7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ 8. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ 9. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 10. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ 11. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1)‎ ‎.(2) .‎ 1. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ 2. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 3. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 4. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 5. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ‎ 6. ‎（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）‎ 7. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 8. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ 双曲线 1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.‎ 4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 6. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 ‎,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.‎ 1. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.‎ 2. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.‎ 3. ‎（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.‎ 4. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 5. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ 6. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 7. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).‎ 8. ‎(2) .(3) .‎ 9. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 10. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 11. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 12. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ 13. ‎(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).‎ 14. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 15. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ 其他常用公式：‎ ‎1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：‎ ‎2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。‎ ‎3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)与直线垂直的直线可表示为。‎ ‎4、两平行线间的距离为。‎ ‎5、若直线与直线平行 则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）‎ ‎6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。‎ ‎ 7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：；‎ ‎8、为直径端点的圆方程 切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）‎ ‎9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.‎