高考全国I卷理科数学试题逐题解析

高考全国I卷理科数学试题逐题解析

整理: 英德市一中陈健伟 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(I卷)‎ 本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：，．故．‎ 故选D．‎ ‎（2）设，其中是实数，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：由可知：，故，解得：．所以，．‎ 故选B．‎ ‎（3）已知等差数列前项的和为，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：由等差数列性质可知：，故，而，因此公差 ‎ ∴．故选C．‎ ‎（4）某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘 坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：如图所示，画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率．故选B．‎ ‎（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎ 取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：表示双曲线，则，∴‎ 由双曲线性质知：，其中是半焦距，∴焦距，解得 ‎∴，故选A．‎ ‎（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的 表面积是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的后的三视图 表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎（7）函数在的图像大致为 ‎（A） （B）‎ （C） ‎（D）‎ ‎【解析】：，排除A；，排除B；‎ 时，，，当时，‎ 因此在单调递减，排除C；故选D．‎ ‎（8）若，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；‎ 要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和，‎ 构造函数，则，在上单调递增，因此 ‎，又由得，‎ ‎∴，C正确；‎ 要比较和，只需比较和，而函数在上单调递增，‎ 故，又由得，∴，D错误；‎ 故选C．‎ ‎（9）执行右面的程序框图，如果输入的，，，‎ 则输出的值满足 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】：第一次循环：；‎ 第二次循环：；‎ 第三次循环：；‎ 输出，，满足；故选C．‎ ‎（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为 ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为，设圆的方程为，如图：‎ F 设，，点在抛物线上，‎ ‎∴……①；点在圆上，‎ ‎∴……②；点在圆上，‎ ‎∴……③；联立①②③解得：，‎ 焦点到准线的距离为．故选B．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎（11）平面过正方体的顶点，平面，‎ 平面 ，平面，则所成角的正弦值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】：如图所示：‎ ‎∵，∴若设平面平面，则 又∵平面∥平面，结合平面平面 ‎∴，故，同理可得：‎ 故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．‎ 而（均为面对交线），因此，即．‎ 故选A．‎ ‎（12）已知函数，为的零点，为 ‎ 图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎ （A）11 （B）9 （C）7 （D）5‎ ‎【解析】：由题意知：‎ 则，其中，在单调，‎ 接下来用排除法：若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；若，此时，满足在单调递减。故选B．‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。‎ ‎（13）设向量a，b，且abab，则 ．‎ ‎【解析】：由已知得：，∴，解得 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎．‎ ‎（14）的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）‎ ‎【解析】：设展开式的第项为，，∴．‎ 当时，，即，故答案为10．‎ ‎（15）设等比数列满足，，则的最大值为 ．‎ ‎【解析】：由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．‎ ‎∴，解得：．故，∴‎ ‎，当或时，取到最小值，此时取到最大值．所以的最大值为64．‎ ‎（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ ‎【解析】：设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为 目标函数；‎ 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为，在处取得最大值，‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 的内角的对边分别为，已知．‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）若，的面积为，求的周长．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎【解析】：⑴ ，由正弦定理得：‎ ‎，∵，，∴‎ ‎∴，，∵，∴‎ ⑵ 由余弦定理得：，，‎ ‎，∴，∴，‎ ‎∴周长为 ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在以为顶点的五面体中，面 为正方形，，且二面 角与二面角都是．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】：⑴ ∵为正方形，∴，∵，∴，∵‎ ‎∴面，面，∴平面平面 ⑵ 由⑴知，‎ ‎∵，平面，平面 ‎∴平面，平面 ‎∵面面 ‎∴，∴‎ ‎∴四边形为等腰梯形 以为原点，如图建立坐标系，设，‎ ‎，，，设面法向量为，，即，，‎ 设面法向量为，.即 ‎，，设二面角的大小为.‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎，二面角的余弦值为 ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：‎ ‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎ （Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）若要求，确定的最小值；‎ ‎ （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎【解析】：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11‎ 记事件为第一台机器3年内换掉个零件 记事件为第二台机器3年内换掉个零件 由题知，‎ 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ⑵ 要令，，‎ 则的最小值为19；‎ ⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当时，费用的期望为 当时，费用的期望为 所以应选用 ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．‎ ‎ （Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．‎ ‎【解析】：⑴ 圆A整理为，A坐标，如图，‎ ‎，则，由，‎ 则，‎ 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为，()；‎ ‎⑵ ；设，因为，设，‎ 联立： ，则 圆心到距离，‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎ 已知函数有两个零点．‎ ‎ （Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）设是的两个零点，证明：．‎ ‎【解析】：⑴ 由已知得：‎ ‎① 若，那么，只有唯一的零点，不合题意；‎ ‎② 若，那么，‎ 所以当时，，单调递增;当时，，单调递减;‎ 即：‎ ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 故在上至多一个零点，在上至多一个零点 由于，，则，‎ 根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．‎ 而当时，，，‎ 故 则的两根，， ，因为，故当或时，‎ 因此，当且时，‎ 又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．‎ 此时，在上有且只有两个零点，满足题意．‎ ‎③ 若，则，‎ 当时，，，‎ 即，单调递增；‎ 当时，，，即，单调递减；‎ 当时，，，即，单调递增．‎ 即：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 而极大值 故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解 而当时，单调递增，至多一个零点 此时在上至多一个零点，不合题意．‎ ‎④ 若，那么 当时，，，即，单调递增 当时，，，即，单调递增 又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．‎ ‎⑤ 若，则 当时，，，即，单调递增 当时，，，即，单调递减 当时，，，即，‎ 单调递增 即：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解 当时，单调递增，至多一个零点,此时在上至多一个零点，不合题意．‎ 综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．‎ ⑵ 由已知得：，不难发现，，‎ 故可整理得：, ，则 ‎，当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 设，构造代数式：‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 设，,则，故单调递增，有．‎ 因此，对于任意的，．‎ 由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有 令，则有 而，，在上单调递增，因此：‎ 整理得：．‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 ‎ 图，是等腰三角形，．以为圆心，‎ 为半径作圆．‎ ‎ （Ⅰ）证明：直线与⊙相切；‎ ‎ （Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：．‎ ‎【解析】：⑴ 设圆的半径为，作于 ‎∵,∴‎ ‎∴与相切 ‎⑵ 方法一：‎ 假设与不平行,与交于,‎ ‎∵四点共圆,∴‎ ‎∵,∴‎ 由①②可知矛盾,∴‎ 方法二：‎ 因为，因为所以为的中垂线上，同理所以的中垂线，所以．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．‎ ‎ （Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．‎ ‎【解析】：⑴ （均为参数）,∴ ①‎ ‎∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵,∴ 即为的极坐标方程 ⑵ ,两边同乘得 ‎,即 ②,：化为普通方程为 由题意：和的公共方程所在直线即为,①—②得：，即为 ‎∴,∴‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎ （Ⅱ）求不等式的解集．‎ ‎【解析】：⑴ 如图所示：‎ ‎⑵ ,,‎ ‎①，，解得或,‎ 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎ 整理: 英德市一中陈健伟 ‎②，，解得或，或 ‎③，，解得或，或 综上，或或 ‎，解集为 第 13 页 共 13 页 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷逐题解析 ‎